2004高考数学试题(福建理)及答案

1、 精诚凝聚=A，=成就梦想 2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题一、选择题：本大题共 12小题，每小题 的.1,复数(L10的值是1 i第I卷(选择题共60分)5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求A. - 12. tan15° +cot15B. 1 的值是C. 32D.32B. 2+ V3C. 4D.4.333.命题命题A.4.已知形,p：若 a、bC R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件;q：函数 y= Jpx=1J2 的定义域是(一0°, 1 U 3, +8).则“p或q”为假 8.5且4”为真 C

2、. pM q假 D.p假q真Fi、F2是椭圆的两个焦点，过 则这个椭圆的离心率是F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若 ABF2是真正三角,32-.2333m、n是不重合的直线，a、 a , m / 3 ,则 a / 3 ；若 aI5.已知命题的个数是A. 0B. 1( )_、3D .23是不重合的平面，有下列命题：若3 =n,m / n,则 m / a 且 m / 3 ;若 ( )mU am± a则 a / 3若m 淇中真C. 2D. 36.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 的安排方案种数为4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排( )2名,则不同A. A2C2

3、1 八 2八 2B. 一 A6c4222c. A2A22D. 2A27.已知函数y=log2x的反函数是 y;y=fT(x),则函数y= 1% x)的图象是yy.OQ(A)(B)O 18.已知a、b是非零向量且满足(a 2b )，a , (b 2a)JiA.一671B.一39.若(1-2x)9展开式的第3项为288,则|im(1nf： xA. 2B. 110.如图，A、B、O为球心，则直线A. arcsin 史1(C)5 二D.6)的值是D.BC=4 ,D.32 二2 二AB=2 , )arccos_3X2 x1C. 一C. arcsin3f(x)=2-|x-4|,则(北u处，河流PQ上n2

4、二C. 一25/ ABC=60 ° ,(D)± b ,则a与b的夹角是2C是表面积为48 Tt的球面上三点， OA与截面ABC所成的角是(B. arccosl!11.定义在 R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当xC3, 5时,A . f(sin )<f(cos )B . f(sin1)>f(cos1) C. f(cos- )<f(sin )12.如图，的没岸 选一处B地在A地的正东方向 4 km处，C地在B地的北偏东 30°方向2 kmPQ (曲线)上任意一点到 A的距离比到 B的距离远2 km.现要在曲线M建一座码头，向 B、C两

5、地转运货物.经测算，从 M到B、M到C修建公 翻点亮心灯/(AvA) 照亮人生 .D. f(cos2)>f(sin2) 精诚凝聚=A，=成就梦想 A . (2 J7 2) a 万兀C. (27+1) a 万元路的费用分别是 a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是()B. 5a万元D. (2 <3 +3) a 万元第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置 13,直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x- 2y15=0所截得的弦长等于 .1 x -1 (x = 0)14 .设函数f(x)=(；在x=

6、0处连续，则实数a的值为a x (x=0)15 .某射手射击1次，击中目标的概率是 0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：他第 3次击中目标的概率是 0.9;他恰好击中目标 3次的概率是0.93X0.1； 他至少击中目标1次的概率是1-0.14其中正确结论的序号是 (写出所有正 确结论的序号).16 .如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起， 做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大. 三、解答题：本大题共 6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .(本小题满分

7、12分)_设函数 f(x)=a b ,其中向量 a=(2cosx, 1), b =(cosx, v'3sin2x), xC R.(i)若 f(x) =1 - /3且 x6 - -,求 x；- 五m、n的值.(n)若函数 y=2sin2x的图象按向量c =(m , n)(|m|<鼻)平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数18 .(本小题满分12分)10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答又其中的 8甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对 2题才算合格.(I )求甲答对试题数 E的概率分布及数学期望；(n)求甲、乙两

8、人至少有一人考试合格的概率19 .(本小题满分12分)在三锥S-ABC中， ABC是边长为4的正三角形，平面 SAC，平面SA=SC=2 J3 , M、N 分别为 AB、SB 的中点.(I )证明：AC XSB;(n )求二面角 NCM B的大小；(出)求点B到平面CMN的距离.20 .(本小题满分12分).若不能进行技术改造,某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在1未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为500(1+寸)万元(n为正整

9、数).(I )设从今年起的前 n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；(n)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21 .(本小题满分14分) 2x - a已知f(x)=、(xCR)在区间1, 1上是增函数.x 2(I )求实数a的值组成的集合 A;(n)设关于x的方程f(x) =1的两个非零实根为xx2.试问：是否存在实数 m,使得不等式m2+tm+1 > x1xx2|对任意aCA及tC 1, 1恒成立？若存在，求 m的取值范围；若

