2019年中考数学压轴题专项训练：相似(附解析)

1、2019年中考数学压轴题专项训练：相似1 .如图，正方形 ABCD勺边长为4,点M从点D出发，沿射线 DC以每秒1个单位长度向右 运动，同时点N以相同的速度从 A点出发，沿射线 AD运动.连结AM BN交于点E.点 F为射线CB上的点，且/ MAF= 45° ,直线AF与直线BN相交于点P.设运动时间为t.（1）当 0wtw4 时，求证：AMLBN（2）当t = 3时，求MF的长；（3）当t为何值时，Sapbf： S>AABF= 1 ： 5 .2 .如图（1）,两个等腰直角三角形 ABOT DEFW一条边在同一条直线 l上，DE= 2, AB= 1 .将 直线EB绕点E逆时针旋

2、转45° ,交直线 AD于点M将图（1）中的 ABCg直线l向右 平移，设C E两点间的距离为 k.请解答下列问题：AM（1）当点C与点F重合时，如图（2）所示，此时印的值为.在口平移过程中， 器的值为（用含k的代数式表示）.（2）将图（2）中的 ABCg点C逆时针旋转，使点 A落在线段DF上，如图（3）所示， 将直线EB绕点E逆时针旋转45。，交直线AD于点M请补全图形，并计算 靠的值.（3）将图（1）中的 ABC绕点C逆时针旋转 & （0° < “W 45° ）,将直线EB绕点E逆时针旋转45。，交直线AD点M计算譬的值（用含k的代数式表示）3

3、.如图，在 ABC4ADE中，AB= AC AD= AE 且/ BAG= / DAE 点 M N分别是 BQ CE的中点，连接AM AN MN(1)求证： CA降 BAD(2)求证： AM砧 AB(C(3)若 AC= 6, AE= 40, / EAC= 60 ,求 AN的长.4.(1)方法回忆:如图1,点C在线段AB上，点D, E在直线AB的同侧，/ A= / DCE= / CBE求证:ACBEADBC'(2)实践应用:如图2,点C在线段AB上，点D, E在直线AB的同侧，/A= / DCE= / CB号90° , / ADC=/ ABD AC= 3, BC=券，求 tan

4、/ CDB勺值；(3)拓展探究：如图 3, ABDK 点 C 在 AB 边上，且/ADC= /ABD AC= 3, BC=+,点 E 在 BDi 上, 连接CE / BCE/BAD= 180° , CE=孕，请直接写出 空的值.5.已知直线 AC与BD交于点E,连接AD BC(1)如图 1,若/ DAB= Z AB(C= /AEB 求证：A= AD?BC(2)如图 2,延长 DA CB 交于点 F.若 /F=90 , AF= BF BC /AEA 45值;(3)在(1)的条件下，若/ AEB= 135° , tan / D=g,直接写出tan / C的值为6 .如图，在平面

5、直角坐标系中，函数 泮(x>0, k是常数)的图象经过点 A (1, 3), B(m n),其中rn> 1 .过点A作x轴垂线，垂足为 C,过点B作y轴垂线，垂足为 D ACDE BECEAE(1)若a ABDW面积为,求k的值和直线AB的解析式;(2)求证:与BD交于点E,连结AD DC CB7 .若 ABC绕点A逆时针旋转 e后，与4ADE构成位似图形，则我们称 ABCW ADES为“旋转位似图形”(1)知识理解:如图1, ABCW ADEM为“旋转位似图形”.若 “ = 25° , / D= 100° , / * 28° ,则/ BAE=;若 A

6、D= 6, DE= 7, AB= 4,贝U BC=(2)知识运用：如图2,在四边形 ABC用，/ ADC= 90° , AEL BD于点E, / DA匿/ DBC求证： ACD 与ABES为“旋转位似图形”.(3)拓展提高：如图3, AABG为等边三角形，点 C为AG的中点，点F是AB边上的一点，点 D为CF延 长线上的一点，点 E在线段CF上，且4 ABDACES为“旋转位似图形” .若AB= 6, AD= 4,求坐的值.CE8 .定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项,则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线” .如图1,四边形ab

