2019年初中数学突破中考压轴的题目几何模型之正方形地半角模型教案设计(有问题详解)

1、实用标准文案4W霆1 .掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2 .掌握正方形的性质定理 1和性质定理2。3 .正确运用正方形的性质解题。4 .通过四边形的从属关系渗透集合思想。5 .通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。知识结构精彩文档正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结)。正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理2包括了平行四边形， 矩形，菱形对角线

2、的性质， 一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。(1)正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图(2)正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。例1.如图，折叠正方形纸片 ABCD,先折出折痕 BD,再折叠使 AD边与对角线BD重合，得折痕 DG ,使AD =2,求 AG .【解析】：作GM_ BD,垂足为M.由题意可知/ ADG=GDM则 AD8 MDGDM=DA=2 AC=GM又易知：GM=BM而 BM=BD-DM=22-2=2 ( 72-1 ),.AG=

3、BM=2 应-1 ).例2 .如图，P为正方形ABCD内一点，PA = PB=10,并且P点到CD边的距离也等于10,求正方形 ABCD 的面积？【解析】：过P作EF _L AB于F交DC于E.、-_1 ,一 .设 PF =x，则 EF =10+x , BF= (10+x).2由 PB2 =PF2 +BF2 .1o可得：102 =x2+1(10 + x)2.故 x =6 .2Sabcd =16 = 256 .例3.如图，E、F分别为正方形 ABCD的边BC、CD上的一点， AM .L EF , ?垂足为M , AM = AB, 则有EF =BE +DF ,为什么？【解析】：要说明EF=BE+D

4、F只需说明BE=EM DF=FM可，而连结 AE AF,只要能说明 AB珞 AME ADM AMF即可.理由：连结AE、AF.由 AB=AM AB± BC, AML EF, AE 公用,.AB® AME.BE=ME同理可得， AD障 AMF.DF=MF.EF=ME+MF=BE+D F例4.如下图E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD上，且/EAF=451试说明EF = BE + DF。【解析】：将 ADF旋转到 ABC则4 ADF ABG AF=AG / ADF=/ BAG DF=BG./ EAF=45且四边形是正方形, / ADF+ / BAE=45 / GA母 /

5、BAE=45即 / GAE=45.AE阁 A AEG (SASEF=EG=EB BG=EB- DF例5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、 F两点，使ZEAF =45、AG _L EF 于 G .求证：AG = AB【解析】：欲证AG=AB,就图形直观来看，应证RtABE与RtAGEi:等，但条件不够./EAF=45怎么用呢？显然/ 1 + Z 2=45° ,若把它们拼在一起，问题就解决了 【证明】：把 4AFD绕A点旋转90°至4AHB. / EAF=45 , .1 + / 2=45° . / 2=/3, .1 + Z 3=45° .又由旋转

6、所得AH=AF, AE=AE.AAEF AEH.例6.(1)如图1,在正方形 ABCD中，点E, F分别在边BC,CD 上，AE, BF 交于点 O,/AOF =90求证：BE =CF.(2)如图2,在正方形 ABCD中，点E , H , F , G分别在边 AB ,BC, CD, DA上，EF , GH 交于点 O, /FOH =90： EF =4.求GH的长.1.已知点E , H , F , G分别在矩形 ABCD的边AB, BC, CD, DA上,直接写出下列两题的答案:EF , GH 交于点 O, /FOH =90： EF =4.如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长;

7、如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成图3，求GH的长(用n的代数式表示).图4【解析】 证明：如图1, 四边形AB，DAB=BC/ABB/BCB90 ,/EAB/ AEB=90 . / EOBZ AOa 90 , I ，“, /FBG/ AEB=90 , ：. ZEAB=Z FBC'_ 图1AABtE BCF,BE=CF.图2(2)解：如图2,过点A作AM/ GH BC于M 过点B作BN/ EF交CD N AMW BN交于点 O, 则四边形AMHG3四边形BNFE匀为平行四边形，EF=BNGH=A M Z FOH= 90 , AM/ GH EF/BN,. / NOA=90 故由

8、得，4AB阵ABCNAM=BNG件EF=4.(3) 8 . 4n.【双基训练】?其边长分别为3cm和5cm,则ACDE1.如图6,点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形,的面积为 cm2 .(6)(7)2 .你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图 7所示图形.？如果你所拼得的图形中正方形的面积为1,且正方形与正方形的面积相等，？那么正方形的面积为.3 .如图9,已知正方形 ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点.AF、CE相交于G , 并且AABF的面积为14平方厘米，ABCE的面积为5平方厘米，？那么四边形BEGF的面积是.4 .如图，A、B、C三点在同一条

9、直线上，AB = 2BC。分别以AB、BC为边作正方形 ABEF和正方形BCMN，连接FN ,EC。求证：FN=EC。5.如图，ABCD是正方形.G是BC上的一点, (1)求证：ABFzXDAE；(2)求证：DE =EF +FB .DE _L AG 于 E , BF _L AG 于 F .【纵向应用】6 .在正方形 ABCD中，/1=/2.求证：OF =1BE27 .在正方形 ABCD 中，Z1=Z2. AE .L DF ,一 一 1 一 求证：OG =-CE2EG _ CD8 .如图13,点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EF _L BC , 求证：AE FG139 .已知：点E、F分别

