《深度把握教材难点_巧妙设计有效数学活动》

1、深度把握教材难点 巧妙设计有效数学活动 实验二小 宋征各位老师： 大家下午好！我今天和大家交流的题目是：深度把握教材难点 巧妙设计有效数学活动，主要是通过游戏公平这节课谈谈我是如何研究，理解，把握教材的。我想从三个方面来谈：一钻研理解教材高瞻远瞩。我首先谈谈对教材的思考：游戏公平是北师大版第八册的教学内容。这节课一个很重要的教学目标是让学生“初步体验事件发生的等可能性”。在此之前，三年级上册学生已经学习过“可能性大小”，学生已经有一定的认知基础。后续在五年级下册还将学习用分数表示可能性大小，也就是用定量刻画可能性的大小。体现了北师大版教材“由浅入深、循序渐进、螺旋上升”的特点。而人教版教材是在

2、三年级上册讲解完“可能性大小”之后，四年级不再接触“统计与可能性”方面的知识。在五年级上册直接学习用分数表示可能性大小，其中用二分之一这个定量来刻画等可能性。虽然版本不同，但都是要体现新课程标准中经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。那么小学统计教学的核心目标是发展学生的统计观念。统计观念体现在以下几个方面： 认识到统计的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题； 能通过收集、描述、分析数据的过程，做出决策； 能对数据的来源，收集和描述的方法、分析的结论进行合理的质疑。 而在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是为了培养学生的随机思维，让学生学会用概率的眼光去观察大千世界，而不仅

3、仅是以确定的、一成不变的思维方式去理解事物。围绕着这样的中心目标，教材创设了学生生活中经常遇到的下棋时怎样决定谁先走的问题，两个同学根据自己的生活经验提出解决问题的办法：一个同学说抛一个六面骰子，骰子的六个面上分别写着1到6这六个数字。每人只抛一次，如果正面朝上的数字大于3，甲赢；小于3，乙赢。由学生判断这样的规则是否公平。分析教材不难发现，这一情节的背景是典型的古典概率。每面朝上的可能性都可以用1/6来表示。大于3的有4、5、6三个面，用比率表示3/6，小于3的只有1和2两个面，用比率表示为2/6。3/6大于2/6，因此规则是不公平的。真的能将这一情景简单地变为计算问题吗？当然不行。因为当我

4、们用比率来表示每面朝上的可能性的时候，必须先要满足两个条件：可能性的总数为有限个，每个结果的出现有同等可能。显然这个方法更适合学生体验等可能性之后，让学生去修改游戏规则，而不太适合成为一个解决问题的活动。但其中值得我们思考的就是从不公平到公平的过程，也是学生认识事物的一种角度和方式。那么抛硬币的方法呢？随处可见的硬币是一个均匀的物体，正反面朝上的可能性是相等的。所以很多老师还是通过在课堂上让学生去抛硬币，但做了试验之后，却是另一番景象：越分析越糊涂在一堆悬殊很大的数据面前，教师试图说服学生可能性相等时，因缺乏有效数据而显得那么苍白无力，于是教师便想尽一切办法，选择相等的或接近相等的数据以支持“

5、可能性相等”的结论草草收场。有老师说：“这样的内容用实验来证明，那是徒劳。真是证明了，那是运气好。”我想：老师说的“真是证明了”的实验是怎样的实验呢？难道正反各半的实验才是理想的实验?那样岂不是确定的事件？如果抛最后一次是确定的，那么倒数第二次不也就是确定的了吗？这岂不与随机的本质相悖？抛硬币本身是用实验方法估计那些“等可能发生的事件”的概率。我们不禁要问等可能性事件的发生概率是实验得出的结果吗？不。是通过理性思考得出的，它并不依赖于实验。我们需要的是像“抛啤酒瓶盖”这样的“非等可能性”的随机事件，引导学生用频率近似地表达概率。那么抛啤酒瓶盖还有什么优点呢？首先啤酒瓶盖和硬币一样都有正、反两个