7、cdKAB= AC= AD满足AC=AB?AD四边形ABC比闪亮四边形，AC是亮线.(1)以下说法正确的是 (填写序号)正方形不可能是闪亮四边形；矩形中存在闪亮四边形；若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60。.(2)如图 2,四边形 ABC丽，AD/ BC Z ABC= 90° , AD= 9, AB= 12, CD= 20,判断哪 一条线段是四边形 ABCD勺亮线？请你作出判断并说明理由.(3)如图3, AC是闪亮四边形 ABCD勺唯一亮线，/ ABC= 90° , / D= 60° , AB= 4, BC =2,请直接写出线段 AD的长.C（图I ）（图

8、2 ）（郅）9.在RtAABO, / ACB= 90° , D为BC边上一点(不与 B, C重合)，延长DCU点E,使 得CE= CD过点E作AB的平行线，与AC的延长线交于点 F,直线FD与AB交于点G设 / ABC= a .对于一般的情况，如图 1,(1)直接写出/ AFD=.用含a的代式表示；(2)取AB的中点 M 求证：DF= 2MG对于a = 45°的特殊情况，如图 2,10.如图1,菱形 ABC国菱形GEC对顶点C重合，点 G在对角线 AC上，且/ BCD= / ECF=60 ,(2)探究与证明将菱形GEC院点C按顺时针方向旋转 e角(0。v a v 60。)，

9、如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由;(3)拓展与运用:菱形GECFE旋转过程中，当点 A G, F三点在一条直线上时，如图 3所示连接CG并延长，交AD于点H,若CE= 2, G由法,则AH的长为(1)问题发现的值为这个整数比称为倍比，第三条11 .我们把两边之比为整数的三角形称为倍比三角形.其中,边叫做该三角形的底.(1)如图1, ABC是以AC为底的倍比三角形，倍比为 3,若/ C= 90° , AC= 2国 求BC的长；(2)如图 2, ABC43, D为 BC边上一点，BD= 3, CD= 1,连结 AD.若 AC= 2,求证： ABD倍比三角形，并求

10、出倍比；(3)如图3,菱形ABCDh, / BADm屯角，P为对角线BD上一动点，过 P作PHLCD于H当CRPH的值最小时，APC聆好是以PD为底的倍比三角形，记倍比为x,殳=y,pH求y关于x的函数关系式.12 .如图，在 ABO43, A计分/ BAC BC于点D, F为AD上一点，且 BF= BD BF的延长线交AC于点E.5 DC B DC管用图(1)求证：ABAA AF?AC(2)若/ BAC= 60 . AB= 4, AC= 6,求 DF的长；EF(3)若/ BAC= 60° , / ACB= 45° ,直接写出CD的值.13.如图，菱形 ABCD Z ABC

11、= 60° , E为AB中点，F为BC上一点，G为CDk一点，连接 EF, FG 且/ BFE= Z CFG(1)若G为CD中点时，求证：EF= FG(2)设* = 凶，y= 2/0.,求y关于x的函数解析式.14.如图1,在四边形 ABCDK 对角线AC, BDffi交于点 P, CD= DP?DB 且 AB/ CD(1)求证：/ DPC= / BCD(2)在(1)的条件下，如图 2, EF分另ij为边 AD BC上的点，PE/ DCEF± BC 连结 PF BE求证：PE= PE若 BP= 2, PD= 1, EF=I，锐角/BC曲正弦值为,求 BEF的面积.15.如图

12、，在矩形ABC珅，E为日CD的中点，F为BE±的一点，连接CF并延长交AB于点MMNL Cg射线AD于点N.(1)如图1,当点F为BE中点时，求证：AM= CE(2)如图2,若幽，=3时，求知的值；(3)若将嗡卜n (n>3)时，请直接写出 黑的值.(用含n的代数式表示)参考答案解：(1)当0wtW4时，点M N分别在线段CD与线段AD上运动,在 ADMW BAN43, fAN=DM< ZNAB=Z1IDA尻二AB . ADMf BAN( euSAS, / DAM / ABN / ABNANB= 90 , / DAM/ ANB= 90 ,./ NEA= 90°

