安徽芜湖市镜湖区芜湖11中、中江中学2026届九年级下学期中考二模数学试卷（含解析）

安徽省芜湖市镜湖区芜湖11中、荟萃中学、中江中学2025-2026学九年级下学期中考二模数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．2．中芯国际在2025年春季宣布成功研制出全球首个芯片，已知为米，用科学记数法表示为（

）米A． B． C． D．3．如图是一个长方体被截去一个角后剩下的几何体，其左视图是（

）A．B．C． D．4．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．5．已知，如图，中，，以为直径的交于D，的延长线交的延长线于E，，．则下列结论错误的是（

）A． B．点C是的中点C． D．6．如图，一次函数与反比例函数的图象交于M，N两点，则关于x的不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．7．如图，在中，，，，点D是边上一动点（不与A、B重合），沿着运动，过点D作交于点E，作交于点F，设，的长为x，能反映y与x之间函数关系的图象是（

）A． B． C． D．8．已知整式，则下列说法正确的个数为（）①若，则；②若是完全平方式，则常数k的值为5；③若，则A．0 B．1 C．2 D．39．如图，正方形中，，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交于点G，若，则的长为（

）A．1 B． C． D．10．如图，中，，．，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11．函数中自变量的取值范围是_____．12．比较大小：__________（填“”、“”或“”）．13．某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______．14．如图，已知矩形，连接，点P是上一点，且，（1）若，，则________；（2）连接交于点Q，若，则________．三.（本题共16分）15．计算：．16．如图，在边长为的正方形组成的网格中，点、、都在格点上，将绕点按逆时针方向旋转，得到．(1)画出旋转后的；(2)求边在旋转过程中扫过的面积．四.（本题共16分）17．综合实践活动：探究杆秤的制作与原理【探究原理】学生通过查阅资料，了解到杆秤的主要组成部分为秤杆、秤盘（秤钩）、秤砣和提纽．现为探索杆秤称重的原理，进行木杆挂重物实验探究影响杆秤平衡的因素（如图1），并用表格记录了实验数据如下：支点左端支点右端木杆状态重物质量到支点的距离重物质量到支点的距离515515平衡①7.5515平衡155515平衡20②515平衡……515平衡【建构模型】（1）请你通过实验发现的规律补全实验记录①②，并写出当木杆平衡时a、m、b、n的数量关系；【应用模型】（2）学生发现上述平衡条件符合杠杆原理，并以此为依据，利用以下材料制作了一个杆秤：一根长为的匀质木杆，一个自重的秤盘，一个自重的秤砣，提绳系于点O（支点），秤盘系于点A处，点A位于O、M两点之间，秤砣悬挂点B位于O、N之间（如图2所示）．小明用此杆秤称量的重物（放入秤盘），在杆秤平衡时他测得此时秤盘悬挂点A与秤砣悬挂点B之间的距离．求的距离；18．学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏，当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形（如图）；当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形（如图）；当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形（如图）……根据以上规律，解答下列问题：(1)当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为_______．(2)当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为_______．（用含的代数式表示）(3)已知每个等边三角形的面积均为，如果学校植物园周围栅栏的总面积要达到，那么至少需要灰色等边三角形多少个？五.（本题共20分）19．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）(2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）20．如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．(1)求证：；(2)若，，求的长．六.（本题共12分）21．为了解某县初中学生对球类运动的喜爱情况，随机抽取各初中的部分学生，进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)这次调查一共抽取了_______名学生；(2)请直接补全条形统计图，并写出的值为________；(3)若某县初中总共有大约6000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生人数．七.（本题共12分）22．在矩形中，为直线上的点（不与点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点为线段上一点，连接和，与相交于点．(1)如图1，若，平分，求证：∽．(2)如图2，若，点与点重合，为的中点，则的值是_______，与的位置关系是________．(3)如图3，若，且，探究与的位置和数量关系，并说明理由．八.（本题共14分）23．已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．(2)若直线经过抛物线的顶点．①求抛物线的顶点坐标；②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．

题号12345678910答案CADCBAACBD11．【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0，因此，解得．故答案为：．12．【详解】解：，，，，故答案为：．13．【详解】解：根据压强公式，由题意得，当一定时，与成反比，即，当时，，当时，，已知四个零件的受力面积分别为，因此合格零件是共个，不合格零件是共个．随机同时选取两个，所有可能的结果列表如下：两个都合格两个都合格一个合格两个都合格两个都合格一个合格两个都合格两个都合格一个合格一个合格一个合格一个合格共12种等可能的结果，其中两个零件都合格的结果共有6种，根据概率公式，（两个零件都合格）．14．【详解】解：（1）在矩形中，，，，，，设，则，在中，，即，解得，则；（2），，又，，，，设，则，，，在中，，即，整理得，即，设，即，解得或（舍去），．15．5【详解】解：原式．16．(1)见解析(2)【详解】（1）解：如图，即为所作；（2）解：由图可得，，∴边在旋转过程中扫过的面积．17．（1）补全表格见解析；；（2）的距离．【详解】解：（1）通过实验发现的规律：支点左右两端重物质量与到支点的距离的乘积相等，即；由表格可得①处数值为，则，解得；②处数值为，则，解得；补全实验记录①②，表格如下：支点左端支点右端木杆状态重物质量a（）到支点的距离m（）重物质量b（）到支点的距离n（）515515平衡①7.5515平衡155515平衡20②515平衡……515平衡（2）∵，∴，根据（1）中平衡条件可得：，∴，解得，答：的距离．18．(1)(2)(3)至少需要灰色等边三角形个【详解】（1）解：当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形；当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形；当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形；当栅栏顶部是个灰色等边三角形时，其余部分共个镂空的等边三角形；故答案为：；（2）解：第个图案：镂空的等边三角形有：（个），第个图案：镂空的等边三角形有：（个），第个图案：镂空的等边三角形有：（个），第个图案：镂空的等边三角形有：（个），……第个图案：镂空的等边三角形有：个，故答案为：；（3）解：，，按此规律镶嵌图案，需要灰色镂空的等边三角形个．19．(1)支点C离桌面l的高度为(2)当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，∴．由题意得：，∴四边形为矩形，∴．∵，∴．∵，∴．∴，答：支点C离桌面l的高度为；（2）解：过点C作，过点E作于点H，∴．∵，∴，当时，；当时，；∴，答：当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加，增加了约．20．(1)见解析(2)．【详解】（1）证明：∵是的切线，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴．21．(1)50；(2)条形统计图见解析，24；(3)估计该校最喜爱篮球运动的学生约有人．【详解】（1）解：，即这次调查一共抽取了50名学生；故答案为：50；（2）解：篮球人数为：，补全条形统计图如下：，即，故答案为：24；（3）解：（人）．答：估计该校最喜爱篮球运动的学生约有人．22．(1)见解析(2)，(3)，理由见解析【详解】（1）证明：∵是由绕点逆时针旋转得到的，∴．∵四边形是矩形，∴．∴．∵平分，∴．∴，∴平分．∵，∴，∴是等腰三角形．∴．∴．∵，∴．∴．（2）解：记与的交点为点E，∵是矩形，，∴是正方形，∴，，，由旋转可得，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，，又∵点P是的中点，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，，故答案为：；；（3）解：．理由：∵，∴为等腰直角三角形．如