传递过程原理讲课提纲03粘性流体运动的微分方程及其应用1

1、第三章 粘性流体运动的微分方程及其应用主要包括三个方程:即：微分质量衡算方程-连续性方程； 微分动量衡算方程-奈维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程； 微分能量衡算方程-特定条件下的傅立叶第二导热定律。§1 连续性方程§11 连续性方程的推导取如图10微元体，作质量衡算，有：(输入微元体的流体质量流量) = (输出微元体的流体质量流量) + (微元体中累积的流体质量流量) 分三个方向讨论: =(x, y, z,)u = u (x, y, z,) 在x方向输入的流体质量：abcd面为： ux·dydza1b1c1d1 面为：ux+dxdy dz x 方向净

2、输出为：dxdy dz同理， y 方向净输出为：dydx dz z方向净输出为：dzdy dx微元体中累积的流体质量流量为：于是 ： (1)或（表示法） 微分算符(哈密特算符),亦称散度§12 连续性方程的分析与简化 由于流体流动时： =(x, y, z,)故 d= 即 d/d= = (2)式中d/d称为随体导数,记作定义: (3)随体导数局部导数对流导数故上述连续性方程亦可写作（表示法）： 即 = - (4)讨论 : 对稳态流动( 运动参数不随时间但可随位置而变化 ),故： 对不可压缩流体，不论流动是否稳定，因为 = 常数故 常用此方程来判别流体的可压缩性 由于· = 1

3、故: 或 式中:反映了微元流体流动时的体积随时间的变化率, 形变速率 反映了微元流体流动时的密度随时间的变化率比较式(4)可知（表示法）：增例: 某流体运动时其运动速度服从如下空间分布，试判别其压缩性。1. 2. 3. 解: (1) ，； ，；，。 故流体不可压缩 (2) ，；，；，。 不可压缩(3) ，；，； ，。故该流体只在=0位置时为不可压缩,其余位置时为可压缩§13 连续性方程在柱坐标和球坐标系中的表达式1. 连续性方程在柱坐标的表达式a 直角坐标系与柱坐标系的关系x= rcos r：+-y= rsin ： 02z=z z：+- 为方位角b 于是变为： 2 连续性方程在球坐标

4、的表达式a 直角坐标系与球坐标系的关系x= (rsin)·cosy= (rsin)·sin 0及2 z= rcos -r+-方位角 -余纬度b 表达式 附: 推导方法: 取空间微元体(微柱微球)； 对微元体作质量流量衡量计算； 质量衡算，整理即得。§2 流体运动的基本方程§21 流体流动时牛顿第二定律 采用拉格朗日观点(即跟踪质点考察方法)，则 例如在x方向的惯性力(同理可写出y、z方向的惯性力方程)对运动流体受力分析表明，存在二大类力作用于流体：1、质量力(即作用力大小与流体本身有关的力，亦称为体积力)通常有二种：重力mg，离心力m2r其大小为 dFX

5、B= Xdxdydz式中X单位质量流体在x方向所受质量力，N/kg2、表面力FS 主要是静压力和惯性力两类，通称为机械力。 单位流体表面所受的机械力又称为机械应力或表面应力。以作用于流体微元面积上的表面力作分析，可见有三个表面力: 作用于微元面上的法向应力(拉伸或挤压)xx； 来自于y方向的剪切应力xy； 来自于z方向的剪切应力xz。 上式xy中 x表示所作用的面(与x轴垂直) y表示的作用方向(与y轴平行)可以想象对一个微元体表面力有9个：即 3个法向应力： xx ，yy ，zz 6个剪应力： xy，xz 垂直x 轴的作用面 yx，yz 垂直y 轴的作用面 zx，zy 垂直z 轴的作用面可以

6、证明，上述6个剪应力将使微元流体产生旋转，且根据力矩方程有： xy =yx 和： xz =zx ，yz =zy 对微元体作用于x方向的表面力dFxs为(x方向)即 dFxs =故 x方向总合外力为 :dFx = dFxB+dFxs即: dFx =代入牛顿第二定律 即有: () (A)同理在y方向和z方向有：y方向： (B)z方向： (C)上述3式即为粘性流体运动的微分方程。 §22 应力与切变率(角变形,形变速率)之间的关系1、剪应力与角变形的关系由于粘性,使流体在x方向的运动速度随y而改变，此即为流体在y方向的速度梯度dux/dy。不难理 解，静止的流体经d时间的运动后，造成了速度

7、梯度dux/dy，因而使之发生形变，故形变率即可用角变形大小来表示， 即： 故牛顿粘性定律可表示为： 对于二维流动,此时总角变形率： 故对牛顿型流体有: (A)同理 (B) (C)2 法向应力 法向应力主要由两类应力提供：其一是静压力使流体微元受压缩而发生体积形变；其二是由于流动时粘性应力作用，使流体微元在法向上受到拉伸或压缩发生线性形变。 对于静止或理想流体流动即无粘性影响时有 xx=yy=zz= - p(“-”表示方向)及 p = -1/3 (xx +yy +zz ) 对于粘性运动流体(不可压缩流体)一般地 xx yy zz - p但 p = -1/3 (xx +yy +zz ) 仍成立。

8、此时设其法向粘应力为，则：xx= - p+x x = 2/3xx -1/3(yy +zz) 同理: y = 2/3yy -1/3(xx+zz) z = 2/3zz-1/3(xx+yy) 根据理论推导,可以解得流体微元在x方向的法向应力xx 为：xx= - p+ (A”)或 = 及yy= - p+ (B”)zz= - p+ (C”)或 y = z =§23 粘性流体运动的奈维斯托克斯(NavierStokes)方程 将式A、B、C和式A”、B”、C”分别代入粘性流体运动的微分方程A、B、C,即得: 式中： 即微元流体在x,y,z方向上的总线形变率。上式亦可记为： 对不可压缩流体 故 关于NS方程的讨论： NS方程目前尚未从实验中得到充分肯定的证明