万有引力定律难点分析

1、2001年PHYSICSTEACHER(2001)万有引力定律难点分析马志明(江苏省南通市启秀中学,南通226001)1重力、万有引力、向心力的联系与区别1.1地球表面上物体的三力关系假设地球是一个质量均匀分布的球体,其质量为M,半径为R,地球表面上的物体质量为m,所处纬度为 ,如图1所示.根据万有引力定律可知F引=G(Mm/R),方向如图1所示.由于m物体随地球一起以 角2G(Mm/r2).当m静止不动时,此时万有引力作用就体现成重力形式,物体将会向地面加速运动(即自由落体运动).由于m不随地球一起自转,F引与G是同一个力.当m在离地心r处恰好作匀速圆周运动,此时,F引全部用来充当向心力,有

2、F引=F向.由上述分析可见,在地球上方的物体,重力G,匀速圆周运动向心力,万有引力实际上是同一个力,即万有引力.因此,在处理天体运动(如地球卫星问题)时,这三个力就本质来讲是同一种力.1.3地球上方物体所受万有引力与重力加速度的关系如忽略自转影响,物体在地球表面时,GMm=mg,R2(1)(2)(3)图1度自转,地球必须提供一个使物体作圆周运动的向心力,F向=m 2r(r=Rcos ),方向指向O,F向由地球对物体的引力提供,所以F向是F引的一个分力.根据合力和分力的关系可知F引除分解成F向以外,另一个分力就是我们通常所说的重力G,三力关系如图1所示.小结:(1)重力G是万有引力F引的一个分力

3、,即重力是由地球的吸引而产生的,重力与万有引力不是同一个力,在南北极处,重力与万有引力是同一个力,在赤道上,物体受重力方向与万有引力方向相同,三力关系F引=F向+G,在其他地方,三力关系F引=F向+方向都不同.G,重力与万有引力大小、(2)由上述分析以及由于地球实际上并不是一个质量均匀分布的球体等原因,所以物体在地球表面上不同的地方,重力是不同的.(3)质量为m的物体所受地球吸引力的大小F引设物体m与地心距离为r时,受地球引力F引=Mm,r2由(1)、(2)式可知F引=m(R/r)2g.而离地心r处物体所受F引=G因g是地球表面重力加速度,是一个常量,因此万有引力通常也用(3)式这种形式来表示

4、.2卫星发射速度绕行速度第一宇宙速度三者区别联系2.1离心现象的分析当一质量为m,离地心距离为r的物体以某一速度v在运动时,如图2.若F引<mv2/r,物图2体远离地球,F引=mv2/当物体垂直地面向上发射时,由于重力作用,引力势能增大,物体速度越来越小,动能减小,如忽略空气阻力,物体的机械能守恒.2.3小结当物体沿地平线方向以速度v发射,(1)当mv2/R<G(Mm/R2),即v<7.9km/s时,(2001)PHYSICSTEACHER2001年物体将落回地面.(2)当mv2/R=G(Mm/R2),即v=GM/R时,物体恰好绕地球作圆周运动,这一速度称为第一宇宙速度,也叫

5、绕行速度.此时,发射速度、绕行速度与第一宇宙速度相同.(3)当mv2/R>G(Mm/R2),即v>GM/R时,物体将远离地球.直到mv2/r=G(Mm/r2)时(r为物体离地心距离)物体将以v=GM/r绕行速度作圆周运动(说明:严格来讲物体绕地球作椭圆运动,地心是椭圆的一个焦点,在高中阶段我们设想物体到达离地心r时,有一装置使物体速度方向变为与地平线平行,从而物体能绕地球作圆周运动)由此可知,当v>GM/R例2某人造卫星距地高h,地球半径为R,质量为M,地面重力加速度为g,万有引力恒量为G,(1)试用h、R、M、G表示卫星的周期T;(2)试用h、R、g表示线速度v.解:F向=

6、ma向,第(1)问中,F向用GMm/(R+h)2表示,a向=(2 /T)2(R+h),则GMm/(R+h)2=m(2 /T)2(R+h).T=(R+h)34 2/GM.第(2)问中,F向用mR/(R+h)2g表示,a向用v2/(R+h)表示,则mR/(R+h)2g=mv2/(R+h).v=Rg/(R+h).例3两颗人造卫星A、B绕地球作圆周运动,周期之比为TATB=18,则轨道半径之比RARB,运动速率之比vAvB分别为多少?解题分析:F向=ma向.因本题是比例问题,F向可任选一种形式,只要对A、B用同一形式表示即可,而a向用(2 /T)2R形式表示.G(Mm/R2)=m(2 /T)2R或m(

7、R/r)2g=m(2 /T)2R,R=3时,三速度关系是,v发射速度>v第一宇宙速度>v绕行速度,第一宇宙速度是卫星发射的最小速度,是物体绕行的最大速度.(4)当v发射11.2km/s时,物体将挣脱地球引力的束缚,成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去,所以11.2km/s这个速度叫做第二宇宙速度,也叫脱离速度.当v发射16.7km/s时,物体将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳以外的宇宙空间去,所以,16.7km/s称之为第三宇宙速度,也叫逃逸速度.3万有引力定律的应用卫星问题应用的基本规律是F向=ma向,其中F向可用G(Mm/r2)、m(R/r)2g两种形式表示,a向可用v2/r

8、、 2r、(2 /T)2r三种形式表示.F向及a向用哪一种形式表示,这要视具体问题而定,下面结合例题加以分析.例1如果地球自转速度加快,地球上物体受到重力将发生怎样变化?地球自转角速度等于多少时,在赤道上的物体受到的重力为零?(R地=6370km,M地=5.98×1024kg)根据前面分析可知,地球自转角速度增大时,物体随地球自转所需向心力增大,物体的重力将减小,在赤道上的物体,当F向=F引时,重力变为零,此时有m 2R地=G(M地m/R地2)成立, =GM地/R地3=6.67×10-11×5.98×1024/(6.37×106)3=1.24×10-3rad/s.GMT2/4 2,33RA/RB=TA2/TB2=(1/8)2=1/4.由v=2 R/T得,vA/vB=RATB/RBTA=1/4×8/1=2/1.例4试分析地球同步卫星特点.解题分析:因卫星绕地球作