初中数学相似三角形经典练习难题易错题(附详解)

1、相似三角形难题易错题CD=9厘米.求 EF.填空题（共2小题）2 .如图，？ABCD的对角线相交于点 O,在AB的延长线上任取一点 E,连接OE交BC于点F.若AB=a, AD=c, BE=b,则 BF=.二.解答题（共17小题）3.如图所示.在4ABC中,/ BAC=120°, AD 平分 / BAC交 BC于 D.求证:4.如图所示，？ABCD中，AC与BD交于。点，E为AD延长线上一点， OE交CD于F, EO延长线交AB于G.求证：典-色£DF DE 1三G5. 一条直线截ABC的边BC、CA AB（或它们的延长线） 于点D、E、F.求证:BD CE AFDCEA

2、FB6 .如图所示.P为ABC内一点，过P点作线段DE, FG, HI分别平行于AB, BC和CA,且 DE=FG=HI=d AB=510, BC=450, CA=425.求 d.7 .如图所示.梯形ABCD中，AD/ BC, BD, AC交于。点，过O的直线分别交 AB, CD于E, F,且 EF/ BC. AD=12 厘米，BC=20厘米.求 EF.FG, IH分别平行于AB, BC, CA （如图所示）.10. P为 ABC内一点，过 P点作DE,求证:二 3GD8国陛AB EC ACDP交AB的延长线于 Q点，求证： 一些二1BP BQ 19.如图所示，梯形ABCD中，AD/ BC,

3、MN / BC,且MN与对角线 BD交于O.若AD=DO=a, BC=BO” 求 MN .11 .如图所示.在梯形 ABCD中，AB/CD, ABv CD. 一条直线交 BA延长线于 E,交DC延 长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知 EF=FG=GH=HI=IJ求DC:AB.12 .已知P为 ABC内任意一点，连 AP, BP, CP并延长分别交对边于 D, E, F.求证：(1)四目二Z二i(2)迎,更，起三者中，至少有一个不大于2,也至少师 BE CF， AD PE PF有一个不少于2.AE平分/BAC, BDLAE的延长线于 D,13 .如图所示.在 4ABC

4、中，AM是BC边上的中线, 且交AM延长线于F.求证：EF/ AB.G14 .如图所示.P, Q分别是正方形 ABCD的边AB, BC上的点，且BP=BQ BHPC于H.求 证：QHXDH.15.已知 M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q分别在 AB、AC上，且 PQ2=PB2+QC2.PMXQM .求证:16.如图所示.在 4ABC 中，/ACB=90°, CD± AB 于 D, AE 平分 / CAB, 证：EF/ BC.CF平分/BCD.求17 .如图所示.在 4ABC内有一点 巳 满足/APB=Z BPC=Z CPA 若2/B=/ A+/C,求证: Pg=PA?P

5、C（提示：设法证明 PA4PBC.）18 .已知：如图， ABC为等腰直角三角形， D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE:EB=2: 1.求证：CE! AD.19 .如图所示，4ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN, 分别交BE于F、G,求BF: FG: GE的值.1 I 120 .在 ABC中，/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 4.求证.而十而=正提示：要证明如几何题的常用方法：比例法：将原等式变为造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。通分法：将原等式变为 利用相关定理将两个个比通分即：:* ： = 且m + n=&

6、;则原式成立2013初中相似三角形难题易错题参考答案与解析.填空题（共2小题）CD=9厘米.求 EF.考点：平行线分线段成比例.专题：计算题.分析：由于BC是4ABC与4DBC的公共边，且 AB/EF/ CD,利用平行线分线段成比例的定 理，可求EF.解答：解：在4ABC中，因为EF/ AB,所以 EF: AB=CF: CBD ,同样，在 4DBC 中有 EF: CD=BE CB2）, +得 EF: AB+EF: CD=CF CB+BF CB=1 .设EF=x厘米，又已知 AB=6厘米，CD=9厘米，代入 得x： 6+x： 9=1,解得故EF名厘米.5点评：考查了平行线分线段成比例定理，熟练运

7、用等式的性质进行计算.2 .如图，？ABCD的对角线相交于点 。，在AB的延长线上任取一点 E,连接OE交BC于点F.若AB=a, AD=c, BE=b,贝U BF=_a+2b考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.专题：计算题.分析：首先作辅助线：取 AB的中点M,连接OM,由平行四边形的性质与三角形中位线的 性质，即可求得： EFBEOM与OM的值，利用相似三角形的对应边成比例即可 求得BF的值.解答：解：取AB的中点M,连接OM,四边形ABCD是平行四边形， .AD/BC, OB=OD,OM / AD/ BC, OM=-AD=ic,22AEFB AEOM, . BE BF * &

