二项式定理讲学案

1、讲 学 案 课题：二项式定理 第一 课时设计教师： 设计时间：2015.4.2一、教学目标1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨二、教学重点、难点 1.教学重点：用计数原理分析的展开式，得到二项式定理 2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式

2、展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程（老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课二项式定理，我们的学习目标是：1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用2、 运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力yu（一）公式探究：师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，应该也是星期五吧！师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？生：这师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了板书（二项式定理）设计感悟：本来的

3、设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示对这个问题我们如何来研究呢？生：（感到茫然）师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊现在这种情况是一般还是特殊的？生：一般的师：恩，那如何特殊化呢？生：是不是先令试试看师：很棒哦这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？生：（举手并回答）师：很好哦那谁来说说如何表示呢？生：（举手并回答）师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？生：许多同学

4、拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？生：笑记住的师：（严肃地）记住一些数学公式、定理固然重要，但是更重要的研究问题的方法！以前你们怎么做的？教学感悟很多学生的学习数学以文科的方式来进行，不少同学都不进行思考，正如张奠宙所说，是掐头去尾烧中段生：就是写成的形式，乘一下合并同类项师：对了就是这种研究方法我刚刚看到了一些同学用这样的方法算数学家波利亚说过，当遇到一个难题，我们是否可以研究类似的问题，现在我们来模拟一下将视作一个容器，是红色玻璃球、是蓝色玻璃球，如果是显然是从两个容器中取球的问题则问题可转化为在两个容器中取分别各一个球，有什么样的

5、结果？生：只有这样的三种结果，要么都是红球、要么一红一蓝，要么都是蓝球师：恩，就是这样三种结果如果这样考虑显然不怎么妥当，我们可以以蓝球为标准进行分类这三种结果也就是等价于都不取蓝球、只取一个蓝球，都取蓝球那么分别有几种做法？生：不取蓝球的作法是种，一红一蓝有种，都是蓝球的是种师：很好的如果还原为原式又该如何？生：师：恩，如果用这种方法来研究呢请同学们思考这种模拟如何实现？生：是不是这样4个容器中有红（）、蓝（）玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？生：（一个优秀的学生）同样也按蓝球b进行分类，则有都不取蓝（）球的，恰有个取蓝（）球，恰有个取蓝（）球，恰有

6、3个取蓝（）球，都取蓝（）球这五种情况则从上面个容器（括号）中，每个都不取蓝（）球的情况有种，即种，的系数是；恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，有都取蓝（）球的情况有种，的系数是，师：大家说他说得好不好？ 生：鼓掌，好的！教学感悟对这个问题的处理，是明显和教材是不相同的我是先让学生知道今天要学习什么，让学生朝着学习目标进发然后积极在教学中渗透特殊到一般是思想和分类讨论思想，特别是学生对为什么要按字母或进行分类，学生的学习还不致于陷入混淆的状态对于构造实验进行模拟的效果在本节课反应显著就是要求我们是教学过程中，要注意

7、把书本的学术形态转化为教育形态师：好了那么我们是否能更胆大一些，有了前面的基础，能不能猜测一下的展开情况？生：我通过观察刚刚的式子，认为应该是师：很好，能否简要说明一下方法，我请另外一个同学来协同作战生：同样可按b进行分类：每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，师：我们把上述同学说的公式叫二项式定理右边的多项式叫的二项展开式，观察一下这个二项展开式有何特点的特点生：都是次式，师：说成n次齐次式更好！生：展开式各项的系数组合数的上标逐渐增加：的次数逐渐减小，从，的次数逐渐增加，从生：它有项师：上述同学归纳得不

8、错，我们规定二项展开式中各项的系数叫二项式系数.同时要注意以为项数的标志，也就是说二项展开式是有序的，不能随意颠倒的师：在二项展开式中，我们有时研究它的全部项没有必要，只要研究它的某一项，在这中，我们选出一个代表来就是我国的人民代表大会一样，从十几亿人中选出2千个左右的代表，他当然要代表广大人民群众性的意志那么大家认为哪一项更能代表呢？生：用第n项如何？好象数列的通项一样，含有n.师：大家觉得怎么样？生：不行，应该是师：为什么不行呢生：书上是这样的师：要有自己的思考哦！生：因为那样的话对如果有的情况显然不能表示师：有道理！那么为什么要用呢我们来重新写一下显然如果用第项是多少？生：师：第项呢生：

9、师：第项呢？生：师：大家说用什么表示更好呢！有什么理由？生：用表示更好比较简捷！师：很好，这就是数学美的简洁美，不过他是第项，不是第项，也算是它是一个缺点吧！须用表示，即通项正好象我国古代四大美人有每个都有一个缺点一样呀生：叫它美人公式如何？师：哈哈，当然可以教学感悟对通项的领悟比较常用的做法是直接告诉学生那就是通项，根本不讲为什么选它当通项，通过发挥学生的潜能，让学生自主归纳，学生领悟到数学美，并将美人公式记住，知道那个缺点就是不是第项，而是第项，这样学生如果在使用过程中能回想起老师、同学的话，就能达到正确使用公式的目的（二）公式应用：下面我们做一下练习师：课件展示：例1展开；例2展开生：练

10、习，板演设计感悟在这个环节中我把主要的精力放在让学生学会展开，将当作定理中的，将当作定理中的，体现一种换元的思想，尤其是对例2的设置不拘泥教材教材是这样的例1是展开，例2更麻烦展开，我觉得放于第一课时是不妥的，放在以后的习题课会好些师：同学们做得不错能较好的使用二项式定理下面我有个问题要问大家请大家看这位同学的题目（用手指指出）现在问一个问题对于项的系数是多少，项的二次项系数是多少？课件展开问题生：是16，是；争论之声四起师：大家考虑一下最终哪出一个定论来请同学们看问题有什么不同？过了一段时间生：应该是这样项的系数是16项的二次项系数是师：板书项的系数与二次项的系数问大家在初中时学过什么是单项

11、式的系数吗？生：比如师：要用数学概念比较好，你用的描述性定义单项式的系数是指单项中所含的数字因数叫单项式的系数，我们考虑这个二项展开式的其中一项，其实就是单项式中的项数而二项式系数是规定组合数的，当然是，所以我们在以后解题中要小心审题，正所谓：生：差之毫厘，谬之千里也！最后出一道例题使用一下通项公式师：出示课件例3求的展开式中的倒数第项生：完成的效果较好最后由一个同学来归纳今天学到的知识和数学思想方法师：最后大家来回答我们上课提到的问题，为什么过天也是星期五呢？生：（数学课代表）老师，我知道了将看作，然后展开，这时，前面的每一项均含有7，都可被7整除，只有最后一项不含7，就是最后余1显然是星期

12、五师：太好了终于功德圆满了，很棒哦！不过我还想提一个问题，大家知道被3整除数的特征是什么？恩对了就是其和能被3整除，那么用我们今天学的知识，你能告诉我这是为什么吗？设计感悟主要是让学生带着问题进入课堂，又带着问题走出课堂，这样学生兴趣之火也才能越烧越旺（三） 当堂检测（10分钟）： 1. 写出的展开式（解略）2. 写出的展开式（略）3. 写出的展开式（略）4. 求展开式中的第3项解：5. 求展开式中的第3项解：师： 比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？生： 公式中的、不能互换. 师：对. 求整个展开式，、可以互换，但求某一项时，、不能互换.师： 第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？生： 15，2160. 两者不同.师： 是的. “二项式系数”与“系数