北师大版八年级下册数学第一章试卷试题《三角形的证明》

1、北师大版八年级下册数学第一章考试卷三角形的证明一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1 . （3分）下列三角形：有两个角等于60。；有一个角等于60。的等腰三角形； 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）D.A.B.C. |2. （3 分） 如图，AC=BC=10cm Z B=15°, ADBC于点 D,则 AD 的长为（）第19页共15页C. 5cmD. 6cm3. （3分） 如图，CD是RABC斜边AB上的高，将 BCD沿CD折叠，B点恰好落在 AB 的中点E处，则/ A等于（）A. 25

2、76;E D BB. 30°C. 45D. 60°4. （3分）如图，E是等边ABC中AC边上的点，/ 1 = /2, BE=CR则 ADE的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状5. （3分）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为 75。，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离 NB为b米，梯子的倾斜角为 45。，则这间房子的宽 AB为（）A.J米2B.C. b米D. a米6. （3分）如图，已知：/ MON=30，点Ai、A2、A3在射线ON上，点Bp

3、 B?、在射线 OM 上，A1B1A2、AA2B2A3' 4A3B3A4均为等边三角形，若OAi=1,则 A6B6A7 的边C. 32D. 64二、填空题（共 4小题，每小题3分，满分12分）7. （3 分）如图所示，在 ABC 中，AB=AC=20cm, / BAC=150°,贝 U 龌 abc=cm2.8. （3 分）如图， 4ABC 中，/ C=90°, Z ABC=60°, BD平分/ ABC,若 AD=6,贝U CD=9. （3分）如图所示，/ AOB=30°, OC平分/ AOB, P为OC上任意一点，PD/ OA交OB于 点 D,

4、P已OA 于点 E,若 PE=2cm,贝U PD=cm.10. （3分）如图，等边三角形 ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点， 且总使AD=BE,FGAE与CD交于点F, AGXCD于点G,则=E三、解答题(共3小题，满分0分)11. 如图，已知点 D为等腰直角 4ABC内一点，/ CAD=/ CBD=15°, E为AD延长线上的一 点，且CE=CA(1)求证：DE平分/ BDC;(2)若点 M在DE上，且 DC=DM,求证：ME=BD.12. 如图 1,在 RtACB中，/ ACB=90°, / ABC=30AC=1 点 D 为 AC上一动点，连接 BD, 以B

5、D为边作等边 4BDE, EA的延长线交 BC的延长线于F,设CD=n,(1)当 n=1 时，贝U AF=(2)当0v nv 1时，如图2,在 AEH为等边三角形.BA上截取BH=AD,连接EH,求证:13. 在RtA ABC中，Z ACB=90°, / A=30°,点D是AB的中点，DEL BC,垂足为点 E,连接CD.(1)如图1, DE与BC的数量关系是 ;（2）如图2,若P是线段CB上一动点（点P不与点B C重合），连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请彳#想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证 明你的结论；（3）若点P

6、是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图 3中补全图形，并直 接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1 . （3分）下列三角形：有两个角等于60。；有一个角等于60。的等腰三角形； 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）D.A.B.C.考点：等边三角形的判定.分析：根据等边三角形的判定判断.解答：解：两个角为60度，则第三个角也是 60度，则其是等边三角形，故正确; 这是等边三角形的判定 2,故正确；三个外角相等则三个内角相等，则其是等边

7、三角形，故正确；根据等边三角形三线合一性质，故正确.所以都正确.故选D.点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况.2. （3 分）（2013?邢台一模）如图， AC=BC=10cn / B=15°, AD± BC于点 D,则 AD 的长为（ ）C. 5cmD. 6cm考点： 含30度角的直角三角形.分析：根据等边对等角的性质可得/B=/ BAC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出/ ACD=30,然后根据直角三角形 30°角所对的直角边等于 斜边的一半解答即可.解答：解： AC=BC. B=/BAC=15, ./ ACD=Z B+

8、/ BAC=15+15°=30°,.ADXBC,ADAC工 x 10=5cm22故选C.点评：本题考查了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 的性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键.3. （3分）（2006?曲靖）如图， CD是RtABC斜边AB上的高，将 BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则/ A等于（）AE D BA. 25°B, 30°C. 45D. 60°考点：等边三角形的判定与性质.专题：压轴题.分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE再由直角三角形斜边的

9、中线等于斜边的一半即可得出CE=AE进而可判断出4BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三 角形两锐角互补的性质即可得出结论.解答： 解：AABC沿CD折叠B与E重合，则 BC=CE.E为AB中点，4ABC是直角三角形，.CE=BE=AE， BEC是等边三角形./ B=60°,/ A=30°,故选B.点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推 理能力.4. （3分）如图，E是等边4ABC中AC边上的点，/ 1 = /2, BE=CR则 ADE的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状考点：等边三角形的判

10、定.分析： 先证得AB电 ACD）,可得 AE=AD, Z BAE=Z CAD=60 ,即可证明 ADE是等边三角形.解答：解：. ABC为等边三角形.AB=AC /1 = /2, BE=CDABEi ACD.AE=AD, / BAE=/ CAD=60.ADE是等边三角形.故选B.点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握.5. （3分）（2004?河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为 75。，如果梯子的底端不动， 顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45。，则这间

11、房子的宽 AB为A.B.C. b米D. a米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；等边三角形的性质.专题：压轴题.分析： 根据CM=CN以及/ MCN的度数可得到 4CMN为等边三角形.利用相应的三角函数 表示出MN, MC的长，可得到房间宽 AB和AM长相等.解答：解：过N点作MA垂线，垂足点D,连接NM .设梯子底端为 C点，AB=x,且AB=ND=x. . BNC为等腰直角三角形，4CNM为等边三角形（180- 45-75=60°,梯子长度相同 / NCB=45 ,/ DNC=45 , ./ MND=60 -45 =15°,cos150=A, MN又. / MCA=

