专题一不等式与线性规划

1、第2讲不等式与线性规划考情解读1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题1四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；变形

2、0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)简单指数不等式的解法当a>1时，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；当0<a<1时，af(x)>ag(x)f(x)<g(x)(4)简单对数不等式的解法当a>1时，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2五个重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a&g

3、t;0，b>0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a>0，b>0)3二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4两个常用结论(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的条件是热点一一元二次不等式的解法例1(1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()Ax|x<

4、;1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2(2)已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则f(2x)>0的解集为()Ax|x>2或x<2 Bx|2<x<2Cx|x<0或x>4 Dx|0<x<4思维启迪(1)利用换元思想，设10xt，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2x)>0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知条件0<10x<，解得x<lglg 2.(2)由题意可知f(x)f(x)即(x2)(ax

5、b)(x2)(axb)，(2ab)x0恒成立，故2ab0，即b2a，则f(x)a(x2)(x2)又函数在(0，)单调递增，所以a>0.f(2x)>0即ax(x4)>0，解得x<0或x>4.故选C.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法(1)不等式0的解集为()A(，1B，1C(，)1，)D(，1，)(2)已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0.若pq为真命题，则实数m的取值范围是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A(2)C解析(1)原不等式等价

6、于(x1)(2x1)<0或x10，即<x<1或x1，所以不等式的解集为(，1，选A.(2)pq为真命题，等价于p，q均为真命题命题p为真时，m<0；命题q为真时，m24<0，解得2<m<2.故pq为真时，2<m<0.热点二基本不等式的应用例2(1)(2014·湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；如果限定车型，l5，

7、则最大车流量比中的最大车流量增加_辆/时(2)(2013·山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3思维启迪(1)把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找取得最大值时的条件答案(1)1 900100(2)B解析(1)当l6.05时，F1 900.当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时当l5时，F2 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时比中的最大车流量增加100 辆/时(2)由已知得zx23xy4y2，(*)则1，当且仅

8、当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211，所以当y1时，的最大值为1.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误(1)若点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，则mn的最大值为_(2)已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A1 B. C2 D.答案(1)3(2)B解析(1)因为点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，所以m，n>0，且1.所以·()2(当且仅当，

9、即m，n2时，取等号)所以·，即mn3，所以mn的最大值为3.(2)2x2(xa)2a2·2a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为，故选B.热点三简单的线性规划问题例3(2013·湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案C解析设租A型车x辆，B型车y辆时

10、租金为z元，则z1 600x2 400y,x、y满足画出可行域如图直线yx过点A(5,12)时纵截距最小，所以zmin5×1 6002 400×1236 800，故租金最少为36 800元思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数(1)已知实数x，y满足约束条件，则w的最小值是()A2 B2C1 D1(2)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为

11、12，则k_.答案(1)D(2)2解析(1)画出可行域，如图所示w表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为1，故选D.(2)首先画出可行域如下图所示，可知当xy4时，z取最大值12，124k4，k2.1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函

12、数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤(1)定域画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；(3)求值利用直

13、线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟1(2014·山东)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A.> Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin y Dx3>y3答案D解析因为0<a<1，ax<ay，所以x>y.采用赋值法判断，A中，当x1，y0时，<1，A不成立B中，当x0，y1时，ln 1<ln 2，B不成立C中，当x0，y时，sin xsin y0，C不成立D中，因为函数yx3在R上是增函数，故选D.2(2014·广东

14、)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn等于()A5 B6 C7 D8答案B解析画出可行域，如图阴影部分所示由z2xy，得y2xz.由得A(1，1)由得B(2，1)当直线y2xz经过点A时，zmin2×(1)13n.当直线y2xz经过点B时，zmax2×213m，故mn6.押题精练1为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P3，已知生产该产品还需投入成本(102P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4)万元/万件则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？

15、()A1 B1.5C2 D3答案A解析设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×()万元，所以y2×()×P102Px16x(x>0)，所以y17(x1)17213(当且仅当x1，即x1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.2若点P(x，y)满足线性约束条件点A(3，)，O为坐标原点，则·的最大值为_答案6解析由题意，知(3，)，设(x，y)，则·3xy.令z3xy，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线yxz经过点B时，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值为3×1×6.即&

16、#183;的最大值为6.(推荐时间：50分钟)一、选择题1(2014·四川)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.> B.<C.> D.<答案D解析令a3，b2，c3，d2，则1，1，所以A，B错误；，所以<，所以C错误故选D.2若x(0,1)，则下列结论正确的是()Alg x>x>2xB2x>lg x>xCx>2x>lg xD2x>x>lg x答案D解析分别画出函数y2x，yx，ylg x的图象，如下图，由图象可知，在x(0,1)时，有2x>x>lg x，故选D.3

17、(2013·重庆)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于()A. B.C. D.答案A解析由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，因a>0，所以不等式的解集为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2014·重庆)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()7727

18、4，当且仅当时取等号故选D.5已知变量x，y满足约束条件，则zx2y1的最大值为()A9 B8C7 D6答案B解析约束条件所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A(1,4)时取得最大值，故zx2y1的最大值为12×418.二、填空题6已知f(x)是R上的减函数，A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1ln x)|<1的解集是_答案(，e2)解析|f(1ln x)|<1，1<f(1ln x)<1，f(3)<f(1ln x)<f(0)，又f(x)在R上为减函数，0<1ln x<3，1<ln x<2，<x

19、<e2.7若x，y满足条件且z2x3y的最大值是5，则实数a的值为_答案1解析画出满足条件的可行域如图阴影部分所示，则当直线z2x3y过点A(a，a)时，z2x3y取得最大值5，所以52a3a，解得a1.8若点A(1,1)在直线2mxny20上，其中mn>0，则的最小值为_答案解析点A(1,1)在直线2mxny20上，2mn2，()(21)(32)，当且仅当，即nm时取等号，的最小值为.三、解答题9设集合A为函数yln(x22x8)的定义域，集合B为函数yx的值域，集合C为不等式(ax)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范围解(1)由x22x8>0得4<x<2，即A(4,2)yx(x1)1，当x1>0，即x>1时y211，此时x0，符合要求；当x1<0，即x<1时，y213，此时x2，符合要求所以B(，31，)，所以AB(4，31,2)(2)(ax)(x4)0有两根x4或x.当a>0时，Cx|4x，不可能CRA；当a&l