三角形内角和定理优秀教案

1、三角形内角和定理8 / 10【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。（二）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。（三）用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力。（四）对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用【教学重难点】（一）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。（二）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。【教学过程】本节课的设计分为四个环节：情境引入 探索新知一一反馈练习一一课堂小结。、情境引入活动内容：（一）用折纸的方法验证三角形内角和定理。(1)(4)实验1:先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图

2、 然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（ 2）、（3）,最后得图 所示的结果。试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗?（二）实验2:将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？活动目的：对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。 将自己的操作转化为符号 语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明。教学效果：说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内 角和定理的原因。二、探索新知。活动内容：例1.用严谨的

3、证明来论证三角形内角和定理。例2.看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DE/BC,. DE/BC,./DAB=/B, / EAC=/C （两直线平行，内错角相等），/ DAB+ / BAC+ / EAC=180 ,丁./BAC+/B+/C=180 （等量代换）。方法二：作BC的延长线CD,过点C作射线CE/BA。v CE/BA,./B=/ECD （两直线平行，同位角相等），/A=/ACE （两直线平行，内错角相等），/BCA+/ACE+/ECD=180 ,A+/B+/ACB=180 （等量代换）。活动目的：用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和 数学

4、的严谨，培养学生的逻辑推理能力教学效果：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的 三、新知应用。活动内容:在4ABC中，/ B=38° , / C=62 , AD是4ABC的角平分线，求/ ADB的度数C解：在4ABC中，/ B+/C+/BAC=180 （三角形内角和定理）B=38° , / C=62 （已知），；/BAC=180 -38 -62 =80o （等式的性质）。,. AD平分/ BAC （已知），. / BAD= / CAD= 1 / BAC= 1 刈0

5、 =40° （角平分线的定义）在4ADB中，/ B+/BAD+/ADB=180 （三角形内角和定理）。./B=38° （已知），/BAD=40 （已证），；/ADB=180 -38 -40°=102° （等式的性质）。活动目的：结合已经学过的知识，再次对三角形内角和定理灵活运用，达到熟练掌握。教学效果：学生看到这类题的时候，有意识去运用三角形内角和定理去解决， 最后能熟练掌握三角形 定理的应用。四、反馈练习。活动内容：（一）4ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有 什么特点？（二）AABC 中，/ C=90 , /A

6、=30° , /B=?（三）/ A=50° , / B=/C,则 AABC 中/ B=?（四）三角形的三个内角中，只能有 个直角或个钝角。（五）任何一个三角形中，至少有 个锐角；至多有 个锐角。（六）三角形中三角之比为1 ： 2 ： 3,则三个角各为多少度？（七）已知： ABC 中，/C=/B=2/A。1.求/ B的度数；2,若BD是AC边上的高，求/ DBC的度数？活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏。教学效果：学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此， 学生能

7、较好地解决与三角形内角和定理相关的问题。五、课堂小结。活动内容：（一）证明三角形内角和定理有哪几种方法？（二）辅助线的作法技巧。（三）三角形内角和定理的简单应用。活动目的：复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度。教学效果：学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明。六、课后练习。课本随堂练习；习题1， 2 题。【第二课时】【教学目标】（一）掌握三角形外角的两条性质。（二）进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。（三）灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。（四）进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。（五）通

8、过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣。【教学目标】（一）掌握三角形外角的两条性质。（二）进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。【教学过程】本节课的设计分为四个环节:情境引入一一探索新知一一反馈练习一一课堂反思与小结。一、情境引入。活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把 4ABC的一边BC延长得到/ ACD,这个角叫做 什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质。活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。注意事项：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角

9、形的外角的角度进行思、探索新知活动内容:（一）三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：1 .顶点在三角形的一个顶点上。2 . 一条边是三角形的一边。3.另一条边是三角形某条边的延长线。（二）两个推论及其应用：由学生探讨三角形外角的性质：问题1:如图，ZXABC中，/A=70° , /B=60° , /ACD是4ABC的一个外角，能由/ A、/ B求出/ ACD吗？如果能，/ ACD与/A、/B有什么关系？问题2:任意一个4ABC的一个外角/ ACD与/ A、/ B的大小会有什么关系呢?由学生归纳得出：推论1：三

