2003高考数学试题(全国理)及答案

1、 精诚凝聚=A，=成就梦想 翻点亮心灯/(AvA)照亮人生2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)、选择题(本大题共12小题，每小题5分, 的.60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求已知7244万,0), cosx =g,则 tg 2x =一 7B. 24C.247D.2472.圆锥曲线P%二的准线方程是 cos 1A. PcosQ =-2B. PcosB =2C.Psin 日=_2D ."sin - 23.2设函数f(x) =-1,x<0,，若 f (x0)x2 ,x 0.>1,则x0的取值范围是(1,1)B . (1, +00 )C.

2、(-二，-2) 一(0,二)D. (_oo,_1)u(1,)4.函数y =2sin x(sin x +cosx)的最大值为A. 1+J2B. <2 -1C.正D. 25.已知圆C :(x-a)2 +(x-2)2 =4(a A0)及直线l :x y + 3=0.当直线l被C截得的弦长为23时，则a=6.已知圆锥的底面半径为 R,高为3R,在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是(2-92入82r3_2A. 2市B. -HRC.市D. 3叮227.已知方程(x 2x + m)(x 2x+n) =0的四个根组成的一个首项为A. 1B. -C. 1D.421 ，一1的等差数列，则4388.已知双曲

3、线中心在原点且一个焦点为F(%；7,0)，直线y = x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为-2,则此双曲线的方程是32222x y /x y /A.-=1B.-=13443一二 3 . 一一，一.9,函数 f (x) =sin x,x 一,一的反函数 f (x)=2 22222x y /x y /C.-=1 D.-=15225A. -arcsin x, x w T,1B . 一冗一 arcsin x, x w 1,1一精诚凝聚=A，=成就梦想10.已知长方形的四个项点 A (0, 0), B (2, 0), C (2, 1)和D (0, 1), 一质点从AB的中点Po沿与AB夹 角为e

4、的方向射到BC上的点Pi后，依次反射到 CD、DA和AB上的点P2、P3和P4 (入射解等于反射角)，16.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为具所在棱的中点， 能得出l，面MNP的图形的序号是.(写出所有符合要求的图形序号)17.(本小题满分12分)已知复数z的辐角为60° ,且|z1|是|z|和|z 2的等比中项.求|z|.P：函数y =cx在R上单调递减C. 一元 +arcsin x, x w 1,1D .冗-arcsin x, x w -1,1设P4坐标为(x4,0)，若1 <x4 <2,则tg0的取值范围是* 2、D.（5,3）11

5、lim 也+小+牖 n*n（C； +C； +C：十一 +C：）12. 一个四面体的所有棱长都为V2 ,四个项点在同一球面上，则此球的表面积为D. 6n、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上三、解答题：本大题共 6小题，共74分.解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三形，/ ACB=90 ° ,侧棱AA1=2, D、E分别是CC1与A1B的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 ABD的重心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(II)求点 A

6、1到平面AED的距离.19.(本小题满分12分) 已知CA0.设1 ,、A（3,1）c /1 2、B- （-,-）3 3C.A. 31B.3D. 6A. 3nB. 4nC. 3技219.9 . 一13. （x2 ）9展开式中x9的系数是2x15 .如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.(以数字作答)C.14.使log2(-x) <x+1成立的x的取值范围是16翻点亮心灯/(AVA)照亮人生 精诚凝聚=A，=成就梦想 侵袭的范围为圆形区域，当前半径为Q:不等式x + |x - 2c|>1的解集为R

7、,如果P和Q有且仅有一个正确，求 c的取值范围20 .（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 0（如图）的东偏南6（8 =arccosY2）方10向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 45°方向移动.台仄60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21 .（本小题满分14分）已知常数a >0,在矩形 ABCD中，AB=4 , BC=4a,。为AB的中点,BE CFDG 移动，且 =，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使 P到这两点的距离的和BC CDDA为定值？若存在，求

8、出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由22 .（本小题满分12分，附加题4分）（I）设an是集合2t +2s |0Ws<t,且s,tZ中所有的数从小到大排列成的数列,即 a1 =3,a2 -5,a3 =6,a4 =9,a5 =10,a6 =12；将数列an各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表:35691012（i）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；（i i）求a100.（n）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设bn是集合2r +2t +2s |0<r c s <t,且r,s,t w Z中所有的数都是从小到大排列成的数

