斐波那契数列通项公式 (2)

1、斐波那契数列,“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21 这个数列从第三项开始，每一项都等于前

2、两项之和。它的通项公式为：(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n【5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 【该数列有很多奇妙的属性】比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887 还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么6465？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，

3、只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。斐波那契数列的第n项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。【斐波那契数列别名】斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。斐波那契数列一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果

4、所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对; 两个月后，生下一对小兔民数共有两对; 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; 依次类推可以列出下表： 经过月数：0123456789101112 兔子对数：1123581321345589144233 表中数字1，1，2，3，5，8构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘全书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/

5、的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/（15/2) n-(1-5/2) n(n=1,2,3.）【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21 如果设F(n)为该数列的第n项(nN+)。那么这句话可以写成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n3)显然这是一个线性递推数列。通项公式的推导方法一：利用特征方程线性递推数列的特征方程为：X2=X+1解得X1=(1+5)/2, X2=(1-5)/2.则F(n)=C1*X1n + C2*X2nF(1)=F(2)=1C1*X1 + C2*X2C1*X12 + C2*X22解得C1=1/

6、5，C2=-1/5F(n)=(1/5)*(1+5)/2n - (1-5)/2n【5表示根号5】通项公式的推导方法二：普通方法设常数r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)则r+s=1, -rs=1n3时，有F(n)-r*F(n-1)=s*F(n-1)-r*F(n-2)F(n-1)-r*F(n-2)=s*F(n-2)-r*F(n-3)F(n-2)-r*F(n-3)=s*F(n-3)-r*F(n-4)F(3)-r*F(2)=s*F(2)-r*F(1)将以上n-2个式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=s(n-2)*F(2)-r*F(1)s=1-r，F(1)=F(2)=1上式可化简得：F(n)=s(n-1)+r*F(n-1) 那么：F(n)=s(n-1)+r*F(n-1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*F(n-2)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r3*F(n-3)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)*F(1)= s(n-1) + r*s(n-2) + r2*s(n-3) + r(n-2)*s + r(n-1)（这是一个以s(n-1)为首项、以r(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）=