第三讲 柯西积分公式与解析函数的高阶导数

1、课程教案授课时间：第 周 周 第 节 课时安排 课次_ 授课方式（请打）：理论课 讨论课 实验课 习题课 综合课 其他 授课题目（教学章、节或主题）：§3.5 柯西积分公式；§3.6 解析函数的高阶导数教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）：1熟练掌握柯西积分公式；2熟练掌握高阶导数公式教学重点及难点：重点： 柯西积分公式；高阶导数公式难点： 柯西积分公式教学基本内容（要体现出教学方法及手段）：§3.5 柯西积分公式一、问题的提出0 , . B z B 设为一单连通域为中一点 ( , f z B 如果在内解析那末( f z z z -在0. z 不解析0(

2、d , Cf z z z z -所以一般不为零0. C B z 为内围绕的闭曲线根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. C 积分曲线取作以 00 , , z z z -=为中心半径为很小的的正向圆周 ( , f z 由的连续性 C 在上0 ( ,f z z 函数的值将随着的缩小而逐渐接近于它在圆心处的值0( d Cf z z z z -00( d . ( Cf z z z z -将接近于缩小，00( d Cf z z z z -0001( d 2(. Cf z z if z z z =-二、柯西积分公式定理 ( , f z D C D 如果函数在区域内处处解析

3、为内的任何一条正向简单闭 0, , , D z C 曲线它的内部完全含于为内任一点那末001( ( d . 2Cf z f z z iz z =-证 0 ( , f z z 因为在连续0, >则( 0, >0, z z -<当时 0( ( .f z f z -<0 , ( :z R R K <设以为中心半径为的正向圆周 0 , z z R C -=全在的内部则( d Cf z z z z -( d Kf z z z z =-000( ( (d d KKf z f z f z z z z z z z -=+-000( (2( d Kf z f z if z z z

4、z -=+-00( ( d Kf z f z z z z -00( (d Kf z f z s z z -d 2. Ks R<=上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.证毕 柯西积分公式：001( ( d 2Cf z f z z iz z =-关于柯西积分公式的说明:(1 把函数在C 内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.(3 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.2

5、0001( (d . 2i f z f z R e =+三、典型例题例1 441sin 12 (1d ; (2d . 213z z z z z izz z =+-求下列积分 解 41s i n (1d 2z z z iz= ( s i n f z z =因为在复平面内解析 ( s i n f z z =因为在, 复平面内解析由柯西积分公式41sin d 2z z z iz =012sin 2z i zi=0; =412(2d . 13z z z z =+- 4412d d 13z z z z z z =+-2122i i =+6. i =例2 2d .1zz ez z =-计算积分 解 ( ,

6、 zf z e =因为在复平面内解析12 , z z =<位于内由柯西积分公式12d 21zz z z ez i ez =-2. e i =例3 2121d .(1z i z z z -=+计算积分 解21(1 z z =+1( (z z i zi +-1( z z i z i+=-( f z =，1 ( , 2f z z i -因为在内解析由柯西积分公式2121d (1z i z z z -=+121(d z i z z i z z i-=+=-12(z ii z z i =+2122i i=. i =-例4 2223713, ( , (1 CC x y f z f i z+'

7、+=+-设表示正向圆周求解 根据柯西积分公式知, , z C 当在内时2( 2(371zf z i =+22(371, i z z =+ ( 2(67, f z i z '=+故 1 , i C +而在内所以(1 2(613. f i i '+=-+例5 2sin1 d , :(1 1; 12Czz C z z +=-计算积分其中1(2 1; 2z -=(3 2. z =解 2112s i (1d 1z zz z +=-112s i d 1z zz z +=+1s i 21z z i z =-= -; 2i =(22112sind 1z zz z -=-112sind 1z z

8、z z -=-1sin 21z zi z = +; 2i =(3 由闭路复合定理, 得22sind 1z z z z =-2112sind 1z z z z +=-2112sind 1z zz z -=+- 22i i = +. i =课堂练习 23d .(1zz ez z z =-计算积分 答案 0, 1, 1z z z =-有三个奇点 123d (2. (1zz ez i e ez z -=+-§3.6 解析函数的高阶导数一、问题的提出问题: (1 解析函数是否有高阶导数?(2 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1 解析函数有各高阶导数.(2 高阶导数的值可

9、以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 二、主要定理定理 ( , f z n 解析函数的导数仍为解析函数它的阶:导数为(01! ( d (1, 2, 2(n n Cn f z fz z n i z z+=-0 ( C f z D z 其中为在函数的解析区域内围绕的任何一条正向简, 单闭曲线D 而且它的内部全含于证 0 ,z D 设为内任一点根据导数的定义, 0000( ( limz f z z f z f z z+-'=从柯西积分公式得 001( ( d , 2Cf z f z z iz z =- 001( ( d ,2Cf z f