9、列，已知bk =1160，求 k.2003年普通高等学校招生全国统一考试学（理工农医类）答案一、选择题1 . D 2, C 3. D 4. A 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10. C 11. B 12, A二、填空题13. -2114. (-1, 0)15. 7216.2三、解答题：r _ 一 。 一17 .解：设z=rcos60 +rsin60 ),则复数z的实部为一.z z = r,zz =r2由题设2|z1|2 4 z| | z2| 即:(z-1)(z -1) Tz|：(z2)(Z2),二 r2 -r +1=r/r2 2r+4, 整理得 r2 +2r -1 =0.解

10、得：r =应1,r = -v'2 1(舍去)即 | z =& -1,18 . （ I ）解：连结 BG,则BG是BE在ABD的射影，即/ EBG是A1B与平面ABD所成的角 设F为AB中点，连结EF、FC,D,E分别是CC1,AB的中点，又DC，平面ABC,二CDEF为矩形连结DE,G是9DB的重心，,G WDF,在直角三角形EFD中EF2 =FG FD =1 FD2； EF =1,二 FD =点(4分)3于是 ED =V2, EG =12 =.'/ FC =CD =莅,：.AB =255, A1B =2石,EB =43 ,33j. sin/EBG =EG = ,工=史

11、.AB与平面ABD所成的角是arcsin.EB 3.333(口)解：丫 ED _L AB,ED _LEF,又 EFC AB = F,J. ED 上面人1AB，又 ED U 面 AED,二平面 AED _L 平面 A1AB，且面 AED c 面 A1AB =AE.彳'乍A1K _LAE,垂足为K. A1K _L平面AED,即A1K是A到平面AED的距离.在 M1 AB1 中,A1 K = A1A A1B1 = 212X2 =-21 A1 到平面 AED 的距离为 空6.AB12 333x19 .解：函数y = c在R上单调递减w 0 < c < 1.不等式x+| x-2c&#

12、187;1的解集为Ru 函数y = x+|x-2c|在R上恒大于1.''' x力 x 2c | = «2x 2c,x >2c,2c,x <2c,二函数y =x+|x2c |在R上的最小值为2c.二不等式|xtx2c|>1的解集为RU2c>1Uc>1.2如果P正确且Q不正确则0£1如果P不正确且Q正确则c4所以c的取值范围为（0 1LJ1 F2220.解：如图建立坐标系以 。为原点，正东方向为 x轴正向.在时刻：(1)台风中心P ( X,y)的坐标为X =300 M "2 _20M42t,102-7M72y =J

13、300 K- +20xt.102此时台风侵袭的区域是(xx)2 +(y-y)<r(t)2,其中r(t) =10t + 60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有(0 -X)2 +(0-y)2 <(10t +60)2.即(300 乂立 _20x丑t)2 +(300父2+20父丑t)2 102102<(10t +60)2，即t2 36t+288 W0,解得 12Wt <24答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21 .根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有 A (-2, 0), B (2, 0), C

14、(2, 4a), D (2, 4a)设匹=CF = DC (0 £ k £ 1)BC CD DA由此有 E (2, 4ak), F (24k, 4a) , G (-2, 4a-4ak)直线 OF 的方程为：2ax +(2k -1)y = 0直线GE的方程为：a(2k 1)x + y 2a =0从，消去参数k,得点p(x,y)坐标满足方程2a2x2 + y2 2ay = 0整理得x2 (y a)27 ,2-1 a 2,21 ,4当a =一时，点p的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点=12,21 ,当a #时，点p轨迹为椭圆的一部分，点 p到该椭圆焦点的距离的和为定长。 2

15、a2,a),(J1a2,a)的距离之和为定值 加。20, a ja2 1),(0,a+、'a2 _：)的距离之和为定值 2a.第五行 33 34 36 40 4821当a 一时，点p到椭圆两个焦点 221当a a 一时，点p到椭圆两个焦点 222 .(本小题满分12分，附加题4分)(I )解：(i)第四行 17 18 20 24(ii)解：设a100 =2s0 +2t° ,只须确定正整数s0,t0.数列an中小于2t0的项构成的子集为 2 +2s |0<s<t <t0,其元素个数为Ct2 =t0(t0 f 依题意t0(t0 f <100满足等式的最大整数t0为14,所以取t0 =14. 02,2.因为 100C124 =s。+1,由此解得 So =8, a100 =214 +28 =16640.(口)解：bk =1160 =21°+27 +23，令 M gc WB |C <116Q(其中,B =2r+2s +2t | 0 Mr <s <t因 M =c- B|c ：:210 ,.c ' B|210 :二c =：:21° 27 _.c - B | 21° , 27 ：:c ：: 21° 27 - 23.现在求 M 的元素个数：c B |c <210 =