51二次曲线与直线的相关位置

1、第五章二次曲线的一般理论平面上由二元二次方程aii X2 + 2ai2 xy + a22 y2 + 2ai x + 2a2 y + a = 0（其中an ,ai2,a22不全为0）所表示的曲线称为二次曲线。本章将从直线与二次曲线的相关位置的讨论入手，研究二次曲线的几何性质，通过坐标变换对二次曲线进行分类，利用不变 量和半不变量简化二交曲线方程。判断二次曲线的类型、然后还要确定二次曲线的位置。为便于讨论，我们引进一些记号）11矩阵农示2 2x + a xy 单 y21222/aa1112aa(X, y, 1)1222< a ia2+ a x+ aFi ( x, y)= a11 x+ai2

2、y+aiF2 ( x, y)=ai2 x +a22 y 壇2F3 (x, y)三 ai x+ a2 y+a(x, y) = an x2+ 2a 12 xy + a22 y 2矩阵农示/ an (X, y)©12ai2a22容易验证F ( x, y) =xFi ( x, y) + yF2 ( x, y) + F3 ( x, y)11 =an +a22aa1112I 2 二aa1222aa1112aiaa13 _1222a2aia2a今后还经常用列下面几个符号aaki = aiai a+22 a2a2 a§ 5.1二次曲线与直线的相关位置，切线本节重点：掌握二次曲线与直线的相关

3、位置及切线的求法。（一）二次曲线与直线的相关位置首先我们讨论二次曲线与直线的相关位置，这里会涉及到一元二次方程的解，而一元二次方 程的解又可能出现虚数，所以需要在平面上引进虚元素。在取定平面直角坐标系后，对于至少有一虚数的有序数对（X, y）,我们认为它表示平面上一个虚点，并称（x, y）为这虚点的坐标，平面上原先研究的点称为实点。如果两虚点的对应坐标都是共辘复数，则称这两点为一对共辘虚点。实点和虚点统称为复点，在平面上引进虚点 之后，可以扩充向量和直线的概念，引进虚向量和虚直线概念等。现在我们来讨论二次曲线F （ x, y） = a 11 x ?+2ai2 xy+a22 y ? + 2ai

4、x+2a2 y +a = 0（ 1）与经过点（xo , yo ）且具有方向X : Y的直线的交点，把（2）代入（1）得关于t的方程（an X2 +2ai2XY+a22Y2）t2 +2（au xo+ anyoai ）X+（ai2xo+ a22 yo a2 ）Yt+ （a x 2 +2a x y +a y 2 + 2a x 4-2a y 4-a） =0（ 3）11 0 12 0 0 22 0 1 0 2 0利用前面记号（3）可写成X, Y）t2 +2XFi （ xo , yoT YF2 （xo , yo ）广 F （xo , yo 尸 0（4）关于直线（2）与二次曲线（1）的交点问题，我们利用方程

5、（4）分以下几种情况讨论1、（X,Y）=0,这时（4）是关于t的二次方程，它的判别式为 = XF1 （ xo , yo ）+YF2 （ xo , yo ） 2 - （X , Y） F （ xo , yo ）这里又可分三种情形1°、 A >0 ,方程（4）有两个不等实根ti与t2,代入（2）便得直线（2）与二次曲线（1）的两 个不同的实交点。2。、 A =0 ,方程（4）有两个相等实根ti与t2,这时直线（2）与二次曲线（1）有两个互相 重合的实交点。3°、° <0 ,方程（4）有两个共辘的虚根，这时直线（2）与二次曲线（1）交于两个共辘的虚点。2、（X

6、,Y） = 0 ,这时又可分三种情形1。、XFi (xo, yo )+YF2 (xo , yo尸0 ,这时(4)是关于t的一次方程，它有唯一的一个 实根，所以直线(2)与二次曲线(1)有唯一的实交点。2°、XFi ( xo , yo )+YF2 (xo , yo 尸 0 ,而 F ( xo , yo )= 0。这时(4)为矛盾方程，方程 (4)无解，所以直线(2)与二次曲线(1)没有交点。3°、XFi ( xo , yo )勺巳(xo , yo ) F (xo , yo ) 0；这时方程(4)成为一个恒等式；它能被 任何(实的或虚的)t所满足，所以直线(2)上一切点都是(1

7、)和(2)的公共点，也就是说直线(2) 在二次曲线(l)±o(二)二次曲线的切线5.1.1定义如果直线(2)与二次曲线(1)相交于互相重合的两个点，或者直线(2)全都在二次曲线(1)±,则称这直线(2)为曲线(1)的切线，其公共点称为切点。首先来讨论经过二次曲线(1)上一点M o ( xo , yo )的切线L的求法。论切线L的方向为X: Y,则L的参数方程为：X = X0 + xt<一8 <t < °0ly= yo +yt代入二次曲线的方程(1)得<J>(X,Y)t2 + 2XF (x,y >YF (x ,y )t+F(x,y

