二阶曲线射影理论复习

1、第五章 二阶曲线射影理论复习一、基本概念1. 二阶曲线代数定义：射影坐标为的满足方程 的点的集合称为二阶曲线，其中为实数且至少有一个不为0。几何定义：在射影平面上成射影对应的两个线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。2. 二级曲线代数定义：射影坐标为的满足方程 的直线的集合称为二级曲线，其中为实数且至少有一个不为0。几何定义：在射影平面上成射影对应的两个点列的对应点的连线的集合称为二级曲线。3. 极点与极线共轭点：给定二阶曲线c及不在c 上的点P，过P作直线交c 与M、N，点Q满足（MN，PQ）=1，则称点P与Q关于二阶曲线c 调和共轭，或点Q与P关于c互为共轭点。极点与极线：点P关于二阶曲

2、线c的共轭点的轨迹称为P关于c 的极线；而点P称为此直线的极点。规定：对于二阶曲线上的点的极线为该点的切线。二、重要定理1. 平面上无三点共线的五点唯一确定一条（非退化）二阶曲线。2. 从二阶曲线上任一点向其上四定点连直线，则所得四线的交比是常数。3. 从二阶曲线上任两点向其上动点连直线，则所得两个线束是射影线束。4. 巴斯卡定理：二阶曲线的内接简单六点形的对边交点共线（此线称为巴斯卡线）。 布利安桑定理：二级曲线的外切简单六线形的对顶点连线共点（此点称为布利安桑点）。例1 试证明若两个三点形同时内接于一条二阶曲线，则它们必同时外切于另一条二阶曲线。 证明：如图所示，考察二阶曲线的内接六点形，

3、根据巴斯加定理知 三点共线。 考察六点形，由共点，根据布利安桑逆定理知外切于一条二阶曲线。对偶 若两个三点形同时外切于一条二阶曲线，则它们必同时内接于另一条二阶曲线。例2 已知：ABC内接于O，L、M和N分别为 的中点，连接NM、LM分别交AB、BC于D、E；I为ABC的内心。求证：D、I、E共线。 （1965年，全俄数学竞赛）证明：连CN和AL，由题设知CN与AL的交点就是I。考察圆的内接六点形NCBALM，根据巴斯加定理知，NC与AL的交点I，CB与LM的交点E，BA与MN的交点D三点共线。例3 如图，菱形ABCD的内切圆O与各连接分别切于E、F、G、H，在 与 上分别作圆的切线，交AB于

4、M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ / NP。（全国高中数学联赛，一九九五年）证明一：利用例2的对偶知B、M、N、P、D、Q在同一条二阶曲线上，考察MQDPNB，根据巴斯加定理知共线。因为QD / NB，DP / BM，所以它们的交点是无穷远点，从而MQ与PN也相交于一个无穷远点，即MQ/PN。 证明二：设。考察圆的外切六线形MXPQYN。根据布利安桑定理知MQ、XY、NP共点。 5. 重要推论（1）巴斯卡定理的推论1 布利安桑定理的推论1内接于非退化二阶曲线的四点形两对对 外切于非退化二级曲线的四线形两对边的交点及对顶点的切线的交点，四点 对顶点的连线及对边的切点的连线，四线

5、。 共点。（2）巴斯卡定理的推论2 布利安桑定理的推论2内接于一个非退化二阶曲线的三点形， 内接于一个非退化二级曲线的三线形，其每个顶点的切线与对边的交点，三 其每条边上的切点与对顶点的连线，三点共线。 线共点。应用巴斯加定理于AABBCC即可。 应用布利安桑定理于aabbcc即可。例4 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在PD之间，在弦CD上取一点Q，使DAQ=PBC。求证：DBQ=PAC。（2003年，全国高中数学联赛）证明：如图，延长AQ交圆于另一点E，延长BQ交圆于另一点F，设BE交AF于M。 因为 DBE=DAQ=BPC=CDB，CD/B

6、E。考察圆的内接四点形AEBF，根据巴斯加定理关于四点形的结论知P、Q、M三点共线。但直线PQ就是CD，而CD/BE，所以M是无穷远点，即BE/AF。所以DBQ=ADC=PAC。6. 配极原则：若点P的极线过点Q，则Q的极线也过P点。推论1 两点连线的极点是此二点的极线的交点； 两直线交点的极线是此两直线的极点的连线。推论2 共线点的极线共点； 共点线的极点共线。例5 设一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。证： 如图，Z（CD，XY）=1，即Z通过Y的两个共轭点，所以ZX是Y的极线。同理，Y（AD，ZX）=1，所以YX是Z的极线。根据配极

7、原则得，ZY是X的极线。所以对边三点形的顶点是其对边的极点。定义：若一个三点形的顶点都是其对边的极点，则称此三点形为自极三点形。根据自极三点形的定义知上例中的XYZ是自极三点形。命题 设ABC是关于O的自极三点形，证明：O是ABC的垂心。例6 设M是O的切线PQ的中点，其中Q是切点，过M任作割线交O与A、B两点，连PA、PB分别交O于另一点C、D。证明：CD/PQ。证明 如图，设AB与CD的交点为R，则QR为P的极线。再设QR与AC交于S，那么 （AC，PS）= 1。以R为中心，将C、S、A、P投射到PQ上得T、Q、M、P，从而有（MT，PQ）=（AC，PS）= 1。因为M是PQ的中点，所以T