10、不存在，请说明理由22.(本小题满分12分)如图，P是抛物线C: y=1x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.2(I )若直线l与过点P的切线垂直，求线段 PQ中点M的轨迹方程；I ST I I ST I(n )若直线l不过原点且与 x轴交于点S,与y轴交于点T,试求11十1的取值范围|SP| |SQ|翻点亮心灯 Z/(AvA)照亮人生 精诚凝聚=A，=成就梦想 2004年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题参考答案 翻点亮心灯/(AvA)照亮人生1.A2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C8.B 9.A 10.D 11.D 12.B二、13.4.514.1/215.1 ,

11、 316.2/317.本小题主要考查平面向量的概念和计算,12分.三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,考查运算能力.满分解：(I )依题设，f(x)=2cos2x+ 73jisin2x=1+2sin(2 x+).JT由 1+2sin(2x+)=1 *3 ,得 sin(2JT.3x + ?)=-Tji- WxWrtrtn即 x=- 一4(n)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m, n)平移后得到函数 y=2sin2(x m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.nf(x)=2sin2( x+ 一 )+1. |m|<，2运用数学知识解决问题的能力E的概率分布如下：.满分12分.01

12、 123P1311301026甲答对试题数E的数学期望18.本小题主要考查概率统计的基础知识, 解：(I )依题意，甲答对试题数E E =0X -+1 X +2X +3X3010(H)设甲、乙两人考试合格的事件分别为213C6 c4 c660 20 2A、B,则P(A尸C130120 13P(B尸213C8 c2 c856 56 14G012015因为事件A、B相互独立，方法一：.甲、乙两人考试均不合格的概率为P( A B )=P( A )P( B )=1 - 2 )(1 )=31545.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1 - P( A B)=1 -=.45 45答：甲、乙两人至少有一

13、人考试合格的概率为4445方法二：.甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A - B)+P(A - B)+P(A - B尸P(A)P( B )+P( A )P(B)+P(A)P(B) = 2X±+1><H+2><H=44 .315 315 315 45精诚凝聚 =A_A=成就梦想 _HIII答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为444519.本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角, 推理能力.满分12分.解法一：(I)取AC中点D,连结SD、DB. SA=SC , AB=BC , ACXSD 且 ACBD,AC，平面 SDB,又SB匚平面SDB,

14、 ACXSB.(n ) AC，平面 SDB , AC u 平面 ABC , 平面 SDB，平面 ABC.过N作NE，BD于E, NE，平面 ABC ,过E作EFCM于F,连结 NF, 则 NFL CM. / NFE为二面角 N CM B的平面角. 平面 SAC，平面 ABC , SDXAC ,. SDL平面 ABC. 又. NEL平面 ABC , NE / SD.点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑 11 O 1 1 -SN=NB, NE= - SD= - JSA2 -AD2 =-，12-4*2 ,且 ED=EB.222在正 ABC中，由平几知识可求得 EF= 1 MB= 1 ,

15、42在 RtNEF 中，tan/NFE=皿=2及EF '，二面角 N CMB的大小是 arctan2 <2 .3(出)在 RtNEF 中，NF= qEF2 +EN2 =，2Sacmn = _ CM - NF=3 , Sacmb = _ BM - CM=2 3 3 . 222设点B到平面CMN的距离为h,1. 1- Vb-cmn =V n-cmb , NE _L 平面 CMB，Sacmn ' h- - Sacmb , NE,33，h-ScMB NE-4'2 .即点S'CMN3B到平面CMN的距离为解法二：（I ）取 AC中点O,连结OS、OB. SA-SC

16、, AB-BC , . ACSO 且 ACBO. 平面 SAC，平面 ABC ,平面 SAC n平面 ABC-AC SO上面 ABC，.二 SOX BO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则 A (2, 0, 0), B (0, 2 <3 , 0) , C ( 2, 0, 0),S (0, 0, 2丁2), M(1 , <3 , 0), N(0 ,石，4). . AC = ( 4, 0, 0), SB- (0, 2 屈,2五),AC SB- (4, 0, 0) (0, 2 73, 2衣)-0, ACXSB.翻点亮心灯Z/(AvA)照亮人生 精诚凝聚=A，=成就梦想 翻点亮心灯z/

17、(AvA)照亮人生(n)由(I)得 CM = (3,J3,0),MN = ( 1,0,J2).设n=(x,y, z)为平面 CMN的一个法I.CM - n=3x+、3 y=0,则 取 z=1,则 x= ,2 , y=- <6 ,M MN - n=-x+V2 z=0,. n=(闻,-卮 1),又OS=(0, 0, 2J2)为平面ABC的一个法向量，cos(n,，二面角(ID)由OS尸 n OS.|n|OS| 31N CMB 的大小为 arccos-3(I)(n)得 mB= ( 1, J3, 0), n= ( J2, <6 , D 为平面 CMN 的一个法向量,点B到平面CMN的距离d