10、角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例1.已知：/ BAF, /CBD, / ACE是4ABC的三个外角。求证：/ BAF+/ CBD+/ ACE=360。分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证。证明：（略）。例2.已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F, F/ A=62° , / ACD=35 , / ABE=20 。求：（1） /BDC 度数；（2） /BFD 度数。*印e解：（略）。"活动目的：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不

11、同角度对三角形作更全面的思考。新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。、课堂练习。活动内容：（一）已知，如图，在三角形 ABC中，AD平分外角/ EAC, /B=/C。求证：AD/BC。分析：要证明AD/BC,只需证明“同位角相等"，即需证明/ DAE=/B。证明：=/ EAC=/B+/C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），/B=/C （已知），./B=1/EAC （等式的性质）。E,. AD平分/ EAC （已知），. / DAE= 1 / EAC （角平分线的定义）丁./ DAE=/B （等量代换）。 .AD/BC （同位角相等

12、，两直线平行）。想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证。证明：=/ EAC=/B+/C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ZB=ZC （已知），./C=1/EAC （等式的性质）。 2,. AD平分/ EAC （已知）， . / DAC= 1 / EAC （角平分线的定义）。2 ./ DAC=/C （等量代换）。 .AD/BC （内错角相等，两直线平行）。还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证。证明：=/ EAC=/B+/C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， /B=/C （已知），ZC=1ZEAC （等式的性质）。

13、2,. AD平分/ EAC （已知）， ./ DAC= 1 Z EAC o2 ./ DAC=/C （等量代换）。./ B+/ BAC+ZC=18（J ,.B+/ BAC+/DAC=180 。即：/B+/DAB=180 , .AD/BC （同旁内角互补，两直线平行）（二）已知：如图，在三角形 ABC中，/ 1是它的一个外 角，E为边AC上一点，延长BC至I D,连接DE。求证：/ 1>/2。证明：:/ 1是4ABC的一个外角（已知）, / 1>/ACB （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角）: / ACB是4CDE的一个外角（已知）， / ACB> /2 （三角形的

14、一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）；/1>/2 （不等式的性质）。（三）如图，求证：1. /BDC>/A。0如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性， 理解掌握三角 形的内角和定理及推论。3证法一：（1）连接AD,并延长AD,如图，则/ 1是4ABD的一个外角，/ 2 MAACD 的一个外角o /1>/3, /2>/4 （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。 /1 + /2>/3+/4 （不等式的性质）。即：/ BDC> / BAC。（2）连结AD,并延长AD,如图。则/1是4ABD

15、的一个外角，/ 2MAACD的一个外角。 / 1 = /3+/B,/2=/4+/C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），/1 + /2=/3+/4+/B+ /C （等式的性质）即：/ BDC=/B+ /C+/BAC。证法二：（1）延长BD交AC于E （或延长CD交AB于E）,如图。则/ BDC是4CDE的一个外角。 /BDC>/DEC,（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。DEC是4ABE的一个外角（已作）, /DEC>/A （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）。；/BDC>/A （不等式的性质）。（2）延长BD交AC于E,则/ BDOA

16、DCE的一个外角。 ./BDC=/C+/DEC （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。 / DEC是4ABE的一个外角， ./DEC=/A+/B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。 BDC=/B+/C+/BAC （等量代换）。活动目的：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习。注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2 小题中， 要引导学生找到一个过渡角/ ACB ,由/ 1>/ACB, /ACB>/2,再由不等关系的传递性得出 / 1>/2。四、课堂反思与小结。活动内容：由学生自行归纳本节课所学知识：推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。活动目的：复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力。注意事项：学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。五、课后练习：课本随堂练习，习题。思考题：课本（给学有余力的