8、#39;w ?ME 01. AB=a, AD=c, BE=b,ME=MB+BEAB+BEa+b,22BFa+2b故答案为:bea-F2b点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准 确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题.二.解答题(共17小题)3.如图所示.在 ABC中，/BAC=120°, AD平分/ BAC交BC于D.求证:考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定.专题：证明题.分析：过 D 引 DE/ AB,交 AC于 E,因为 AD 平分 / BAC(=120°),所以 / BAD=/ EAD=60 .若 弓I DE/ A

9、B,交AC于E,贝UADE为正三角形，从而 AE=DE=AD禾U用 CE2 ACAB, 可实现求证的目标.解答：证明：过D引DE/ AB,交AC于E. AD 是 / BAC 的平分线， / BAC=120,° / BAD=Z CAD=60 ,°又 / BAD=Z EDA=60 ,所以.ADE是正三角形， EA=ED=AD 由于 DE/ AB,所以CEACAB,. de工艮 CA-AE / AE e1=11AL CA CA CA由，得迪=1也,AB AC从而_+_=一AB AC AD点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，考查了等边三角形的判定

10、，考查了角平分线的性质,本题中求证 CEACAB是解题的关键.4.如图所示，？ABCD中，AC与BD交于。点,E为AD延长线上一点， OE交CD于F, EO延长线交AB于G.求证:ABDF考点：相似三角形的判定与性质; 专题：证明题.平行四边形的性质.分析:解答:应利用平行四边形的性质,通过添加辅助线使各线段集中”到一个三角形中来求证.证明：延长CB与EG,其延长线交于 H,如虚线所示，构造平行四边形 在EIH中，由于DF/ IH,.IHlEIAIHB.DF ED IH=AB,从而,AB,AB EI=.DF EDMei|_|adIei-adjd+aiDF £jE ED EDEB ED

11、=i+A!ED在OED与OBH中，/ DOE=/ BOH, /OED=/ OHB, OD=OB, AOEDAOBH (AAS).从而 DE=BH=AI1r由，得当铛=2.DF DE点评:此题的AIHB.这是此此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握, 关键是延长CB与EG,其延长线交于 H,如虚线所示，构造平行四边形题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题.5. 一条直线截4ABC的边BC CA AB （或它们的延长线）于点 D> E、F.求证:翳令以考点:角形的面积.专题：证明题.分析：连接BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证.解

12、答：AF辽国=1. _ ?- ?=DC EA FE点评：此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比.6 .如图所示.P为4ABC内一点，过P点作线段DE, FG, HI分别平行于AB, BC和CA,且 DE=FG=HI=d AB=510, BC=450, CA=425.求 d.考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质.专题：计算题.分析：由FG/ BC, HI/CA, ED/ AB,易证四边形 AIPE四边形BDPR四边形CGPH均是平FG=AF HI=BI CA=AB行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得IHB

13、sAFgABC,于是从而有DE 疝?.1 2回 o+ + = =2.AB杷杷ABCA=425代入此式，解即，再结合普先计算式子右边的和，易求rLD rLD=2,再把 DE=FG=HI=cJ AB=510, BC=450,可.解答：解：FG/ BC, HI/CA, ED/ AB,四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形,IHBs AFG ABC,，三上四山.BC 蛆 CA ABDEAFBI DE4-A7+-BI1AB1ABAB-AB又 DE=PE+PD=AI+FBAF=AI+FI,BI=IF+FBDE+AF+BI=2 (AI+IF+FB)=2AB,DEAFB 二_2Ab11皿

14、-AB DE=FG=HI=d AB=510, BC=450, CA=425,DEFGHIDEAFBI,1AL1BC=AC- 1AB1ABAB=2,+=2, 51。萌0 425 '解得d=306.点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质.7 .如图所示.梯形ABCD中，AD/ BC, BD, AC交于。点，过O的直线分别交 AB, CD于E, F,且 EF/ BC. AD=12 厘米，BC=20厘米.求 EF.考点：平行线分线段成比例.分析：由平行线的性质可得 迎& =空=,得出OE与BC, OF与AD的关系，进而即可求解BC

15、0C 20 5EF的长.解答：解：AD/BC, EF/ BC,Z 2 K 2EF=OE+OF=15点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题.8 .已知：P为？ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于Q点，求证：考点：相似三角形的判定与性质.分析:专题：证明题.祟造，进而求解即可.EQ Dr由于AB=CD,所以将镖转化为侵，再由平行线的性质可得BQ解答：证明：在平行四边形 ABCD中，则AD/BC, AB/ CD,.AB CD PC = BQ BQ HP.BC 超 BC PC PB_d =_= = 1BP BQ BP BP BP点评：本题主要考查了平行四边