10、 z z z iz z z+=- 00( (f z z f z z+-001(d d , 2C Cf z f z z z zi z z zz z =-001(d 2( Cf z z i z z z z z =-220001( 1(d d 2(2( (CCf z zf z z z iz z iz z z z z =+-2001(d 2( (Czf z I z z z z z z =-20( 1d 2Cz f z s z z z z z-( , f z C 因为在上解析, C 所以在上连续 ( , f z C 故在上有界 0, M >于是( , f z M 使得0 , d z C 设为从到曲

11、线上各点的最短距离 , z 并取适当地小1 , 2z d <满足0 ,z z d -则011 , z z d-00z z z z z z -，012, z z zd-3, M LI zd<3, M LI zd< . L C 这里为的长度 0, z 如果0, I 那末0000( ( limz f z z f z f z z+-'=201( d , 2(Cf z z iz z =-再利用以上方法求极限 000( (lim z f z z f z z''+-可得0302! ( ( d . 2(Cf z f z z iz z ''=-至此我们证

12、明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证(010! ( ( d . 2(n n Cn f z fz z iz z +=- 证毕z0 d D C 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 三、典型例题 例1 计算下列积分, 其中 C 为正向圆周 : z = r > 1. (1 C cos z dz; (2 ( z 15 C ez dz. ( z 2 + 1 2 解 (1 函数 cos z 在 C 内 z = 1 处不解析, 但 cos z 在 C 内处处解析, ( z 15 n! 2 i 根据公式 f ( n ( z0 = C f

13、( z dz ( z z0 n +1 = (2 函数 C cos z 2 i dz = (cos z (4 5 ( z 1 (5 1! 5i 12 z =1 ; ez 在 C 内的 z = ±i 处不解析, 在 C 内以 i 为中心作一个 ( z 2 + 1 2 ez 在由 C , C1 , C2 ( z 2 + 1 2 正向圆周 C1 , 以 i 为中心作一个正向圆周 C2 , 则函数 根据复合闭路定理 C ez dz = ( z 2 + 1 2 C1 ez dz + ( z 2 + 1 2 C2 ez dz ( z 2 + 1 2 (1 i ei , 2 C1 ez dz = (

14、 z 2 + 1 2 C1 ez 2 i e z ( z + i2 dz = ( z i 2 (2 1! ( z + i 2 = z =i 同理可得 于是 C2 ez (1 + i e i dz = , ( z 2 + 1 2 2 C ez (1 i ei (1 + i e i dz = + = (1 i (ei ie i 2 2 ( z + 1 2 2 2 = (1 i 2 (cos1 sin1 = i 2 sin 1 . 2 4 y C1 i C o C2 i x 例2 求积分 (1 z3 + 1 e z cos z dz; (2 dz ( z + 14 z2 z =2 z =1 解 (1

15、 函数 z 3 + 1 在复平面内解析, z0 = 1 在 z 2 内, n = 3, n! 2 i 根据公式 f ( n ( z0 = C f ( z dz ( z z0 n +1 z3 + 1 2 i 3 =2 ( z + 14 dz = 3! z + 1 z =1 = 2 i; z (2 e z cos z z =1 z 2 dz 函数 e cos z 在复平面内解析, z0 = 0 在 z 1 内, n = 1, z e z cos z 2 i z z z =1 z 2 dz = 1! (e cos z z =0 = 2 i e cos z e sin z z=0 = 2 i. z e

16、z 例 3 求积分 n dz. (n 为整数 z z =1 解 (1 n 0, ez ez 在 z 1 上解析, 由柯西古萨基本定理得 n dz = 0; zn z z =1 (2 n = 1, 由柯西积分公式得 ez z =1 z n dz = 2 i (e z =0 = 2 i; z (3 n > 1, 根据公式 f ( n ( z0 = n! 2 i C f ( z dz ( z z0 n +1 = 2 i . (n 1! ez 2 i z ( n 1 =1 z n dz = (n 1! (e z 例4 z =0 求积分 C ( z 2 1 2 z3 dz. 其中C : (1 z

17、3 = 2; (2 z 1 = 3. 解 函数 1 有两个奇点 z = 2 和 z = 0, ( z 2 2 z 3 1 , z3 (1 z 3 = 2, 仅包含奇点 z = 2, 取 f ( z = C 1 dz = ( z 22 z 3 C 1 z 3 dz = 2 i 1 ( z 2 2 1! z 3 = z =2 3 i ; 8 (2 z 1 = 3 两个奇点 z = 2 和 z = 0 都含在 C 内, 作简单闭曲线 C1 和 C2 分别包含 0 和 2, C1 和 C2 互不包含且互不相交, 根据复合闭路定理和高阶导数公式, C ( z 2 1 2 z 3 dz = C1 ( z 2 1 2 z 3 dz + C2 ( z 2 1 2 z3 dz = C1 1 1 3 ( z 2 2 dz + z 2 dz z3 ( z 2 C2 z =0 2 i 1 = 2! ( z 2 2 2 i 1 + 1! z 3 z =2 = 3 i 3 i = 0. 8 8 作业和思考题： 第三章习题 82