13、,即 AML BN(2)当 t=3 时，AN= DM= 3,如图 1,连接 AC 彳FHLAC于点 H,设 CE x,则 CH= FH= . / MAF= 45 , D DAC= 45 , .tan / HAF= tan / DAM.MF= cM+cP= 12+ / DA附 / HAF24 TMF=25T(3)当0WtW4时，即点M N分别在线段CD与线段AD上运动时，如图1,连接AC作FH!AC于点H. Sapbf： Sa abf= 1 ： 5 , .PF: AP 1: 4,BF PF 1=二AN AP，BF=肾，CF 4-引，H0=脂囹竹（叶土）卜秘一陷, AH= AC- CaHI=471

14、-（边；） =2亚+匕 / MA曰 45° , / DAC= 45° ,解得t = - 10+2 口狗，或t = - 10 - 2H矶（舍去）当t>4时，即点 M N分别在线段 CD延长线与线段 AD延长线上运动时，如图 2,设AMIW BC于点K,连接C,彳FH! AC于点H,彳PQL CB的延长线于点QDN= CM= t -4,. AB/ CD,apbf： S»a abF= 1 ： 5 ,易证 CKMh QPBCK CM2.同理 tan / HAQ tan / BAF解得t=12或t = 8综上，当t的值为-10+2西|或12或8时，SapbF Saab

15、L 1： 5.解：（1）当点C与点F重合时，如图（2）中，延长BA交EM勺延长线于N.易证 EBN等腰直角三角形，可得 BE= BN .BC=BA AN= EC= DEDE/ AN ./DEN= Z N, . / DME= Z AMN . DMB AMN( AAS,DM= AMDM=1.故答案为1;. DE/ ANN.DEm ANMANDM故答案为(2)补全如图(3-1)所示，连接AEABG DEF匀为等腰直角三角形，DE= 2, AB= 1, .EF= 2, BC= 1, / DE展90 ,/ DFE= / ACB= 45° , -DF= 2建，AO 近，Z EFB= 90 , D

16、F= 2AC八牛四 点A为CD的中点， EAL DF, EA平分/ DEF ./MAE= 90 , Z AEF= 45 , AE=|./ BEIM= 45° , ./ MEAZ AEB= / BEF+ZAEB= 45 , ./ MEA= / BEFDM= AD- AM=V2 V2AMDM(3)如图(3-2)中，过点B作BGL BE,交直线EM点G,连接AGE C F图00，/ EBGf 90° .BEM= 45° , ./ EGB= 45° ,BE= BG ABC等腰直角三角形,.BA= BC / AB已 902 .Z ABG= / CBE. AB等 C

17、BEAG= EC= k, /AG& Z CEB3 / AGBZ AGE= / DEM/ CEB= 45 AG号 / DEM. AG/ DE. .AG帆 DEM M3上丽DE W3.解：(1)BAC= / AE, / BAG- / BAE= / DA曰 / BAE/ EAC= / DAB在 CABf BAD,例二ACZEAC=ZDAB,Iai>ae. CA降 BAD (SAS;(2)由(1)得 CA2ABAD ./ ACE= / ABD CE= BD M N分别是BD CE的中点， .CN= BM在 CANW BAW,(AC 二 ABZACE=ZABD,. CA降 BAM (SAS

18、,，AN= AM / CAN= / BAM / CAN/ BAN= / BAM/ BAN即/ CAB= / NAM. AC= AR AN= AMAN AM二IACAB,. .AM帖 ABC(3)取AC的中点F,连接FN过点点N作NGLAC于点G, 点N是CE的中点，NF/ AE NF=工AE= 2, 囹 .Z GFN= / EAC= 60° , .Z FNG= 30° , -fg=Lfn= 1,，AG= 1+3=4, NG=62 7 ： = %, 在RtAANGJ,根据勾股定理可知：AN= 近.4.解：(1)/ DCA/ DCEZ ECB= 180 ,/DCA/A+/CDA

19、= 180°，/ A= / DCE ./ ADC= / ECBA= / B,DA© CBEAC AD. AD© ABD, AC _AD AD-AB'3 _AD即 AD 二 25，T解得AD= 5,，D* 二,设/ DBA= / CDA a ,. ./ CG吩 2 a ,/ GCB= / GBC= a ,CG= GBx,.tan ZCDB=m解得AD- 5,/ BCE+Z BAD= 180 , / ADC/DCA/ BAD= 180 ,Z ADC/ DCA= / BCE以E为圆心，EC长为半径画弧，交 BC于点H,连接EHEH= EC / EHC= / EC

