三角形的取值范围问题探究

1、三角形的取值范围问题类型一 结合基本不等式求解问题【例1】在中,若=,则角的最大值为A. B. C. D. 【答案】C【指点迷津】本题考查了余弦定理及基本不等式的应用，利用余弦定理表示出cosC，将得出的关系式利用基本不等式变形求出cosC的最小值，根据C为三角形的内角，求出C的最大值【举一反三】1、在中，如果边， ， 满足，则（ ）A. 一定是锐角 B. 一定是钝角 C. 一定是直角 D. 以上情况都有可能【答案】A【解析】已知不等式两边平方得，利用余弦定理 为三角形的内角， ，即一定是锐角故选A2、在中，内角所对边分别为，若，且，则的最小值为_【答案】4 3、在中，内角的对边分别为，已知，

2、 ，则的取值范围是_【答案】【解析】，得， ， ，则，得，解得，又，的范围是。类型二 利用消元法求解问题【例2】在中，角， ， 的对边分别是， ， ，若， ，则的取值范围是_【答案】【指点迷津】利用正弦定理边化角，利用角的关系消元，利用辅助角公式求范围【举一反三】1、在中，角， ， 的对边分别为， ， ，若， ，则的最小值是_【答案】【解析】， ， , , 当且仅当时成立.2、圆上任意一点，过点作两直线分别交圆于， 两点，且，则的取值范围为_【答案】【解析】在中，由正弦定理得： ,设又，所以，答案为： .3.在锐角三角形ABC中， 的最小值为_【答案】25，当且仅当，即 时取等号. 类型三 与

3、三角形的周长有关的最值问题【例3】已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径为，则的周长的取值范围是_【答案】【指点迷津】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，从而求出范围或最值，或利用余弦定理以及基本不等式求范围，从而得最值.【举一反三】1、在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，且， ， 那么周长的最大值是A. B. C. D. 【答案】C 2、【2019广西联考】在中，角， ， 所对应的边分别为， ， ，若， ，则当角取得最大值时，三角形的周长为（ ）A. B.

4、 C. 3 D. 【答案】A【解析】在ABC中，由正弦定理得： A为钝角，由，可得，tanB=，当且仅当tanC=时取等号B取得最大值时，a=2=a+b+c=2+故答案为：2+类型四 与三角形面积有关的最值问题【例4】在中， 分别为内角的对边，若，且，则的面积的最大值为_【答案】【指点迷津】本题综合性较大，且突破了常规性，即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边，所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形，如在本题中要在的基础上在利用正弦定理得到。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘了基本不等的使用条件。【举一反三】1、在中， 分别为内角的对边， ，则面积的最大值为_

5、【答案】 2、中，内角， ， 所对的边分别为， ， ，已知，且，则面积的最大值是_【答案】【解析】根据由正弦定理可得， ，可得 ， 中， 根据余弦定理，可得，化简可得， ， ，由此可得，当且仅当时等号成立， 面积，综上所述，当且仅当时， 面积最大值为，故答案为.3、如图半圆的半径为1， 为直径延长线上一点，且， 为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为_.【答案】类型五 与三角形解的个数有关的最值问题【例5】在中，角的对边分别为， ，若符合条件的三角形有两解，则的取值范围是_【答案】【解析】 因为，所以， 又，则，则， 由，所以.【指点迷津】本题主要考查了三角形问题的求解，其中解答中涉及到正弦定理在解三角形中的应用，三角形的内角和定理等知识点的应用，试题比较基础属于基础题，解答中熟记三角形的正弦定理的边角互化和合理应用是解答的关键.【举一反三】1、在中，内角所对的边分别为，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则的取值范围为_.【答案】或【解析】试题分析：由