16、形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌 握.9.如图所示，梯形ABCD中，AD/ BC, MN / BC,且MN与对角线 BD交于O.若AD=DO=a, BC=BO” 求 MN .考点：相似三角形的判定与性质；梯形.专题：计算题.分析：由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长.解答：解：-. MN/BC, .ABD43,还3,即 om，DDE =吐AD BDBD a+b同理onC,QD=_企,BD a+bMN=OM+ON=-.a+b点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握.10. P为 ABC内一点，过P点作DE, FG, I

17、H分别平行于 AB, BC, CA （如图所示）.求证：（1）IF DH G£ AB BC AC考点：平行线分线段成比例.专题：证明题.刀价.（1）由平行线可得 PIFsCAB,得出对应线段成比例，即至口熙同理得出 AB AC AC .PH PH GC .BC AC AC即可证明结论;（2）证明方法与（1）相同.解答：证明：（1） DE/ AB, IH/AC, FG/ BC,可得PIFsCAB,.IF |IP AE= ="AB AC 4c同理理出国,BC AC AC_+g=7+_=1 .AB BC AC AC AC AC(2)仿(1)可得丝BD=PF=PI=AE? AB A

18、S AC BC BC AC AC1 .+=+=1 .AB BC AC AC AC AC点评：本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些 简单的结论.11.如图所示.在梯形 ABCD中，AB/CD, ABv CD. 一条直线交 BA延长线于 E,交DC延 长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知 EF=FG=GH=HI=IJ求DC:AB.£ N BDC J考点：相似三角形的判定与性质；梯形.专题：计算题.分析：由平行线可得对应线段成比例，又由已知与AE、CJ的关系，进而可求解结论.EF=FG=CH=HI=J可分别求出线段 AB、CD

19、解答：解：. AB/ CD, EF=FG=CH=HI=|JBE=EG=2dj3、AE EH 3 AE EF 1=. =CJ 町 2' CJ FJ 4DJ=4AE 又AB+AE=2DJ传解得ABdAE,又AE止CJ25ABYJ EB=4CJEB 4CJ 2=DJ CD+CJ 3'CD=5CJ点评：本题主要考查了相似三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应熟练掌握.12.已知P为 ABC内任意一点，连 AP, BF求证：（1）二（2）鲤.AD BE CFAD有一个不少于2.*8DC考点：平行线分线段成比例.专题：证明题.分析：（1） A何可由三角形的面积入手，即 面积与

20、线段之间的关系，进而即可求解.CP并延长分别交对边于 D, E, F.生，&P三川中，至少有一个不大于2,也至少PE可/BDC PBC+A PAC+A PABE ABC,通过化简可得（2）由（1）中得出现十观十比二1 ,则其中至少有一个不:AD BE CF而AD=AP+P口进而通过证明即可得出结论.解答：解：（1）由面积概念得：S；A pbc+Sa pa（+Sa pab=Sz abCD整理等式得：Sapk: S&p苑 SAPJiB+-+-=1,SAAfiC SAAfiC SAABC由面积概念得：fd Sapdb pp = - =皿 SAAD6 皿.APDC +APEK _PD

21、=-即辿型SAABC 必同理得：曾纥蚪江酝BE也晅目江瓯=口3大于 工，可设曲，即3ADC PQ 3AD 3把式、代入式得:国噌至二l;旦中至少有一个不大于1,CF3AD BE CF 1（2）由旦二i，知母，且工AD BE CF 1 AD BE不妨设园J即3ADC PD.AD 3而 AD=AP+P口AP> 2PD川“即典不小于2,PD FD同理可证三式中至少有一个不大于2 .点评：本题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够熟练掌握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题.13 .如图所示.在 4ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分/BAC, BDLAE的延长线于 D,

22、且交AM延长线于F.求证：EF/ AB.考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质.专题：证明题.分析：利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFsMAB,从而EF/ AB解答：证明：过B作BG/ AC交AE的延长线于 G,交AM的延长线于 H. AE是/BAC的平分线， Z BAE=Z CAE. BG/ AC, ZCAE=Z G, / BAE=Z G, BA=BG.又 BDXAG, ABG是等腰三角形， ZABF=Z HBF, F至ij AB与BH的距离相等，.1. SABF： S>ahbf=AB: BH, -1 5 ABF 5 HBF=AF： FH, .AB

23、: BH=AF: FH.又M是BC边的中点，且 BH/AC,易知ABHC是平行四边形，从而 BH=AC, .AB: AC=AF: FH. AE是ABC中/ BAC的平分线， .AB: AC=BE EC, AF: FH=BE EC,即(AM+MF): (AM- MF) = (BM+ME): (BM - ME)(这是因为 ABHC是平行四边形，所以 AM=MH及BM=MC).由合分比定理，上式变为 AM : MB=FM: ME.在 4MEF 与 4MAB 中，/EMF=/AMB, AMEFAMAB . / ABM=/FEM,所以 EF/ AB.点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质和角平分线的

