人教版九年级上册数学 一元二次方程讲义 一元二次方程认识及解法有答案

1、第1讲 一元二次方程认识及解法第一部分 知识梳理知识点一：一元二次方程定义概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。、只含有一个未知数。、未知数的最高次数是2次。知识点二：方程的解法1、明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2、根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3、开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平

2、方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。4、配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。5、公式法：一元二次方程的根当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；当时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程

3、化为一般式；确定的值；代入中计算其值，判断方程是否有实数根；若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）6、因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。第二部分 考点精讲精练考点1、一元二次方程的定义、一般形式例1、下列方程中是关于x的一元二次方程

4、的是()Ax20          Bax2bxc0C(x1)(x2)1     D3x22xy5y20例2、是关于的一元二次方程，则的值应为（    ）A.2       B.      C.      D.无法确定例3、方程4x2+7x-3=0的二次项是    &#

5、160;，一次项系数是     ，常数项是     例4、若（m+1） x|m|+1-3x+4=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 例5、已知关于x的方程（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.例6、一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0，试求a，b，c的值举一反三：1、下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为 (   )A   B

6、60; C  D2、下列关于的方程：；其中是一元二次方程有（ ）A.1个      B.2个        C.3个       D.4个3、若方程（m-1）x|m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=     4、关于x的方程（m2-1）x3+（m-1）x2+2x+6=0，当m=     时为一元二次方程5、一元二次方程（1+

7、3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为：_，二次项系数为：_，一次项系数为：_，常数项为：_6、一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0化为一般式后为3x2+2x-1=0，试求a2+b2-c2的值的算术平方根考点2、方程的解例1、若x=3是方程的一个根，则m的值为（  ）A1       B2        C3      D4例2、若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a0）的解是x=1，则2019-a-b的值是（ ） A2

8、023 B2019 C2019 D2019例3、已知一元二次方程的两个根是1和3，则，的值分别是（  ）A=4,=3     B=3,=2     C=4,=3     D=4,=3例4、若且，则关于的一元二次方程必有一个定根，它是_例5、若方程ax2+bx+c=0（a0）满足a+b+c=0，则方程必有一根为 。举一反三：1、关于x的一元二次方程x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为（ ）A1 B1 C1或1 D0.52、一元二次方程（a-1）x2+x+a2

9、-1=0一根为0，则a的值为（ ）A1 B1 C1或1 D无法确定3、已知a是方程x23x10的一个根，则2a26a7_4、已知关于x的一元二次方程ax2+x-b=0的一根为-1，则a-b的值是     考点3、直接开平方法例1、方程（x+1）2=9的解是（ ）Ax=2 Bx=-4 Cx1=2，x2=-4 Dx1=-2，x2=-4例2、形如（x+m）2=n（n0）的方程，它的根是（ ）Ax=± Bx=±m+ Cx=± Dx=-m±例3、将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad-bc，

10、上述记号就叫做2阶行列式若=6，则x=     例4、解一元二次方程：2x2-8=0； x2-2x=4例5、若2y=（x-2）2+1，且y的算术平方根是，求：x+2y的值举一反三：1、一元二次方程x2-4=0的解是（ ）Ax=2 Bx=-2 Cx1=2，x2=-2 Dx1=，x2=-2、下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）x2=1； （x-2）2=5； （x+3）2=3；x2=x+3； 3x2-3=x2+1； y2-2y-3=0； x2=x+3A1 B2 C3 D43、若方程（x-2019）2=a有解，则a的取值范围是（ ）Aa0 Ba0 Ca0

11、 D无法确定4、解一元二次方程：（1）9x2-16=0 （2）（3x-2）2=（2x-3）25、已知实数a、b满足b=+-1，解方程ax2+b=0考点4、配方法例1、用配方法解方程x2+x-5=0时，此方程变形正确的是（ ）A BC（x+1）2=6 D（x+1）2=4例2、若方程9x2-（k+2）x+4=0的左边可以写成一个完全平方式，则k值为（ ）A10 B10或14 C-10或14 D10或-14例3、一元二次方程x2-4x-1=0可以配方成（x-2）2=     例4、用配方法解下列方程（1）x2+4x-5=0 （2）2x2+1=3x （3）2x2

