中考复习 特殊三角形(含答案)-

1、特殊三角形考点链接1等腰（等边）三角形的判定定理与性质定理2直角三角形的判定与性质3勾股定理的应用典例精析【例题1】判断题：（正确的画“”，错误的画“×”）（1）若三角形中最大的内角是60°，那么这个三角形是等边三角形；（ ）（2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（ ）（3）等腰三角形两腰上的高相等；（ ）（4）等边三角形的三条高相等；（ ）（5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（ ）（6）顶角相等的两个等腰三角形全等（ ）评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定（1）三角形有一角为60°时，另两角和是120°，若其中之一小

2、于60°，必有另一个大于60°，与最大角为60°相矛盾（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边（6）和等腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等答案：（1） （2）× （3） （4） （5）× （6）×评析：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点【例

3、题2】（1）已知：a、b、c为ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断ABC的形状（2）如图，ABC中，CDAB，垂中为D点，且CD2=AD·BD，求证：ABC为直角三角形 解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代数式、方程相结合，综合运用特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断 （1）解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10

4、c+25=0，（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0，a-3=0，b-4=0，c-5=0，a=3，b=4，c=5，a2+b2=c2，ABC为直角三角形（2）证明：CDAB，AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，DC2=AD·DB，AC2+BC2=AD2+DB2+2AD·DB=（AD+DB）2=AB2ABC为直角三角形 评析：（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，先分别在RtACD和RtBCD中使用勾股定理，再依据

5、已知条件，进而求得AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理判定ABC为直角三角形【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值解题思路：（1）木棍在滑动过程中，OP始终是RtAOB斜边中线，故为斜边AB的一半，而AB的长为定长，所以OP不变（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，AOB的面积为最大，

6、所以当OPAB（即OA=OB）时，AOB面积最大解：（1）不变理由：在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变（2）当AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，AOB的面积最大，如图，若h与OP不相等，则总有h ，故根据三角形面积公式，有 h 与 OP 相等时， AOB 的面积最大 此时，SAOB=AB·h=×2a·a=a2所以AOB的面积最大值为a2评析：（1）在变化过程中，要抓住不变量，建立起所求量与不变量的关系（2）要求面积的最大值转化为三角形底不变，高是变量，即找出高的变化的最大值即得探究实践【问题1】已知ABC的两边AB、AC长是关于

7、x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5（1）k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长解题思路：（1）用根与系数的关系、勾股定理建立方程求解，再用判别式和根与系数的关系检验（2）用求根公式和等腰三角形的性质求解解：（1）根据一元二次方程根与系数的关系和勾股定理，可列方程组：AC2+AB2=（AC+AB）2-2AC·AB25=（2k+3）2-2（k2+3k+2），k1=-5，k2=2当k=-5时，方程的两根为负值，不合题意，舍去k=2，ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）=（2

8、k+3）2-4（k2+3k+2）=1>0，方程有两个不相等的实数根，ACAB当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5ABC的周长为14k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6ABC的周长为16评析：这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定

9、理，不满足的也要舍去 【问题2】如下左图，图是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边的长为c图是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（1、用单纯形法求解，并回答下列问题。 1 ） （ 1 ）如果 C 5变为5解：（1C1图是所拼的图形，它是直角梯形 （2）如果b1从30=（a+b）（a+b）=（a+b）2，又S梯形=ab×2+S.t. =ab+c2，（a+b）2=ab+c2，整理得a2+b2=c2S.t. （3）拼出能证明勾股定理的图形（图略）评析：这是考察学生综合

10、能力的一个题目，证明勾股定理的方法很多，而本题给出了三个直角三角形，分析直角三角形的边，用面积关系得出勾股定理的一种证明方法中考演练1等腰三角形的两边长分别为2cm和4、某工厂用B1、BABC两种原料生产A1、AE是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧交BC于点D，连接ED并延长到点F，使3，连接A1 A2 A (1 (2 (33等腰三角形的两外角之比为5：2，则该等腰三角形的底角为 4 3 6 1如图2，ABC中，AB=AC（AC边上，且BD=BC=AD，则A的度数为（ ）A30° B36° C45° DB22下列命题中，错误的是（ ）A等边三角形的各边相等

11、，各角相等B4C等边三角形是一个中心对称图形 发量等边三角形有一个内切圆和一个外接圆B13如图3，在ABD中，D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）BA10° B20° C30° D40°三、解答题1如图，已知，在RtABC中，ACB=90°，AC=BC，D是AB中点，E、F分别在AC8上，且ED7，求证：S四边形EDFC=SA22如图，ABC中，ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过3作CF，垂足为F，过B5BC交CF的延长线于D3（1）求证：AE=CD：（2）若AC=12cm，求BD的长实战模拟一、填

12、空题1底角为6°，腰长为a的等腰三角形的面积是52等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数为93如图，D为等边三角形ABC收量，BP=AB，DBP=DBC，则BPD的度数是_341（宿迁）如图6的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A（1）（）（3） B）（2）（4） C（2）（3）（4） D（1）（3）（46、线性规划问题如下：2如图，等边ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点s.t.，则APE的度数是（1A45° B55° C60°75°3三角形两边的长为6和8，第三边长为方程x2-1

13、6x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A24 B24或8 C48 D8三、解答题1（兰州）如图所示，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于O点，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC（1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形（用序号数写出所有情况）（2）选择（1）中的一种情况，证明ABC是等腰三角形2（吉林）如图，在RtABC和RtDEF中，ABC=90°，AB=4，BC=6，DEF=90°，DF=EF=4（1）移动DEF，使边DE与AB重合（如图）再将DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图），求BE的长（2）将图中的DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接