一道线性代数试题引发的思考

1、一道线性代数试题引发的思考    【摘要】线性相关和线性无关是线性代数的重要内容.本文通过一道此知识点的考试题来讨论解决此类问题的方法，为将来的教学提供借鉴和帮助.【关键词】线性代数；线性无关；线性相关；向量组下面我们给出一道线性无关的期末考试题来说明，判断线性无关的各种正确方法，对一些典型错误解法也进行剖析，让读者更加准确、容易地掌握此难点.已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=2a1+a2，b2=a2+5a3，b3=4a3+3a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关.解法1 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式(b1,b2,b3)=(a1,a

2、2,a3)203110054，记作B=AK.设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0.因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以Kx=0.又|K|=230，那么Kx=0只有零解x=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关.解法2 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)203110054，记作B=AK.因|K|=230，知K可逆，根据矩阵秩的性质可知R(A)=R(B).因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以R(A)=3，从而R(B)=3.故向量组b1,b2,b3线性无关.解法3 设有x1,x2,x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0，即x1(2a1+a2

3、)+x2(a2+5a3)+x3(4a3+3a1)=0，也即(2x1+3x3)a1+(x1+x2)a2+(5x2+4x3)a3=0.因为向量组a1,a2,a3线性无关，故有2x1+3x3=0,x1+x2=0,5x2+4x3=0.由于此方程的系数行列式不等于0，故此方程只有零解（或者直接由中学的消元法可解出只有零解）,故由定义知向量组b1,b2,b3线性无关.本考题与同济大学应用数学系编写的教材线性代数第四章的例6类似.此教材第五版只给出了解法1和2，省略了第四版中的解法3.但笔者经过统计，此考题超过八成的学生采用了解法3，为什么会出现这种情况呢？下面我们对这三种方法进行剖析.事实上，向量组线性无

4、关常用的充要条件有下面三个，即向量组A：a1,a1,am线性无关等价于如果k1a1+k2a2+kmam=0(零向量）,则必有k1=k2=km=0；m元齐次线性方程组Ax=0只有零解；矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数m.显然,解法3利用了充要条件,也即根据定义直接易证.解法1与2证明时首先是把已知条件表述成矩阵形式（几何语言转化为矩阵语言），然后解法1利用了充要条件把证明向量组线性无关转化为证明齐次方程没有零解，因而去考察方程Bx=0（几何语言转化为方程语言）；解法2利用充要条件以及矩阵的有关知识得证（几何语言转化为矩阵语言）.通过以上的分析可以发现解法3只要知道定义和中学的消元法

5、就可以将几何对象向量组的线性无关证明出来,而解法1和2要将比较抽象的几何对象转化为线性代数中的方程语言和矩阵语言来证明，学生需要掌握的知识比较多.能够利用解法1和2的学生说明对线性代数的三个重要对象比较熟练,是对学生一个比较高的要求.最后，我们讨论一下出现的问题.读者细心的会发现向量组线性无关常用的充要条件总共有四个，也即向量组A：a1,a2,am线性无关等价于向量组A中任何一个向量都不能由其余（m-1）个向量线性表示.解法4 (反证法)假设向量组线性b1,b2,b3相关，则存在不全为零的数k1,k2使得b3=k1b1+k2b2，即4a3+3a1=k1(2a1+a2)+k2(a2+5a3),从

6、而(k1+k2)a2=(3-2k1)a1+(4-5k2)a3,那么a2=3-2k1k1+k2a1+4-5k2k1+k2a3，也就是说a2可以由a1和a3线性表示，这与向量组a1,a2,a3线性无关，矛盾.结论得证.此解法利用了第四个充分必要条件的逆否命题来证明，但遗憾的是这种证法存在错误.注意到充要条件的逆否命题：向量组A：a1,a2,am线性相关等价于向量组A中至少存在一个向量都能由其余（m-1）个向量线性表示.这里关键词是“至少”，没有指明是哪个变量，更不是任意的变量能由其余的向量线性表示.【参考文献】1同济大学应用数学系.线性代数M.北京:高等教育出版社,2007.2同济大学应用数学系.线性代数附册学习辅导与习题选解M.北京:高等教育出版社,2007.z    相关论文    · 关于独立学院线性代数课程改革的建议· 线性代数中有关二次型问题的题型及解法· 在“线性代数”教学中