8、#01 0 0 2 0 0 0 0据切线定义，在前一情形有° (X ,¥)- 0且t的二次方程的判别式 P由于M 0 ( xo , yo ) 在S ±,于是 =4 XFi (xo , yo )如2 (xo , yo )2 -曲(X ,Y )F ( xo , yo )=4XF(x,y ) AT(x , y ) 21 0 0 2 0 0因此 XFi (xo , yo )+YF2 (xo , yo )= 0( 5.1.1)在后一情形，有(X,Y) =0，且XFi ( xo , yo 广许2 (xo , yo 尸 0总之，过二次曲线(1)上的点M o ( xo , yo

9、)的直线L如果是二次曲线(1)的切线，则L的方向应 满足(5.1.1),反之，如果这样的直线 L的方向满足(5.1.1),则L或者在二次曲线(1)上(当Y) = 0 ),或者与二次曲线(1)有两个重合的交点(当(X, Y)H 0时)，从而L是二次 曲线(1)的切线。情形I . Fi(xo,yo )与F2 ( xo , yo )不全为零，则由(5.1.1)得(5.1.2)X ： Y = -F2 ( xo , yo) : Fl ( xo , yo )因此过二次曲线(1)上的点Mo(xo,yo)为切线L的方程为x xoy - yo_ F2 (xo , yo )F1 ( xo , yo)即(x _ x

10、o ) Fi ( xo 9 y0 ) + ( y _ yo )F 2 (xo , yo ) =0(5.1.3)情形I【 Fi(xo,yo) =F2(xo, y0) =0此时任一方向 X： Y都满足(5.1.1)从而过Mo(xo,yo)的任意一条直线都是二次曲线(1)的切线。从上述讨论得到5.1.2定理设M o ( xo , yo)是二次曲线上一点，若Fi ( xo , yo )与F2 (xo , yo )不全为零，到过Mo存在二次曲线(1)的唯一的一条切线，其方程为(xxo )F 1 (xo , yo)(y yo) F2 (xo , yo)0 +-=若Fi (xo , yo尸F2 ( xo ,

11、 yo尸0 ,则过Mo的每一条直线都是二次曲线 的切线。5 1 R定义若过曲线上的点Mo(xo,yo)的每一条直线都是(1)的切线，则称点Mo为曲线(1)的奇(异)点。再讨论过二次曲线(1)外一点Mi (Xi , yi )的切线L的求法。这吋 L不可能整条在二次曲线(1)±,因此L必与二次曲线(1)有两个重合的交点，设 L的方向为X: Y则它就满足XFi (xi , yi ) +YF2 (xi , yi )2-(X,Y) F ( xi , yi 尸0(5.1.4)因为L的方程为x 一 xiy-yiXY所以对于切线L上的任意一点(x, y)都有X : Y =( xxi ): ( y-y

12、i )不妨就取X = x r 1 ,Y = y -yi代入(5.1.4)得(x -xi ) Fi (xi , yi)( yyi ) F2 (xi , yi 打2(x-xi , yyi ) F ( xi , yi 0(5.1.5)(5.1.5)的左端是(x-xi), (r yi)的二次齐次多项式，当它可以分解成两个实系数一次因式乘积时，便得到两条切线。例1、求二次曲线X2 - xy +y2 - 1=0通过点(0,2)的切线解：因为F (0,2) =4-1= 凸0,所以(0,2)不在曲线上iy) 1F1 (0,2) (x-(0 卫厶12=-y) 1 =F2 (0,2)(X(0'2)2(x-

13、0,y-2) = x2- x( r 2) t y If ( y-2) 2由(4.1.5)得(-l)(x - 0)+ 2(y 2)2-3x2-x(y-2) ty 2 2 伊即 2x?+ x(厂 2)-( y - 2)2 = 0将左端分平因式得2x (y 2)x(y 2) 0一于是得到过(0,2)的两条切线的方程分别为2x -y +2 =0习 题 5-1=0与下列直线的交点(1)1、求二次曲线 x2 - 2xy-3 y2 4 x 6y+3 X = _2t(2) I y i+t(3) 2x 6y _ 9 = 0(4) x- 3 y= 02、试决定K的值，使得直线x f 书0与二交曲线x2-3x +矿

14、K =0交于两个不同的实点"x = 1+ Kt?(2) 直线f与二次曲线x2 +3y 4xy - y =0交于一点ly = K+t(3) 直线x 一 Ky - 1= 0与二次曲线y 2 2 xyr ( K 一 1) y T =0交于两个相互重合的实点(4) 直线 J = 1 与二次曲线2x 2 +4xy -Ky 2 _ x _ 2 y= 0有两个共轨虚交点ly =1 -t3、求下列二次曲线的经过所给点的切线方程（1）3x2 +4 xy+5y $ -7x - 8y - 3= 0 点、（2,1）；（2）5x2 +7xy + y 2-x+2 y = 0 原点；（3）5x2 +6xy+5y2 = 8 点（0,22 ）；（4）2x2 - xy - y2 - x - 21= 0 点、（0,2）。4、求下列二次曲线的切线方程，并且求出切点的坐标（1） x2 +4xy