7化归与转化的思想

1、第7讲 化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1. 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思 维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相 对来说，对自己较熟 悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思 想方法我们称之为“化归与转化的 思想方法”。2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决 都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题 就是从未知向已知转化的过程。化 归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的

2、转化 比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转 化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越 式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。3. 转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性； 在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验 证。4. 化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于 我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通

3、过对简单问题的解决，达到解 决复杂问题的目 的，或获得某种解题的启示和依据。（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运 用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直 观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正而讨 论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问 题的反面去探求，使问题获解。二、例题分析例1.某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在 改造建设，元 月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，

4、到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润ni与全年总投入N的大小关系 是（）A. mN氏mN C. m=N D.无法确定分析每月的利润组成一个等差数列an,且公差d0,每月的投资额组成一个等比数列bn，且公比q> lo a- bi,且ai2 bi2,比较氐与兀的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式（n-1 ） d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式bn=a.iqn是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a. >bi则S】2 > T12,即m>

5、No 点评把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所 熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直 观、形象，使解答更清新。例2如果，三棱锥P-ABC中，已知PA土 BC, PA=BC=1 PA, BC的公垂线ED二h求1证三棱锥P-ABC勺体积V -l2h6分析：如视P为顶点， ABC为底面，则无论是Saabc以及高h都不好求如果观 察图形，换个角 度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境.解：如图，连结EB, EC,由PAI BC, PAI ED EDA BOE可得PA! ffi ECD

6、这样，截面ECD各原 三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它 们的底面积相等，高相加等 于 PE+AE=PA=I 所以Vp-ab=V>-ec+V-ec= Saecd?AES"ecd?PE二-ecd ?PA二- ? BC ED PA=/ l2h 333326评注：辅助截面ECD勺添设使问题转化为已知问题迎刃而解.例3在（F 3x 2）5的展开式中乂的系数为（）(A)160(B)240(C)360(D)800分析与解：本题要求(x2 3x 2T展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法 法则及二项展 开式定理，因此，就要把对x系数的计算用上述两种思路进

7、行转化：思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则(x? 3x 2T展开式是一个关于 x 的 10 次多项式，(x 3x 2) ° =(x +3x+2) (x'+3x+2) (x2+3x+2) (x+3x+2)(x'+3x+2),它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其 余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C； (3x) C： 2、5X 3X 16x=240x,所以应选(B) 思路2利用二项式定理把三项式乘幕转化为二项式定理再进行计算， r+3x+2=x+(3x+2) = (x 2+2) +3x= (x 2+3x)+2=(x+1)

8、 (x+2) = (1+x) (2+x),二这条思路下又 有四种不同的化归与转化方法.如利用 c5(3x+2) 5中会有x项，x2+3x+2=x2+(3x+2)转化，可以发现只有即 C； (3x) 24=240x,故选(B):如利用 x2+3x+2= (x2+2) +3x2进行转化，则只Cs (x +2)444 3x中含有x 次项，即C5 3x G 2 =240x;如利用x2+3x+2= (x2+3x)+2进行转化，就只有C； - (x2+3x) 2°中会有x项,即240x;如选择x2+3x+2二(1+x) (2+x)进行转化,(x2 3x 2)5=(1 x)5 X (2 x)5展开

9、式中的一次项x只能由§展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式(1+x) §中的一次项乘以(2+x) 5展开式中的常数项加上(2+x)中的常数项后得到，即为c5x c5 25+c5?24?X?cO?15=160x+80x=240x,故选(B).评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。例4.若不等式x" px 4x p 3对一切0 p 4均成立,试求实数x的取值范围。解：Q x- px 4x p 32(x l)n X2令 g(p) (x l)p x2 4x3,则要使它对0 p 4均有g(p) 0,只要有g(0)g(4)00题中，常常有一个变元处于主要地位,x 3或x 1。点评：在有几个变量的问我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特 定条件下，此路往 往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x为主 元来处理，既繁且易岀错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维 向低维转化，解题简单易行。三、总结提炼1. 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的 观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意 识需要对定理、公式、法则有 本