2020年江苏省高考数学试卷及答案详解

1、精选优质文档-倾情为你奉上2020年江苏省高考数学试卷一、填空题 1. 已知集合B=0,2,3，A=1,0,1,2，则AB=_.  2. 已知i是虚数单位，则复数z=(1+i)(2i)的实部是_.  3. 已知一组数据4，2a，3a，5，6的平均数为4，则a的值是_.  4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_.  5. 下图是一个算法流程图，若输出y值为2，则输入x的值是_.  6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2y25=1a>0的一条渐近线方程为y=52x，则该双曲线的

2、离心率是_.  7. 已知y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=x23，则f(8)的值是_.  8. 已知sin2(4+)=23，则sin2的值是_.  9. 如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm2.  10. 将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是_.  11. 设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列.已知an+bn的前n项和Sn=n2n+2n1(nN

3、*)，则d+q的值是_.  12. 已知5x2y2+y4=1(x,yR)，则x2+y2的最小值是_.  13. 在ABC中，AB=4， AC=3， BAC=90，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9.若PA=mPB+(32m)PC(m为常数），则CD的长度是_.  14. 在平面直角坐标系xOy中，已知P32,0，A，B是圆C:x2+y122=36上的两个动点，满足PA=PB，则PAB面积的最大值是_. 二、解答题 15. 在三棱柱ABCA1B1C1中， ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点 (1)

4、求证： EF/平面AB1C1； (2)求证：平面AB1C平面ABB1. 16. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，己知a=3 ，c=2 ，B=45. (1)求sinC的值； (2)在边BC上取一点D，使得cosADC=45，求tanDAC的值. 17. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行， OO为铅垂线（O在AB上）经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1（米）与D到OO的距离a（米）之间满足关系式h1=140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2

5、 （米）与F到OO的距离b（米）之间满足关系式h2=1800b3+6b已知点B到OO的距离为40米 (1)求桥AB的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF. 且CE为80米，其中C，E在AB上（不包括端点）. 桥墩EF每米造价k（万元），桥墩CD每米造价32k（万元）k>0，问OE为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B (1)求AF1F2的周长； (2)在x轴上任取一点P，直

6、线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值； (3)设点M在椭圆E上，记OAB与MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标 19. 已知关于x的函数y=fx ，y=gx与hx=kx+bk,bR在区间D上恒有fxhxgx. (1)若fx=x2+2x，gx=x2+2x，D=,+，求hx的表达式； (2)若fx=x2x+1，gx=klnx，hx=kxk，D=0,+，求k的取值范围； (3)若fx=x42x2，gx=4x28，hx=4t3tx3t4+2t20<|t|2，D=m,n2,2，求证：nm7. 20. 已知数列an(nN*)的首项a

7、1=1，前n项和为Sn.设和k为常数，若对一切正整数n，均有Sn+11kSn1k=an+11k成立，则称此数列为“k”数列. (1)若等差数列是“1”数列，求的值； (2)若数列an是“332”数列，且an>0，求数列an的通项公式； (3)对于给定的，是否存在三个不同的数列an为“3”数列，且an0？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案与试题解析2020年江苏省高考数学试卷一、填空题1.【答案】0,2【考点】交集及其运算【解析】集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作AB【解答】解：集合B=0,2,3，A

8、=1,0,1,2，则AB=0,2.故答案为：0,2.【点评】此题暂无点评2.【答案】3【考点】复数代数形式的混合运算复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：z=(1+i)(2i)=3+i，则实部为3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评3.【答案】2【考点】众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】解：由4+2a+3a+5+65=4，可知a=2.故答案为：2.【点评】此题暂无点评4.【答案】19【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：总事件数为6×6=36，满足条件的事件为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)为共4种，则点数和为

9、5的概率为436=19.故答案为：19.【点评】此题暂无点评5.【答案】3【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知当y=2时，当x>0时，y=2x=2，无解；当x<0时，y=x+1=2，解得：x=3.故答案为：3.【点评】此题暂无点评6.【答案】32【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：由x2a2y25=1得渐近线方程为y=±5ax. a>0， a=2， c2=a2+5=9， c=3， 离心率e=ca=32.故答案为：32.【点评】此题暂无点评7.【答案】4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解

10、：y=f(x)是奇函数，当x0时，f(x)=x23，则f(8)=f(8)=823=4.故答案为：4.【点评】此题暂无点评8.【答案】13【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为sin2(4+)=23，由sin2(4+)=121cos(2+2)=12(1+sin2)=23，解得sin2=13.故答案为：13.【点评】此题暂无点评9.【答案】1232【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：记此六角螺帽毛坯的体积为V，正六棱柱的体积为V1，内孔的体积为V2，则V1=6×12×2×2×sin60&