10、正方形ABCD中AB和BC的中点，连接 AF和DE相交于点G ,GH _LAD 于点 H .1、 求证：AF _L DE ;2、 如果AB =2,求GH的长;3、 求证：CG =CD1 . 6cm.2 . 36.3 . 4 20 cm2 （面积法）.274 .证明：FN=EC证明：在正方形 ABEF和正方形BCMNKAB=BE=EF BC=BN / FEN玄 EBC=90 .AB=2BC .EN=BC . FEIN EBC .FN=EC5 .略6 .提示：注意到基本图形中的 AE=AF.1 .两次应用内角平分线定理和CE=CFW证2 .过点。作 OGI DE和 CO=CG,CF=CE证.1 L

11、3, 过点。作 OH| BE, OF= OH=-BE27 .提示：一条线段的一半或 2倍这两者的位置关系有哪两种8 .提示：延长 AE交GF于点M, DC,使CH=DG接HF,证四边形又扪I互补，法2:延长FE, AE证全等三角形一 49 . (1)略(2) (3)作 CML DG,证 DM=AG=0.5DG5中知识结构, * ,十实用标准文案(1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。(2)特征:边：两组对边分别平行；四条边都相等;内角：四个角都是 90° ;对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。(3)主要识别方法:1 :对角线

12、相等的菱形是正方形 2:对角线互相垂直的矩形是正方形3:四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4: 一组邻边相等的平行四边形是正方形5: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原 四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 正方形的中点四边形是正方形。精彩文档/PAD =/PDA =15 1例1.已知：如图，P是正方形ABCD内点，求证：APBC是正三角形.【证明】：如下图做 DGO与 ADP全等，可得 PD劭等边,从而可得 DGC2 APg CGP,得出 PC=AD=DCP/ DCGW PCG= 150所以/ D

13、CP=30,从而得出 PBC是正三角形例2.如图，分别以 MBC的AC和BC为一边，在AABC的外作正方形ACDE和正方形CBFG ,点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.【证明】：过 E,C,F点分别作AB所在直线的高EG CI, FHLEG + FH可彳导PQ=。2由EGN AIC,可得 EG=AI,由 BFH CBI,可得 FH=BI。AI + BI AB从而可得PQ=,22从而得证。例4.如图，四边形ABCD为正方形，与CD相交于F .求证：CE=CF.【证明】：顺时针旋转 ADE到4ABG连接 由于/ ABGW ADE=9d+450=135°从而可得B

14、, G D在一条直线上，可得 AGB 推出AE=AG=AC=G加得 AGC为等边三角Z AGB=30,既彳导/ EAC=30,从而可得/ ACG.0CGB形。EC=75。DE / AC , AE= AC , AE又/ EFC=/ DFA=45+30°=75°.可证：CE=CFAA例6.设P是正方形 ABCD一边BC上的任一点，PF_LAP, CF平分/DCE. 求证：PA = PF.【证明】：作 FGL CD FE± BE,可以得出 GFEC正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。_X Z2 tan Z BAP=tanZ EPF=,

15、可得 YZ=XY-X+XZ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB咤 PEF , 得到PA= PF ,得证。【证明】：顺时针旋转 BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+BT使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF£（3+1）例7.已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA + PB + PC的最小 值.46+ .22例8. P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA = a, PB=2a, PC=3a,求正方 形的边长.【证明】顺时针旋转 ABP 90

16、 0 ,可得如下图:既得正方形边长L =(2 + )2 + (-)2|_a = 5+ 2。2出实用标准文案精彩文档【双基训练】1.如图，四边形 ABCD是正方形，对 角线AC、BD相交于O ,四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为 6,AFEC?恰是一个菱形，？则/EAB 二2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形【纵向应用】3.如图，四边形 ABCD是边长为a的正方形，点 G ,E分别是边AB, BC的中点,/AEF =90 1且 EF 交正方形外角的平分线 CF于点F .(1)证明：NBAE=NFEC;(2)证明：MGE -AECF ；(3)求MEF的面积.B E C H【横向拓

17、展】BM绕4.如图，四边形 ABCD是正方形，AABE是等边三角形， M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将 点B逆时针旋转60 °得到BN，连接EN、AM、CM .求证：AAMB三AENB; 当M点在何处时， AM +CM的值最小；当M点在何处时， AM +BM +CM的值最小，并说明理由;当AM +BM +CM的最小值为於+1时，求正方形的边长.【练习题答案】1 . 362 .【解析】连结BD交AC于点O,彳EML AC于点M.设正方形边长为 a,贝U AC=BD=AE=2 a又AC/ BF, BOL AC EML AC,八12.BO=EM= BD=- a.2在 RtAAEM

18、, AE=j2a, EM= a./ CAE=30 .则/EAB=15 .3.(1)证明：.一/ AEF=90°,Z FEG/AEB=90°.在 RtABE中，/ AEB/ BA=90°, ./ BAE:/FEQ(2)证明：: G E分别是正方形 ABCM边AB BC的中点, AG=GB=BE=EC/ AGE180° 45°=135°.又CF是/ DCH勺平分线，/ ECF=90°+45°=135°.在 AGEF口 4ECF 中，AG =EC,2AGE =/ECF =135°,/GAE =ZFEC JAGE2 EC