3平方根提高知识讲解

1、平方根（提咼）【学习目标】1了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根.【要点梳理】【高清课堂：389316平方根，知识要点】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 算术平方根的定义如果一个正数x的平方等于a，即X2 = a,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是 0）； a的算术平方根记作 /a，读作“ a的算术平方根”，a叫做被开方数要点诠释：当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即 ,a > 0, a > 0.2. 平方根的定义如果X2二a，那么X叫做a的平方根求一个

2、数a的平方根的运算，叫做开平方平方与 开平方互为逆运算 a（ a > 0）的平方根的符号表达为 _-、a（a_0），其中是a的算术平方根要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1. 区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 二、a和 .a2 联系：（1）平方根包含算术平方根；（2 ）被开方数都是非负数；（3） 0的平方根和算术平方根均为 0.要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根.（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根要点三、平方根的性质_a （a 0

3、）、a2 =| a | = 0（a = 0）-a （a : 0）a-0要点四、平方根小数点位数移动规律2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如:被开方数的小数点向右或者向左移动62500 = 250 , I 625 = 25,6.25 = 2.5,0.0625 = 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念【高清课堂：389316平方根：例1】1、 若2 m 4与3m 1是同一个正数的两个平方根，求m的值.【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m 4= (3m 1),解方程即可求解.【答案与解析】解：依题意得2 m 4= ( 3 m

4、1),解得m = 1； m的值为1.【总结升华】 此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.举一反三：【变式】已知2 a 1与一a + 2是m的平方根，求 m的值【答案】2a 1与a + 2是m的平方根，所以2a 1与a + 2互为相反数解：当 2a 1+( a + 2) = 0 时，a = 1,222所以 m = (2a1) =2 x(1)12 =(3) =92、x为何值时，下列各式有意义？(1) X2 ； (2)X -4 ; (3) '、厂！.匸X ; (4) -.x-3【答案与解析】解：(1)因为x2 一 0 ,所以当x取任何值时，x2都有意义.(2) 由

5、题意可知：x-4 一 0,所以x_4时，x-4有意义.工x 1 _ 0(3) 由题意可知：解得：-1 _x _1 .所以-1 _ x_1时、x V Vx有意11 -xKO义.x-no(4) 由题意可知：，解得X _ 1且X 3 .I x 3 = 0所以当x _1且x =3时,x -3【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义.(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义.举一反三:1 1【变式】已知b =4._ 3a -2 2 2 - 3a 2，求 的算术平方根.a b【答案】3a - 2 启 0,2113

6、1解：根据题意，得则a -，所以b = 2,. = 2 ,2-30.3a b 2 2.丄的算术平方根为a b类型二、平方根的运算C3、求下列各式的值.(1) J252 242 U J32 +42 ； (2) J20* 1V03£ V900 .【思路点拨】(1)首先要弄清楚每个符号表示的意义( 2)注意运算顺序【答案与解析】解:.252 -242 口 32 4厂 *49L 25 = 7 5 = 35;|11.181119(2) 、 200.36、9000.630 = 0.2 - 6 - -1.7.V 435V 4352【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，

7、同一级运算按先 后顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 据. a2 二 a(a - 0)来解.类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的X.2(1) X2 -361=0;(2) x 1289 ；2(3) 9(3x+2 ) -64 =0【答案与解析】 解：(1 )T x2 -361 =0 X 二 一 .361 = -19* . 2(2)v (x+1 ) =289 x 1 = =289x + 1 = ± 17X = 16 或 X = 18.2(3)T 9 3x 2-64 =0264.3x 2 工9.3x 2 = 832十14x或x =99【总结

8、升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法( 2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度举一反三：【变式】求下列等式中的 X :(1)若 X2=1.21，则 x =;(2) X2=169，则 x =;2922(3)若 X2= ,则 X =；(4)若 X =(-2,则 X =.43【答案】(1 )± 1.1 ; (2)± 13; ( 3)； (4)± 2.2类型四、平方根的综合应用5、已知a【高清课堂：389316平方根：例5】、b是实数，且2a 6 |b-、2|=0，解关于 x的方程(a 2)x b2 二 a-1 .【答案与解析】解： a、

9、b 是实数，,2a 6 |b-、2|=0 , . 2a_6 一 0,.2a 6 = 0,=0 .a 二3, b =、2.把 a 二3, b =、2 代入(a 2)x b2 = a T，得x + 2 = 4，二 x = 6.【总结升华】 本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a、b的值，再解方程此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可.举一反三：【高清课堂：389316平方根：例5练习】【变式】若.X2 -1 .厂1 =0，求X2011 - y2012的值.【答案】解：由.x. y 1 =0,得 X? -1 = 0 , y 1 = 0，

10、即 x =： 1 , y = -1. 当 x = 1, y =- 1 时，X2011 .y201f011 .(_1)2012 =2 . 当 x =- 1, y =- 1 时，x2011 y2012 =(-1)2011 (-1)2012 = 0 .【高清课堂：389316平方根：例6】6、小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x ( x >0) cm，则宽为2x cm，依题意得3x 2x =300.26x =300.x2 =50 . x >0,x - . 50 .长方形纸片的长为 3 50 cm./ 50 > 4