12、-4x+1=0例5、用配方法解下列方程：（1）2x2-5x-7=0； （2）（3）（x+1）（x-1）=2x2-4x-6举一反三：1、用配方法解方程，以下变形正确的是（ ）A BC D2、把方程x2-6x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m、n的值是（ ）A3，12 B-3，6 C-3，12 D3，63、将方程x2+4x+2=0配方后的方程是   4、用配方法解下列一元二次方程：（1）x2-8x+1=0 （2）2x2-4x+1=05、用配方法解下列方程：（1）x2-6x+9=0； （2）x2-6x-9=0；（3）x2+8x=9； （4）x2-2x-2=0考点5、公式法例

13、1、用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（）A. a=3，b=2，c=3 B. a=-3，b=2，c=3C. a=3，b=2，c=-3 D. a=3，b=-2，c=3例2、用公式法解一元二次方程x2-5x=6，解是（ ）Ax1=3，x2=2 Bx1=-6，x2=-1Cx1=6，x2=-1 Dx1=-3，x2=-2例3、方程ax2+bx+c=0（a0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）例4、用公式法解方程2x2-7x+1=0，其中b2-4ac=     ，x1=   

14、  ，x2=     例5、用公式法解方程（1） 2x2+2x=1 （2）2x2-7x+3=0举一反三：1、方程x2+3x=2的正根是（ ）A B C D2、若方程x2+x+c=0的一个根为，则另一根为     3、方程（2x+1）（x+2）=6化为一般形式是     ；b2-4ac=     ；用求根公式求得x1=     ，x2=     ；x

15、1+x2=     ，x1x2=     4、（1）2x2+x-3=0（用公式法）（2）已知a、b、c均为实数且，求方程ax2+bx+c=0的根5、用公式法解下列方程（1）（x+1）（x+3）=6x+4； （2）x2+2（+1）x+2=0；（3） x2-（2m+1）x+m=0考点6、因式分解法例1、方程（x-3）（2x+5）=0的解是（ ）Ax=3 Bx=0 Cx=-2.5或x=3 D以上都不对例2、关于x的方程2x2+mx-n=0的二根是-1和3，则2x2+mx-n因式分解的结果是（ ） A（x+1）（

16、x-3） B2（x+1）（x-3） C（x-1）（x+3） D2（x-1）（x+3）例3、已知一元二次方程的两根分别为x1=3，x2=-4；则这个方程为（ ）A（x-3）（x+4）=0 B（x+3）（x-4）=0C（x+3）（x+4）=0 D（x-3）（x-4）=0例4、方程x3-4x=0的解是x1=     ，x2=     ，x3=     例5、用因式分解法解方程（1）x2-4x=0        &

17、#160;  （2）3（x-2）+x2-2x=0例6、用因式分解法解方程（1）x（x-1）=5（x-1） （2）（2x-1）-x（1-2x）=0（3）（x+1）（x+8）=-12；   （4）（x+1）2-3 （x+1）+2=0举一反三：1、一元二次方程x2-x=0的根为（ ）Ax=1 Bx=0 Cx1=0，x2=1 Dx1=1，x2=-12、一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ） A11 B11或12 C13 D11和133、方程（x+1）（x-2）=x+1的解是（ ）A2 B3 C-1，

18、2 D-1，34、若方程x2-px+q=0的两个实数根是2，-3，则二次三项式x2-px+q可以分解为     5、用因式分解法解方程（1）x2-2x-24=0； （2）x2-x-n2+n=0第三部分 课堂小测1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（  ）A        BC     D 2、若关于x的一元二次方程x2-x-m=0的一个根是x=1，则m的值是（）A、1 B、0 C、-1 D、23、若x2-6x+11=（x-

19、m）2+n，则m，n的值分别是（ ）Am=3，n=-2 Bm=3，n=2 Cm=-3，n=-2 Dm=-3，n=24、将方程x2+6x=1配方后，原方程变为（ ）A（x+3）2=5 B（x+6）2=7 C（x+3）2=10 D（x+6）2=95、方程x（x-2）=0的根为（ ）Ax=0 Bx=2 Cx1=0，x2=2 Dx1=0，x2=-26、若方程（m-2）x|m|-2x+1=0是一元二次方程，则方程的根是（ ）A BC D以上答案都不对7、方程x（x+1）=（x+1）的根为（ ）Ax1=1，x2=-1 Bx1=0，x2=-1 Cx=0 Dx=-38、解下列方程：3x2-27=0；2x2-3