24、理解和掌握，证明此题的关键是过B引BG/ AC交AE的延长线于 G,交AM的延长线于 H.和利用合分比定理.14 .如图所示.P, Q分别是正方形 ABCD的边AB, BC上的点，且BP=BQ BHPC于H.求 证：QHXDH.考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质.专题：证明题.分析：要证QHXDHI,只要证明/BHQ=/ CHD,由于 PBC是直角三角形，且 BH, PC,熟知/ PBH=Z PCB,从而 / HBQ=Z HCD,因而 4BHQ 与4DHC相似.解答：证明：在RPBC中，BHXPC,/ PBC=Z PHB=90 ；/ PBH=Z PCB.显然,RtA

25、PBC RtA BHC,诬通，由已知，BP=BQ BC=DC的F而F / ABC=Z BCD=90 ,° / PBH=Z PCB,/ HBQ=Z HCD.在 4HBQ 与 HCD 中，. BH=£Q /hBQ=/HCD,CH CDHBQsHCD,/ BHQ=Z DHC,/ BHQ+Z QHC=Z DHC+Z QHC.又 / BHQ+Z QHC=90 ,/ QHD=/QHC+DHC=90,°即 DH± HQ.点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是掌握相似三 角形的判定方法.15 .已知 M是RtABC中斜边BC的中点，P、Q

26、分别在 AB、AC上，且PMXQM .求证: PQ2=PB2+QC2.考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理.专题：证明题.分析：以M点为中心，4MCQ顺时针旋转180°至AMBN,根据旋转的旋转可得 MCQ与 MBN全等，根据全等三角形对应边相等可得BN=QC, MN=MQ,全等三角形对应角相等可得，ZMBN=ZC,再连接PN,可以证明PM垂直平分NQ,所以PN=PQ,然后 证明4PBN为直角三角形，根据勾股定理即可证明.解答：证明：如图，以 M点为中心，4MCQ顺时针旋转180°至AMBN, AMCQAMBN , . BN=QG MN=MQ , ZMBN=ZC,连接 P

27、N, PMXQM, PM垂直平分NQ, PN=PQ, ABC是直角三角形，BC是斜边， / ABC+Z C=90 ; / ABC+Z MBN=90 °,即4PBN是直角三角形，根据勾股定理可得，PN2=PB2+BN2, PQ2=PE2+QC2.点评：本题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把 构造出以PQ、PR QC转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键.16 .如图所示.在 4ABC 中，/ACB=90°, CD± AB 于 D, AE 平分 / CAB, CF 平分 / BCD.求 证：EF/ BC.考点：相似三角形的判定与性

28、质；平行线的判定.专题：证明题.分析：由题中条彳可得 AC=AF,即4ACF是等腰三角形，所以EC=EF进而得出/ ECFW EFQ 结论得证.解答：证明： / ACB=90 ； CD±AB,/ CAD=Z BCQ 又 AE 平分 / CAB, CF平分 / BCD, / BCF玄 CAE, ZB=Z ACD,/ B+Z ECFW B+Z BCF,即 / ACF=Z AFC；又 AE平分 / CAB,AC=AR. CE=EF即 / ECFW EFG / EFCW BCF,即 EF/ BC.点评：本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应熟练掌握.17 .如图所示.在 4A

29、BC内有一点 巳 满足/ APB=/BPC=/CPA 若2/B=/A+/C,求证： pB2=pa?pc考点：相似三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：用/ APB=/ APC=120 , / CBP1 BAP两个对应角相等证明 PAB PBC,根据相似比 可证到结论.解答：证明：,/ APB=120 , / ABP+/ BAP=60 ；又 Z ABC=60 , / ABP+/ CBP=60,° / CBP玄 BAP,又 /APB=/ APC=120,AABPABCP,AP BP =- FB FC'BP2=PA?PC点评：本题考查相似三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相

30、似，然后根据相似对应 边成比例证明结论.18 .已知：如图， 4ABC为等腰直角三角形， D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE:EB=2: 1 ,求证：CE! AD.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题：证明题.分析：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F,从而可推出AC/ BF,根据平行线的性质可得 到两组对应角相等从而可判定 /XACa BFE根据相似三角形的对应边对应成比例可 得到AC=2BF,进而得到CD=BF,再利用HL判定aAC* CBR由全等三角形的性质 得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论.解答：证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F, （1分）ZFBC=90°= 91 ,/ FBC=/ ACB=90 ,°AC/ BF.ZACE=ZEFBNCAE 二 NEBFAACEABFE. （3 分）.AC AE J 二 z. BF EBAC=2BF （4 分）是K的中点，/.BC=2CD,AC=BCCD=BF. （5 分）在AACD和CBF中AC=CBNACB=/C 即二91r , CD=BFAACDACBF. （6 分） .1. / 1=/ 2.Z2+Z3=Z 1+/