20、B= / ADC/DCA . / B= / ADC ./ BEH= / ACD5.BEHh ADC. / DAB= / ABC= / AEB又. / AEB= / D+Z DAE / BAD= / DAE/ BAC .Z D= / BACBAG ADB.园=国向屈，.A= AD?BC设 AF= BF= BC= a,则(2)解：如图 2 中，连接 CD AB,彳AHL BDT H, BGL AC于 G. / AED= 45 / EDC/ ECD= 45Z FDC/ FCD= 90° , Z FDBZ ACF= 45 ,./FAB= Z ADBZ ABD= 45° , / AB

21、F= /BAG/ACB= 45 ,/ ABE= / ACB / BAE= / ADB . / BAE= / BACBA回 CAB .A= AE?AC.AE=. tan Z ACF=B". BG= EG=a,GBCGBE=. / ABE= / ABD / BAE= / BDABAa BDA .A= BE?BD. BD= |a, DE= BD- BE=a,.AH= HE=卜-a,DH= DE- EH= .AD=dAH，DH±=2a，I AD I5a2a(3)如图3中，延长DA交CB的延长线于H. / DAB= / ABG= / AEB= 135 ./ HAB= / HBA= 4

22、5° , .HA= HB Z H= 90 ,设 AH= HB= m 则 AB=近|mDH= 2m .ad= m.A= AB?BQ. BC= 2m. CH= 3mtan OAH6.解：（1）由题意：BD= m AE= 3- m mn= 3,- S*A ABD=m= 2,B （2,y = kx+b,则设直线AB的解析式为，直线AB的解析式为(2) BE= m1, CE= n, ，DE?AE= 3- n. BE?CE= n (m 1) = 3-an,D曰AE= BE?CE.iB.CEBEAE7./ B= 100° ,7故答案为：27° ;14i解：（1）一 ABC AD

23、ES为“旋转位似图形”，(2) . / DOA= Z COB / DAC= / DBC DO# COB,AO DOAO BODOB又. / DOC= / AOB AOBp DOC / DCA= / EBA又. / ADC= 90 , AE! BD ./ ADC= / AEB= 90 ,/ DAC= / EAB.AE璘点A逆时针旋转/ DAEB度数后与 ADC勾成位似图形,ACDF口 ABES为“旋转位似图形”(3)AC AG ' AB= 3,由题意得:EC AC AE 1BD -AB -AD -2?. AD= 4, .AE= 2,. / DAE= / FAG= 60° , c

24、os / DAE= cos60 =', ./ DEA= 90° ,，由勾日股定理可得CE= JAC2-AE2二J3 " - 2 2工，DE= AE?tan / DAE= 2受，国一/- 5:8.解：(1)设正方形的边长为 国a,则对角线长为 近a, (ma) 2wa?a,，正方形不可能是闪亮四边形.故正确如图中，四边形 ABCD1矩形，AE±AC于E,不妨设矩形是闪亮四边形.则 aC=ac?cd?AC?DE= ?AD?DQ .DE=AC. AC>AD> DE显然与DE= AC矛盾，假设不成立,矩形不可能是闪亮四边形，故错误.如图中，四边形 AB

25、CD1菱形，四边形ABC医菱形，. AD= CD. AC= AD= CD，ADJ等边三角形，D= 60° ,，若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60。口.故正确.故答案为 / ABC/ BAD= 180° , . / ABC= 90° , ./BAD= /ABC= / DHB= 90° , 四边形ABHDI矩形，.AB= DH= 12, AD= BH= 9,在 RtADCH, CH= JcD、田卡= 16,BC= 9+16 = 25,在 RtABD中,BD= JaD，AB2 = 15,在 RtACB中，AC = AB+BC=796, . bD= A

26、D?BC，BD是四边形ABCM闪亮对角线.(3)如图3中，作CHLAD于H. DH= CD>cos/D, CH= CD*sin / D, AH= AD- CD>cos/D, . AC= AH+CH= ( AD- CD?cos ZD) 2+ (CD?sin / D)2= AD+CD- 2AC?CPcos / D= aD+cD- ad?cd. aC= ad?cd .ADJ- 2AD?CHCD= 0,，(AA CD 2= 0,，AD= CDD= 60° ,.AC*等边三角形，AD= AC=1hB。+BC " = J4。2=2亚.9.解：(1) AB/ EF/ ABC=

