二项式定理一

1、“二项式定理（一）”教案浙江省永嘉县上塘中学陈华云一、教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。二、教学重、难点： 重点：二项式定理的推导及证明 难点：二项式定理的证明三、教学过程： (一)新课引入：810(7+1)10710+79+7+2(733c133732+c3233·7+2 (提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3 (提问)：对

2、于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?(利用多项式乘法) (再提问)：(a+b)100又怎么办？ (a+b)n(nN+)呢？ 我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性 (二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3

3、+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为an, an-1b, an-2b2,，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表： (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数 (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b，只

4、有一种取法得到a4即种(2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b(3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2(4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3(5)若每个括号都取b，共有种取法得b4 (a+b)n=an+an-1b+an-rbr+bn(nN+)以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。证明：(1)当n=1时，左边(a+b)1=a+b 右边a1+b1=a+b 等式成立 (2)假设n=k时，等式成立，即(a+b)k=ak+·ak-1b+ak-rbr+·bk那么当n=k+1时(分散难点作法)以 (a+b)4(a+b)与(

5、a+b)k(a+b)进行类比(a+b)4(a+b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)(a+b) =（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4）+（a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）由组合数性质知 则(a+b)5=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5(a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=(ak+·ak-1b+ak-rbr+·bk)(a+b) (·ak+1+akb+ak-r+1br+abk)+(akb+ak-1b2+·ak-rbr+1·bk+1) ak+1+(+)akb+(+)ak-rbr+1+(+)abk+

6、·bk+1由组合数性质得，= +=，+=，+=，=(a+b)k+1=ak+1+akb1+ak-rbr+1+abk+bk+1，即等式成立。根据（1）（2）可知，等式对于任意nN+都成立。一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点：1项数：共有(n+1)项2系数：依次为，其中(r0，1，2，n)称为二项式系数 说明：二项式系数与展开中某一项系数是有区别的。例如：(12x)6展开式中第3项中系数为·2260而第三项的二项式系数是15。3指数：an-r·br指数和为n，a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。三、小结：（1）二项式定理(a+b)n=an+a