18、= |n MB | = llZ |n|3 ,20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力 满分12分.解：(I )依题设, A n=(500 20)+(500 40)+ +(500 20n)=490n 10n2 ；111500 B n=500(1+ )+(1+=)+ +(1+ =)600=500n ：- - 100.2222(n) BnAn=(500n 绊一100) -(490n-10n2)2n2500=10n +10n - 100=10n(n+1)2n50-10.2n因为函数y= x(x+1)当 1 w nW 3 时，n(n+1)501

19、0在(0, +8)上为增函数,2n 10W 12 10<0;2n8“25050当 n>4 时，n(n+1) -10>20-10>0.216，仅当 n>4 时，Bn>An.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润21.本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识,数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用解：(I )f/(x)=一一 24 2ax - 2x22(x2 2)222(x ax 2)22(x2 2)2, f(x)在1, 1上是增函数， f/ (x)>0

20、对 xC -1, 1恒成立，即x2ax2W0对xC1, 1恒成立.设中(x)=x2- ax-2,方法cp(1)=1-a-2<0?(-1) =1 +a-2<0对xC 1, 1, f(x)是连续函数，且只有当A= a|- 1<a< 1.方法二：a=1 时，(-1)=0 以及当 a=1 时， (1)=0精诚凝聚 =A_A=成就梦想 _HIIIa 一a 一->0 <0-2或 (2(-1) =1 a -2 < 0(1) =1-a-2w00 w a w 1或 一1 w a w 0:对xC 1, 1, f(x)是连续函数,且只有当 A= a| 1w aw 1.a=1

21、 时)f，( 1)=0 以及当 a=-1 时，f，(1)=0(n ) 由 =一, 得 x ax 2=0, =a +8>0x 2 x.X1, x2是方程 x2ax 2=0 的两非零实根，x1+x2=a, x1x2=2,从而 x1一x2|=%；'(x1 +x2)2 -4x1x2 =qa2 +8.,一 1< a< 1, ' |x1-x2|= va +8 0 3.要使不等式 m2+tm+1刁x1 一x2|对任意aCA及tC1, 1恒成立，当且仅当 m2+tm+1 >3对任意tC1, 1恒成立，即m2+tm 2>0对任意tC1, 1恒成立.设 g(t)=m2

22、+tm 2=mt+(m 2- 2),方法一： v g(- 1)=m2- m- 2> 0, g(1)=m 2+m -2>0,y m>2 或 mW 2.所以，存在实数 m,使不等式m2+tm+1引xi x2|对任意a C A及t C 1, 1恒成立，其取值范围是m|m >2, 或 m< 2.方法二：当m=0时，显然不成立；当m w 0时， y m>0 , g( 1)=m2 m 2> 0 或 m<0 , g(1)=m2+m 2> 0u m>2 或 mW 2.所以，存在实数 m,使不等式 m2+tm+1 >|x 一x2|对任意aCA及t

23、C-1, 1恒成立，其取值范围是m|m>2, 或 m< 2.22.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力满分12分.解：(I)设 P(x1，y1)，Q(&, y2), M(x0, y),依题意 xw0,%>0, y2>0.由y= x2,2得 y/ =x.，过点P的切线的斜率k«= x1， 11.直线l的斜率k=一=-,k切小直线 l 的方程为 y xi2= (x xi), 2 x1方法一：联立消去y,得x2+ x - xi2_ 2=0.XiM是PQ的中点x1 x211 21x0= =-, y0=

24、Xi (x0 Xi)2Xi2 Xi1消去 xi,得 y0=x0 +2+1(x0W0),2x0 o1 PQ中点M的轨迹万程为 y=x2+ -+l(x 0).2xo方法二：1 2 一 12 X1 x2由 y1=一Xi ? y2= X2 ? xo= ?2 22得 y1 y2= X12 X22= (X1 + X2)(X1 X2)=X0(X1 X2),222川| Y _ y1 一 y2 _lx _1人Xo k 1 5X1 - X2X1-1 X1 ,Xo将上式代入并整理，得21yo=Xo + 2- +1(X0 丰 0),2Xo1PQ中点M的轨迹万程为 y=X + -+1(x o).2Xo(n)设直线 l:y=kx+b,依题意 kwo, bw。，则 T(o, b).分别过P、Q作PP/，x轴，QQ/，y轴，垂足分别为 PI Q-则|ST| . |ST| |OT| |OT|b|b|SP| |SQ| |PP| |QQ| |y1 | |y2由 丫=；*2 , y=kx+b 消去