11、#215;2=123，V2=×0.52×2=2，所以V=V1V2=1232.故答案为：1232.【点评】此题暂无点评10.【答案】x=524【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为fx=3sin2x+4，将函数fx=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度得：gx=fx6=3sin2x3+4=3sin2x12，则y=gx的对称轴为2x12=2+k,kZ，即x=724+k2,kZ.当k=0时， x=724，当 k=1时， x=524，所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x=524.故

12、答案为：x=524.【点评】此题暂无点评11.【答案】4【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：因为an+bn的前n项和为：Sn=n2n+2n1(nN*)，当n=1时，a1+b1=1，当n2时，an+bn=SnSn1=2n2+2n1，所以当n2时，an=2(n1)，bn=2n1，且当n=1时，a1+b1=0+1=1成立，则d=a2a1=20=2，q=b2b1=21=2，则d+q=4.故答案为：4.【点评】此题暂无点评12.【答案】45【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：4=(5x2+y2)4y2(5x2+y2)+4y222=25

13、4(x2+y2)2，故x2+y245，当且仅当5x2+y2=4y2=2，即x2=310，y2=12时取(x2+y2)min=45.故答案为：45.【点评】此题暂无点评13.【答案】185【考点】二倍角的正弦公式正弦定理向量的共线定理【解析】此题暂无解析【解答】解：由向量系数m+32m=32为常数，结合等和线性质可知|PA|PD|=321，故PD=23PA=6，AD=PAPD=3=AC，故C=CDA，故CAD=2C.在ABC中，cosC=ACBC=35.在ADC，由正弦定理CDsinCAD=ADsinC，即CD=sin(2C)sinCAD=sin2CsinCAD=2ADcosC=2×3

14、5×3=185.故答案为：185.【点评】此题暂无点评14.【答案】 105【考点】与圆有关的最值问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，作PC所在直径EF，交AB于点D， PA=PB，CA=CB=R=6， PCAB. EF为直径，要使面积SPAB最大，则P，D位于C点两侧，并设CD=x，计算可知PC=1，故PD=1+x,AB=2BD=236x2，故SPAB=12ABPD=1+x36x2.令x=6cos，其中(0,2)，SPAB=1+x36x2=1+6cos6sin=6sin+18sin2.记函数f=6sin+18sin2，则f=6cos+36cos

15、2=612cos2+cos6.令f=612cos2+cos6=0，解得cos=23或cos=34<0(舍去)，显然，当0cos<23时， f<0， f单调递减；当23<cos<1时，f>0，f单调递增.结合cos在0,2递减，故cos=23时，f最大，此时sin=1cos2=53，故fmax=6×53+36×53×23=105，即PAB面积的最大值是105.故答案为：105.【点评】此题暂无点评二、解答题15.【答案】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF/AB1.因为EF平面AB1C1，A

16、B1平面AB1C1，所以EF/平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC， AB面ABC，所以B1CAB.又因为ABAC， ACB1C=C，AC面AB1C，B1C面AB1C，所以AB面AB1C.因为AB面ABB1，所以平面AB1C平面ABB1.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF/AB1.因为EF平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF/平面AB1C1.(2)因为B1C平面ABC， AB面ABC，所以B1CAB.又因为ABAC， ACB1C=C，AC面A

17、B1C，B1C面AB1C，所以AB面AB1C.因为AB面ABB1，所以平面AB1C平面ABB1.【点评】此题暂无点评16.【答案】解：(1)由余弦定理，得cosB=cos45=a2+c2b22ac=11b262=22，因此b2=5，即b=5.由正弦定理csinC=bsinB，得 2sinC=522，因此sinC=55.(2)因为cosADC=45 ，所以sinADC=1cos2ADC=35，因为ADC2,，所以C(0,2)，所以cosC=1sin2C=255，所以sinDAC=sin(DAC)=sin(ADC+C)=sinADCcosC+cosADCsinC=2525.因为

18、DAC(0,2)，所以cosDAC=1sin2DAC=11525，故tanDAC=sinDACcosDAC=211 .【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由余弦定理，得cosB=cos45=a2+c2b22ac=11b262=22，因此b2=5，即b=5.由正弦定理csinC=bsinB，得 2sinC=522，因此sinC=55.(2)因为cosADC=45 ，所以sinADC=1cos2ADC=35，因为ADC2,，所以C(0,2)，所以cosC=1sin2C=255，所以sinDAC=si