6、面。但是啤酒瓶盖两面朝上的可能性又是不相等的。对于学生的理解：学生又是如何理解“等可能性”的呢？无论是课前调查还是课上学生的发言都反映出同一问题：一方面很容易就接受了用分数（比率）表示可能性的做法以及结果，另一方面却又对每次试验时条件不能完全一致提出质疑。这样就出现了第一个矛盾：如果承认比率能表示可能性，并同意表示的结果，那么首先要认可“重复了若干次的试验是完全同样的”。（把完全相同的试验重复若干次，在概率论中是一个极其重要的模型。）反之，如果试验条件不相同就无法用比率表示可能性。学生的认知矛盾就是教学的难点，我让学生在同样大小的杯子里面抛瓶盖，这样就有效地控制了试验的环境，使每个学生的试验环

7、境都尽可能地“完全同样”。数学研究的各种模型，往往是对现实情况的简化。对过于抛骰子可能出现的多种结果进行简化以及对抛瓶盖的实验环境的简化，这是对这种理解的应用。事实证明基于简化模型而得出的数学方法是实用而精彩的。基于以上思考，我把教学目标定位为：1.初步感受事件发生的等可能性。会分析、判断游戏的公平性。 2.积累数学活动经验，渗透用数据说话的科学精神。 3.喜欢数据，懂得看问题不要绝对化。 二活动超越教材胸有成竹。短短的40分钟，不允许我们像科学家一样做成千上万次的试验，那么怎样的活动才能有效地让学生通过不等可能性试验，来体验等可能性呢？我设计了三个活动。第一个活动是每个小组抛10次瓶盖和60

8、次瓶盖。（视频2分10秒）通过记录瓶盖正、反面的朝上情况来进行统计，并用这种方法定义的概率是“统计概率”，因为它是通过“统计”（即进行观察）去定义概率的。这样就出现了本节课的又一个难点：理论上我们知道瓶盖正面朝上或反面朝上的可能性应该是趋于稳定的，但是现实的记录结果却是杂乱无章，毫无规律，难以预测的。如何突破难点，让学生用数学的方法在纷乱的数据找到秩序，体会数学的价值呢？学生进行两次抛瓶盖实验（10次和60次），收集少量试验和大量试验的数据进行对比，并利用学生统计出来的数据现场制成统计图，将统计数据的前后变化差异清晰、直观地展现出来。虽然60次的试验次数并不能使某一面朝上的频率接近它的比率，但

9、是和10次试验相比较，数据的稳定性趋势显而易见的。紧接着我又出示了蒲丰、费勒、皮尔逊等数学家的上千次的试验数据与结果，使学生体会到这个稳定性要到试验的次数足够多时才显示出来：在开始的一段中比率的变化可以是很大的，而在这表面的纷乱之下其实存在这一种规律性的（这也正是大数定律这个名称的由来）。这样的比较活动，让学生积累了数学活动经验，渗透用数据说话的科学精神。过程中，学生用数据说理，亲近数据，发展了统计观念。我在最后的总结阶段，跳出这个模型，对于大数定律的意义做一种更广义的解释：我们的世界的存在一个基本规律，在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章

10、，毫无规律，难于预测的。但是由于大数定律的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。另外，除了10次和60次数据的对比以外，还有一个对比就是从不等可能性到等可能性的对比过渡，（视频2分45秒）虽然我们花费了一定时间在做不等可能性试验，但最终目标就是通过这种对比来认识硬币是均匀的，所以正反两面朝上的可能性是相等的。紧扣教学目标和教材的重点，这才是这节课的点睛之笔。 第三个活动就是学生设计公平的游戏规则。（视频4分23秒）这是教材中重要的一点能够根据体验到的等可能性设计公平的游戏规则。学生把自己对于等可能性的理解应用到设计公平的游戏规则上，有了很多很好的创造。可以说很好地体现了教材中的要求三反思回归教材温故知新。 最后是否应让啤酒瓶盖正面朝上？我思考教学价值什么是“教学”？可能性的教学价值究竟是什么？这节课的教学是否让学生体验到“一切皆有可能”的积极意义呢？陈希孺先生说：“统计规律的教育意义是看问题不可