27、 / E= a ,. CD= CE CF! DEDF= EF, ./ FDC= / E= a.CFL DE ./ AFD= 90° -Z CDF= 90° - &故答案为：90° - a(2)设 BG= a, GM= b,，BM= a+b, 点M是AB中点， .A阵 BM= a+b, . AG= AM+GM= a+b+b= a+2b,1 . DF EF2 .Z E= / FDE. AB/ EF/ E= / B,. ./ B= / EDF= / GDB. BG= GA a,. Ad BC ./A= 90° -ZB, Z DFC= 90°

28、- Z EDF. ./ A= / DFC .AG= GF= a+2bDF= GF- GD= 2b, .DF= 2GM(3)由(2)可知：设 BG= G氏 a, GM= b,则 DF= 2b=EF, AG= a+2b = GFABC 45° / GDB 45 ./AGD= 90° =Z BGD= / DFE .BD=亚a, DE= 2晅|b, DC= CE=近b,/AGH/ DG洋 90 ,. AHL GE ./ GAHZ AGH= 90°/ GAH= / DGH 且/ AHG= / DHG= 90° AGHT GDHAG 二 AHGD=GHGAH= /

29、DGH / AHG= / EFG= 90°.AGHb GEFah_gfghZefAG _ GF"gdefI,a+2b _a+2ba = 2ba= 2b BC= BDfCD= |_Ja+pb= 3|_Jb瓦回囚Q, 310.解：（1）如图1中，作EHL CG H./ECH=g/ ECM 30 , EC= EG. EHL CG .GHCGCE=cos30 °.匚(；CE=2?CHCE. EG/ CD AB/ CDGB AB=E3-, AG CG .be I 厘故答案为生(2)结论：A展近|BE理由：如图2中，连接CG四边形 ABCD四边形ECF廓是菱形，/ EC曰/

30、DC260° , . ./ EC® / EG匿 / BCA= / BAC= 30 ,EC。 BCE.bc_ac, ec!回. / ECB= / GCAECBo GCA=, .AG= QBE(3)如图3中, / AGH= / CG曰 30 . / AG洋 / 巳GAC/ GCA又. / DAC= / HAG/GA8 30° ,/ HAG= / ACH. / AHG= / AHCHA。 HCA HA HC= GH HA .Ari= HGHC. FC= 2, CG=亚CF,GC= 2 四,HG=2,Ari= HGHC=近?3ml = 9, .AH> 0,AH= 3

31、.故答案为3.113,.解：（1） . ABO以AC为底的倍比三角形，倍比为AB=3BC -Z C= 90° , AC= 2通，BC+AC= AE2, BC+8=9B(C, BC= 1.(2) BD= 3,CD= 1, AG= 2,2,. / BCA= / ACDBCM ACD,AB ACAD CD=2,.ABD倍比三角形，倍比为 2.(3)过点A作AHL C或BD于点P,此时CP+PH的值最小.PC*以PM底的倍比三角形，倍比为 x.=x,即 CD= ax, CP四边形ABCDI菱形,.AB/ CD AB= AD= CD= ax,/ ABP= / HDP / BAP= / DHPA

32、BfP HDPAPHDHPax在 RtADH中，. AH+DH = AD,( a2= (ax) 2,12.解:(1) . ADW / BAC / BA展 / DAC ./ BFD= / FDB ./ AFB- / ADC. AFEB ADC,AF ABAD AC .AB?AD= AF?ACB= 2, CN= |JaC= 3(2)作 BHLADT H, CC CNLADT N,贝U BH=AH=吏BH= 2g, AN=垣CN= 3内/ BHD= / CDNBHm CND,HD BH 2DN CN 3HD=又. BF= BD, BHL DFDF= 2HD=(3)由(1)得BF _ AFCD -AD，易证 ABD AAEF BFD均为顶角为30°的等腰三角形.AH= AD AE= AF, BF= BD易证 AB5 AEFEF AEBD =AD.X得BF_I ,AF-!CD，过 F