19、n(DAC)=sin(ADC+C)=sinADCcosC+cosADCsinC=2525.因为DAC(0,2)，所以cosDAC=1sin2DAC=11525，故tanDAC=sinDACcosDAC=211 .【点评】此题暂无点评17.【答案】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA1=BB1=1800×403+6×40=160.令140a2=160，得a=80，所以AO=80， AB=AO+BO=80+40=120(米).故桥AB的长度为120米.(2)设OE=x，则CO=80x，由0<x<40，0<80x<

20、;80，解得：0<x<40，则总造价y=3k216014080x2+k1601800x3+6x=k800x330x2+160×800(0<x<40)，则y=k8003x260x=3k800xx20.因为k>0，所以令y=0，得x=0或20，所以当0<x<20时， y<0，y单调递减；当20<x<40时， y>0，y单调递增，所以，当x=20时，y取最小值155k，此时造价最低答： OE为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解

21、析【解答】解：(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A1，B1，则AA1=BB1=1800×403+6×40=160.令140a2=160，得a=80，所以AO=80， AB=AO+BO=80+40=120(米).故桥AB的长度为120米.(2)设OE=x，则CO=80x，由0<x<40，0<80x<80，解得：0<x<40，则总造价y=3k216014080x2+k1601800x3+6x=k800x330x2+160×800(0<x<40)，则y=k8003x260x=3k800xx20.因为k>

22、0，所以令y=0，得x=0或20，所以当0<x<20时， y<0，y单调递减；当20<x<40时， y>0，y单调递增，所以，当x=20时，y取最小值155k，此时造价最低答： OE为20米时，桥墩CD与EF的总造价最低【点评】此题暂无点评18.【答案】解：(1)由题意知，AF1F2的周长l=2a+2c=6.(2)由椭圆方程得A1,32，设点Pt,0，则直线AP方程为y=321txt.令x=a2c=4，得yQ=632t1t，即Q(4,123t22t)，则QP=t4,123t2t2，所以OPQP=t24t=t2244，即OFQP的

23、最小值为4.(3)设O到直线AB的距离为d1，M到直线AB的距离为d2.若S2=3S1，则12×|AB|×d2=12×|AB|×d1×3，即d2=3d1.由题意可得直线AB方程为y=34x+1，即3x4y+3=0，所以d1=35,d2=95.由题意得，M点应为与直线AB平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB的直线l为3x4y+m=0，与直线AB的距离为95，所以|m3|9+16=95，即m=6或12当m=6时，直线l为3x4y6=0，即y=34x2.联立y=34(x2),x24+y23=1,可得(x2)(7x+2)=0，即xM=2,y

24、M=0,或xM=27,yM=127,所以M(2,0)或(27,127).当m=12时，直线l为3x4y+12=0，即y=34x+4.联立y=34(x+4),x24+y23=1,可得214x2+18x+24=0，=9×(3656)<0，所以无解综上所述，M点坐标为2,0或27,127.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆中的平面几何问题直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意知，AF1F2的周长l=2a+2c=6.(2)由椭圆方程得A1,32，设点Pt,0，则直线AP方程为y=321txt.令x=a2c=4，得yQ=632t1t，即Q(4,123t2

25、2t)，则QP=t4,123t2t2，所以OPQP=t24t=t2244，即OFQP的最小值为4.(3)设O到直线AB的距离为d1，M到直线AB的距离为d2.若S2=3S1，则12×|AB|×d2=12×|AB|×d1×3，即d2=3d1.由题意可得直线AB方程为y=34x+1，即3x4y+3=0，所以d1=35,d2=95.由题意得，M点应为与直线AB平行且距离为95的直线与椭圆的交点.设平行于AB的直线l为3x4y+m=0，与直线AB的距离为95，所以|m3|9+16=95，即m=6或12当m=6时，直线l为3x4y6=0，即y=34x2.

26、联立y=34(x2),x24+y23=1,可得(x2)(7x+2)=0，即xM=2,yM=0或xM=27,yM=127,所以M(2,0)或(27,127).当m=12时，直线l为3x4y+12=0，即y=34x+4.联立y=34(x+4),x24+y23=1,可得214x2+18x+24=0，=9×(3656)<0，所以无解综上所述，M点坐标为2,0或27,127.【点评】此题暂无点评19.【答案】(1)解：由fx=gx，得x=0,fx=2x+2，gx=2x+2，所以f0=g0=2，所以，函数hx的图像为过原点，斜率为2的直线，所以hx=2x，经检验：hx=2x符合题意.(2)