8、是PQ上的无穷远点。所以 CD/PQ。三、计算题型1. 求二阶曲线1.1 由四点A、B、C、D确定的二阶曲线束为 。推论1 过A、B、C三点且与过A的直线a: a1x1+a2x2+a3x3=0相切的二阶曲线为 。推论2 过A、B且与过A的直线a: a1x1+a2x2+a3x3=0及过B的直线b: b1x1+b2x2+b3x3=0相切的二阶曲线为。1.2 由二阶曲线S1=0与S2=0的交点确定的二阶曲线束为 。例7 求通过点（1, 0, 1）、（0, 1, 1）、（0，1, 1）、（1, 1, 1）、（1, 2, 0）的二阶曲线方程。解：设所求二阶曲线为，即 (x1 + x2 x3)(2x1 +

9、 x2 + x3) + 2x1(x1 x2 x3) = 0 。将（1, 2, 0）代入，得 4 + 6 = 0 ，即 。故所求二阶曲线为 3(x1 + x2 x3)(2x1 + x2 + x3) 2x1(x1 x2 x3) = 0 。化简，得 。例8 求通过定点（1, 0, 1）、（0，1, 1）、（0, 1, 1）且以, 为切线的二阶曲线方程。解：因为A在上，B在上，故可设所求曲线为 将C（0，1，1）代入，得 。故所求曲线为 化简整理得 。2. 求切线二阶曲线c：，即 S XAXT = 0 。记 。则二阶曲线c：S=XAXT=0的过点P(p1, p2, p3)的切线方程为 。当P在c上时，

10、Spp=0，故此时的切线方程为 Sp = 0 。例9 求二阶曲线 过点的切线方程。解：易知P在曲线上，曲线的系数矩阵为 。故所求切线方程为，展开，化简，得 。3. 求极点和极线一点P(p1, p2, p3)的关于二阶曲线的极线方程为 。例10 设二阶曲线c：，试求点P(1, 0, 1)关于c的极线和直线的极点。解： c的系数矩阵为 所以点P的极线方程为 即 。设直线的极点为Q，则Q的极线与表示同一条直线，所以 解得的极点为（96，77，40）。方法总结：给定二阶曲线，则 （1）点的极线方程为 或坐标 PA ；（2）直线的极点方程为 或坐标 。第六章 二阶曲线的仿射理论和度量理论二阶曲线c： ，

11、记 S1 a11x1 + a12x2 + a13x3 ， S2 a12x1 + a22x2 + a23x3 ，S3 a13x1 + a23x2 + a33x3 。1. 基本概念1.1 中心： 无穷远直线关于二阶曲线c的极点称为c的（对称）中心。1.2 直径： 无穷远点关于二阶曲线c的有穷极线称为c的直径；直径与无穷远直线的交点的极线称为该直径的共轭直径。1.3 渐近线：二阶曲线c上的无穷远点的有穷切线称为c的渐近线。1.4 主轴：二阶曲线的一条直径若平分一组和其垂直的弦，则此直径称为主轴，主轴与二阶曲线的交点称为二阶曲线的顶点。1.5 圆点：共轭复点(1, i, 0) 和 (1, i, 0)称

12、为圆环点，简称为圆点。1.6 迷向直线：过圆点的有穷直线称为迷向直线。1.7 焦点：二阶曲线的迷向切线的有穷交点称为二阶曲线的焦点。1.8 准线：焦点的极线称为准线。2. 重要定理2.1 直径端点处的切线平行于该直径的共轭直径。2.2 直径与共轭直径的对应是一个对合。2.3 渐近线是自共轭直径，即直径与共轭直径的对合中的不变直线。2.4 渐近线调和分离任一对共轭直径。2.5 主轴是渐近线构成的角的平分线，即互相垂直的共轭直径。2.6 迷向直线上任两点间的距离为零；迷向直线与另一直线的夹角不存在。2.7 拉盖尔定理：设两条非迷向直线的夹角为，它们与过其交点的迷向直线所成的交比为，则 。3. 计算

13、题型对于二阶曲线c：，有如下计算公式：（1）中心方程组：；（2）直径与共轭直径 直径l：S1 + S2 = 0， 共轭直径l：S1 + S2 = 0，其中 ；（3）渐近线 ；（4）主轴（对称轴） 。3.1 求中心与直径例11 求二次曲线的中心、过点（1,1）的直径l及其共轭直径。解：易知 S1 = x 2y + 1, S2 = 2x + y 2。由解得中心为 （1, 0）。将（1,1）代入公式 S1 + S2 = 0，即x 2y + 1+ ( 2x + y 2) = 0，得 3 = 0，解得 = 0。故所求直径为x 2y + 1 = 0 。（注：因为直径一定过中心，故所求直径可由两点式求得 。）由 ，知l的共轭直径为 即 y = 0 。（注：对于直径：S1 + S2 = 0，共轭直径：S1 + S2 = 0 ，在直角坐标系下， 互为对方的斜率。从而所求的共轭直径为 ）3.2 求渐近线例12 求二阶曲线x2 + 2xy 3y2 + 2x 4y = 0的渐近线方程。解：S1 = x + y + 1, S2 = x 3y 2, 由 3k2 + 2k + 1 = 0解得。故所求的渐近线为 ，即2x 2y 1 = 0 和 2x + 6y + 5 = 0。3.3 求对称轴例13