数学建模期末试卷A及答案

1、1 / 51.(10分)叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。(1模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求， 收集各种必要的信息。(2模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做出必要的、 合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。(3模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题，注意要尽量采用简单的 数学工具。4)模型求解： 利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数 学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。(5)模型分析：对所得到的解答进行分析， 特别要注意当数据 变化时所得结果是否稳定。(6)模型检验：分析所

2、得结果的实际意义， 与实际情况进行比 较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。(7)模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效 益，在应用中不断改进和完善。2.(10分)试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。 设生产速率为常数k，销售速率为常数r,r k。在每个生产周期T内，开始一段时间(0t T。)边生产边销售，后一段时间(T。t T)只销售不生产，存贮量q(t)的变化如图所示。设每次生产开工费为G，每件产品单位时间的存贮费为C2，以总费用最小为准 则确定最优周期T，并讨论r k和r k的情况。C_ C2(k r)T单位时间总费用C(l)T 2k，使c

3、(T)达到最小的最优周期T*=2c1kT*=2lC2r(k r)。当r k时， ：c?r，相当于不考虑生产的情况； 当r k时，T*，因为产量被售量抵消，无法形成贮存量。2 / 53.(10分)设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长(Logistic) 模型dxxr(1 )xdtXmx(0) X。中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚 该模型的建模思想。t-时刻；x(t)t时刻的人口数量；r人口的固有增长率；Xm-自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量；X。-初始时刻的人口数量人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。且阻滞作用随人口数量

4、增加而变大，从而人口增长率r(x)是人口数量x(t)的的减函数。假设r(x)为x(t)的线性函数：r(x) r sx (r 0, s 0)其中，r称为人口的固有增长率， 表示人口很少时(理论上是x 0) 的增长率。rs一当xXm时人口不再增长，即增长率Dm)0，代入有Xm，从而有Xr(x) r 1 -Xm根据Malthus人口模型，有主r(1 dxdtXmx(0) X04.(25分)已知8个城市v0, V，,v7之间有一个公路网(如3 / 5图所示),每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时 间.(1)设你处在城市V。，那么从V0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短?各点的

5、父点如下:各点的最短路径及最短路长分别为:v0:v0v1: v0fv2:v0fv2fv3:v0fv2fv3fv4:v0fv5:v0fv5fv6:v0fv2ffv3fv7:(2)最小生成树如下图:v0 v1v2v3 v4v5v6v7v0 v0v0v2 v3v0v5v3(1)V0到其它各点的最短路如下图:V33*JVie3 v24 / 57. (10分)有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次， 找出这个苹果，并说明它的轻重情况。先把苹果编号112把14和58放在天平两边:(1)两边持平：就在912中，再把9和10放在天平两边，再平就在11

6、或12中若9和10不平，则在9或10中；(2)两边不平：假设1234重5678轻贝V进行第二次称量125和349;若平了就在678中且是轻的 再称6与7即可；若125重349轻则在12中且是重的，再称1与2即可；若125轻349重，则坏的是5。某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两 种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一 个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工 时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才 能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)(10)解：(1)确定决策变量：x仁生产桌子的数量x2=生产椅子 的数量(2)确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50 x1+30 x2(3)确定约束条件：4x1+3x250(油漆工工时限制)(4)建立的数学模型为:max S=50 x1+30 x25 / 5s.t. 4x1+3x250 x1, x2 0人育四TTA 墓井别指派他们完曲四顶开同的工作.毎人做各顶工作所清耗的时间如下表所示间应 知呵指汎工作.才能使总的销耗时闾为最少7(建立膜型不计算)(1Q1)3合_-Q指尿离f人完或有项工作朴爷补不巒i淤鮒项工作j = n frill Z = 15XT+18r. + 21r, + 2