27、解：hxgx=kx1lnx，设x=x1lnx，则x=11x=x1x，可得x1=0，所以当hxgx0时， k0.令p(x)=fxhx=x2x+1kxk=x2k+1x+1+k0，得当x=k+10时，fx在0,+上递增，所以px>p0=1+k0，所以k=1；当k+1>0时， 0，即k+124k+10，k+1k30，1<k3.综上， k0,3(3)证明：因为fx=x42x2，所以fx=4x34x=4xx+1x1，所以函数y=fx的图像在x=x0处的切线为y=4x034x0xx0+x042x02=4x034x0x3x04+2x02，可见直线y=hx为函数y

28、=fx的图像在x=t0<|t|2处的切线.又因为x2(2,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)0+00+f(x)01010由函数y=fx的图像可知，当fxhx在区间D上恒成立时， |t|1,2.又由gxhx=0，得4x24t3tx+3t42t28=0.设方程gxhx=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3t， x1x2=3t42t284，所以|x1x2|=x1+x224x1x2=t3t23t42t48=t65t4+3t2+8.令t2=，则1,2，由图像可知nm=|x1x2|=352+3+8，设=352+3+8，则=3210+3=331，所以当1,2时，

29、 <0，单调递减，所以max=1=7，故nmmax=|x1x2|max=max=7，即nm7.【考点】利用导数研究不等式恒成立问题函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性导数的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由fx=gx，得x=0,fx=2x+2，gx=2x+2，所以f0=g0=2，所以，函数hx的图像为过原点，斜率为2的直线，所以hx=2x，经检验：hx=2x符合题意.(2)解：hxgx=kx1lnx，设x=x1lnx，则x=11x=x1x，可得x1=0，所以当hxgx0时， k0.令p(x)=fxhx=x2x+1kx

30、k=x2k+1x+1+k0，得当x=k+10时，fx在0,+上递增，所以px>p0=1+k0，所以k=1；当k+1>0时， 0，即k+124k+10，k+1k30，1<k3.综上， k0,3(3)证明：因为fx=x42x2，所以fx=4x34x=4xx+1x1，所以函数y=fx的图像在x=x0处的切线为y=4x034x0xx0+x042x02=4x034x0x3x04+2x02，可见直线y=hx为函数y=fx的图像在x=t0<|t|2处的切线.又因为x2(2,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)0+00+f(x)01010由函数y=fx

31、的图像可知，当fxhx在区间D上恒成立时， |t|1,2.又由gxhx=0，得4x24t3tx+3t42t28=0.设方程gxhx=0的两根为x1,x2，则x1+x2=t3t， x1x2=3t42t284，所以|x1x2|=x1+x224x1x2=t3t23t42t48=t65t4+3t2+8.令t2=，则1,2，由图像可知nm=|x1x2|=352+3+8，设=352+3+8，则=3210+3=331，所以当1,2时， <0，单调递减，所以max=1=7，故nmmax=|x1x2|max=max=7，即nm7.【点评】此题暂无点评20.【答案】解：(1)k

32、=1时，an+1=Sn+1Sn=an+1，由n为任意正整数，且a1=1，an0，可得=1.(2)Sn+1Sn=33an+1，an+1=Sn+1Sn=33an+1(Sn+1+Sn)，因此Sn+1+Sn=3an+1，即Sn+1=233an+1，Sn+1=43an+1=43(Sn+1Sn)，所以Sn+1=4Sn.又S1=a1=1，Sn=4n1，an=SnSn1=34n2，n2.综上，an=1，n=1，34n2，n2.(nN*)(3)若存在三个不同的数列an为“3”数列，则Sn+113Sn13=an+113，则Sn+13Sn+123Sn13+3Sn+113Sn23Sn=3an+1=3(Sn+1Sn).

33、由a1=1，an0，且Sn>0，令pn=(Sn+1Sn)13>0，则(13)pn33pn2+3pn(13)=0，=1时，pn=pn2，由pn>0可得pn=1，则Sn+1=Sn，即an+1=0，此时an唯一，不存在三个不同的数列an；1时，令t=313，则pn3tpn2+tpn1=0，则(pn1)pn2+(1t)pn+1=0，t1时，pn2+(1t)pn+1>0，则pn=1，同理不存在三个不同的数列an；1<t<3时，=(1t)24<0，pn2+(1t)pn+1=0无解，则pn=1，同理不存在三个不同的数列an；t=3时，(pn1)3=0，则pn=1，同理不存在三个不同的数列an；t>3即0<<1时，=(1t)24>0，pn2+(1t)pn+1=0有两解，.设<，+=t1>2，=1>0，则0<<1<，则对任意nN*，Sn+1Sn=1或Sn+1Sn