二阶常系数非齐次线性微分方程

1、第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性方程的一般形式为 (8.1)根据线性微分方程的解的结构定理可知，要求方程(8.1)的通解，只要求出它的一个特解和其对应的齐次方程的通解，两个解相加就得到了方程(8.1)的通解. 上节我们已经解决了求其对应齐次方程的通解的方法，因此，本节要解决的问题是如何求得方程(8.1)的一个特解.方程(8.1)的特解的形式与右端的自由项有关，如果要对的一般情形来求方程(8.1)的特解仍是非常困难的，这里只就的两种常见的情形进行讨论.1.,其中是常数,是的一个次多项式:；2. 或，其中，是常数，是的一个次多项式.分布图示 二阶常系数非齐次线性方程的求解问

2、题 型 例1 例2 例3 例4 例5 例6 或型 例7 例8 例9 例 10 例 11 内容小结 课堂练习 习题8-7内容要点： 一、型当时，二阶常系数非齐次线性微分方程(8.1)具有形如 (8.4)的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.4)式中的k是特征方程的根的重数（即若不是特征方程的根，取0；若是特征方程的重根，取为）. 二、或型即要求形如 (8.7) (8.8)两种方程的特解.由欧拉公式知道，和分别是 的实部和虚部.我们先考虑方程. (8.9)这个方程的

3、特解的求法在上一段中已经讨论过. 假定已经求出方程(8.9)的一个特解，则根据第六节的定理5知道，方程(8.9)的特解的实部就是方程(8.7)的特解，而方程(8.9)的特解的虚部就是方程(8.8)的特解.方程(8.9)的指数函数中的()是复数，特征方程是实系数的二次方程，所以只有两种可能的情形：或者不是特征根，或者是特征方程的单根. 因此方程(8.9)具有形如 (8.10)的特解，其中是与同次（次）的多项式，而按是不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意(8.10)式中的k是特征方程含根的重复次数.例题选讲： 型例1（E01）下列方程

4、具有什么样形式的特解?(1) (2) (3) 解 (1) 因不是特征方程的根,故方程具有特解形式：(2) 因是特征方程的单根,故方程具有特解形式:(3) 因是特征方程的二重根，所以方程具有特解形式：例2（E02）求方程的一个特解.解 题设方程右端的自由项为型，其中对应的齐次方程的特征方程为 特征根为由于不是特征方程的根，所以就设特解为把它代入题设方程,得 比较系数得解得于是，所求特解为例3（E03）求方程的通解.解 题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为于是，该齐次方程的通解为因是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：代入题设方程,得比较等式两端同次幂的系数,得于是，求得题没方程的一个特解

5、从而，所求题设方程的通解为例4 求微分方程的通解.解 特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为 观察可得, 的一个特解为的一个特解为例5求方程的特解.解 其对应齐次方程的特征方程为解得特征根为由第六节定理4知,题设方程的特解是下列两个方程的特解的和: (1) (2)因特征方程有重根所以设方程(1)的特解 将其代入方程并消去整理后得即于是得特解又因特征方程有重根所以设方程(2)的特解为 求导后代入方程，解出得特解 所以题设方程的特解为：例6求方程的通解.解 对应的齐次方程的特征方程为特征根所求齐次方程的通解由于不是特征方程的根，因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得故所求方程的通解为例7 求

6、方程的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程是单根,故设代入上式得取虚部得所求非齐次方程特解为从而题设方程的通解为 或型例8（E04）求方程的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程不是特征方程的根，故设代入辅助方程得取实部得到所求非齐次方程的一个特解:所求非齐次方程的通解为例9设函数满足求.解 将方程两端对求导，得微分方程 即特征方程为特征根为对应齐次方程的通解为注意到方程的右端且不是特征根，根据非齐次方程解的叠加原理，可设特解代入方程定出从而原方程的通解为又在原方程的两端令得又在原方程的两端令得定出从而所求函数为例10求以(其中为任意常数)为通解的线性微分方程.解法1 (1) (2)由式(1)知代入(2)式得所求方程为解法2 因由解的结构知所求方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，对应齐次线性方程有两个特解故有二重特征根于是特征方程为即对应齐次线性方程为令该方程为因为其解,故从而所求方程为 例11 已知函数是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解, 试确定常数与及该方程的通解.解法1 将代入原方程得比较两边同类项系数，得方程组 解此方程组,得于是原方程为其通解为解法2 将已知方程的特解改写为因对应齐次方程的解应是型的,如是对应齐次方程的解, 也可能是，因原方程的自由项是而或是原非齐次方程的解,故也是