20、x-1=0；2x2-5x+2=0；2（3x-1）2=3x-1较简便的方法是（ ） A依次为：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B依次为：因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C用直接开平方法，用公式法，用因式分解法 D用直接开平方法，用公式法，用因式分解法9、一元二次方程（1+3x）（x-3）=2x2+1化为一般形式为     10、已知关于x的方程（a-1）x2-2x+1=0是一元二次方程，则a的取值范围是_11、将下列各式配方：（1）x2-4x+（    ； （2）x2+12x+（ 

21、60;  ；（3）    ； （4）    12、若方程3x2-5x-2=0有一根是a，则6a2-10a=     13、若关于x的方程（m-3）x2+5x+m2-3m-18=0的常数项为0，则m的值等于    14、用适当的方法解下列方程：（1）x2-8x=20； （2）2x2-6x-1=0：（3）； （4）（x-2）2-4（x-2）=-415、当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m-1）x-4=3x2（1）是一元

22、二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x=-2是它的一个根，求m的值16、用适当方法解下列方程：（1）（3x-1）2=1； （2）2（x+1）2=x2-1；（3）（2x-1）2+2（2x-1）=3； （4）（y+3）（1-3y）=1+2y217、已知关于x的一元二次方程ax2-bx-6=0与ax2+2bx-15=0都有一个根是3，试求出a、b的值，并分别求出两个方程的另一个根第四部分 提高训练1、观察以下方程：x2+x-2=0；2x2-x-1=2；3x2-4x+1=0； 4x2-7x+3=0（1）上面四个方程的各系数有一个共同特点，你知道是什么吗？（2）若上述方程的一般形式为ax2+bx+c

23、=0（a0），请用代数式表示它们的共同特点；（3）由（2）可知，上述各方程必有一个公共根，你知道这个公共根吗？2、试证明关于x的方程（a2-8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程3、x2a+b-2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值第五部分 课后作业1、已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c=0；（2）x2-4x=8+x2；（3）1+（x-1）（x+1）=0；（4）（k2+1）x2+kx+1=0中，一元二次方程的个数为（ ）个 A1 B2 C3 D42、关于x的方程ax2-3x+3=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）Aa0 Ba0 Ca=1

24、 Da03、若m是一元二次方程x2-5x-2=0的一个实数根，则2019-m2+5m的值是（ ）A、2019 B、2019 C、2019 D、20194、关于x的方程(m1)x22mx30是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A任意实数 Bm1 Cm1 Dm05、用配方法解方程x2-6x+2=0时，下列配方正确的是（ ）A（x-3）2=9 B（x-3）2=7 C（x-9）2=9 D（x-9）2=76、已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则ABC的周长为（）A10 B14 C10或14 D8或107、已知点A（m2-5，2m

25、+3）在第三象限角平分线上，则m=（ ）A4 B-1 C4或-2 D-28、把一元二次方程（x+1）（1-x）=2x化成二次项系数大于零的一般式是     ，其中二次项系数是     ，一次项的系数是     ，常数项是     ；9、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程 （x+1）2=4x； 3x2-6x=0； x2+x-1=0；

26、 2x2=6x+8【解析】 选_ 选_10、若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x-1=0是一元二次方程，则m=     11、将方程配方成（x+m）2=n，则m=     ，n=     12、以下四个方程中，x2-2x+1=0；x2+x+1=0；2x2+8x+8=0；-x2+6x-9=0请观察并思考，方程    （填序号）与其它三个不同，理由是     13、方程（1）m取何

27、值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时是一元一次方程14、解方程：（1）（x+1）2-4=0 （2）3（x-2）=5x（x-2）（3）2x2-5x+1=0 （4）x2-4x+3=015、若0是关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，（1）求m的值，（2）请根据所求m值，讨论方程根的情况，并求出这个方程的根16、用适当的方法解方程（1）3x2-27=0 （2）x2-2x-1=0（3）x（2x+1）-6（2x+1）=017、解方程（1）x2-6x+5=0（配方法）         （2）2x2-x=1（公式法）（3）x2-4x-3=0