12、75 , ./ AMC=15 ,cos15°=-,NIC故可得：三二期.m cm CNM为等边三角形 .NM=CM . .x=MA=a.故选D.A C B点评:此题是解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，作辅助线很关键.6. （3分）（2012?深圳）如图，已知：/ MON=30，点A1、A2、A3在射线 ON上，点B1、B2、B3在射线 OM 上，AiBiA2、4A2B2A3、4A3B3A4均为等边三角形，若 OA1=1,则4A6B6A7C. 32D. 64考点：等边三角形的性质；含 30度角的直角三角形.专题：压轴题；规律型.分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出AiB

13、1 / A2B2/ A3B3,以及A2B2=2B1A2,得出 A3B3=4BiA2=4, A4B4=8BiA2=8, A5B5=16BiA2进而得出答案.解答：解：. A1B1A2是等边三角形，ABi=A2Bi , / 3=/4=/12=60 , / 2=120°, / MON=30 ,1=180° - 120 - 30 =30°,又/ 3=60°, / 5=180° - 60 - 30 =90°, . / MON=Z 1=30°,OA1=A1 B1=1, A2B1=1,''' A2B2A3、 A3B

14、3A4 是等边二角形,.11 = / 10=60° , / 13=60° , / 4=/ 12=60°,.A1B1 / A2B2 " A3B3, BA2 日 B2A3， / 1 = /6=/7=30° , Z 5=7 8=90°, A2B2=2B1A2, B3A3=2B2A3, A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2=16,以此类推：A6B6=32B1A2=32.故选：C.点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2, A4B4=8B1A2, A5B5=

15、16B1A2 进而发现规律是解题关键.二、填空题（共 4小题，每小题3分，满分12分）7. （3 分）如图所示，在 4ABC中，AB=AC=20cm） / BAC=150°,贝U Sabc= 100 cm2.BC考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质.分析： 过C作CD± BA,交BA延长线于D,求出CD,根据三角形面积公式求出即可.解：'一过C作CD± BA,交BA延长线于 D,. / BAC=150,/ DAC=30 ,.DC= AC=10cm,-.2、- SAabc=7；ABX CD=x 20x 10=100cm ),故答案为：100. AB

16、C点评：本题考查了三角形的面积，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出的高.8. （3 分）（2007?天津）如图， ABC中，/ C=90°, Z ABC=60°, BD平分/ ABC,若 AD=6, 贝U CD= 3 .考点： 含30度角的直角三角形.分析： 由于/ C=90, / ABC=60 ,可以得到/ A=30°,又由BD平分/ ABC,可以推出/ CBD=Z ABD=Z A=30° ,BD=AD=6,再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求 出结果.解答： 解：C=9CT, /ABC=60,/ A=30°, .

17、BD 平分/ ABC, ./ CBD=Z ABD=ZA=30° ,BD=AD=6, CdJbD=6< A=3.22故填空答案：3.点评：本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解.9. （3分）如图所示，/ AOB=30°, OC平分/ AOB, P为OC上任意一点，PD/ OA交OB于 点 D, P已 OA 于点 E,若 PE=2cm,则 PD= 4 cm.考点：角平分线的性质；含 30度角的直角三角形.分析：首先过点P作PF, OB于点F,由OC平分/ AOB, PE± OA于点E,易得PF=PE由PD/ OA,可求得/ PDF=30°,

18、然后由含30 °角的直角三角形的性质，求得答案.解答： 解：过点P作PF, OB于点F,. OC 平分/ AOB, PE± OA,PF=PE=2cm,1. PD/ OA,/ PDF=Z AOB=30 ,PD=2PF=4cm故答案为：4.点评：此题考查了角平分线的性质以及含30。角的直角三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.10. （3分）（2011?济宁）如图，等边三角形 ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点, 且总使AD=BE, AE与CD交于点F, AGLCD于点G,则羽=1 .AF 一考点：等边三角形的性质；全等三角形的

19、判定与性质；含 30度角的直角三角形.专题：压轴题.分析： 首先根据题意推出 CAE BCD,可知/ DCB=Z CAE,因此/ AFG=/ CAF+/ ACF=Z ACF吆 DCB=60 ,所以/ FAG=30 ,即可推出结论.解答：解： AD=BE,1 .CE=BD.等边三角形ABC,. CA® DCB,/ DCB=Z CAE,/ AFG=Z CAF+Z ACF=Z ACF+Z DCB=60 ,2 .AGXCD,/ FAG=30 ,3 .FG: AF.2故答案为2点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出C

20、A- 4DCB和/ AFG=Z CAF+Z ACF=Z ACF+Z DCB=60 .三、解答题（共3小题，满分0分）11. （2011?日照）如图，已知点 D为等腰直角 4ABC内一点，/ CAD=Z CBD=15°, E为AD延长线上的一点，且 CE=CA（1）求证：DE平分/ BDC;（2）若点 M在DE上，且 DC=DM,求证：ME=BD.考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形.专题：证明题；压轴题.分析：（1）根据等腰直角 ABC,求出CD是边AB的垂直平分线，求出 CD平分/ ACB, 根据三角形的外角性质求出/ BDE=Z CDE=60即可.

21、（2）连接 MC,可得4MDC是等边三角形，可求证/ EMC=/ADC.再证明 AD8 EMC 即可.解答： 证明：（1） . ABC是等腰直角三角形，/ BAC=Z ABC=45 , . / CAD=Z CBD=15 , ./ BAD=Z ABD=45 -15° =30°, BD=AD, . D在AB的垂直平分线上， .AC=BC . C也在AB的垂直平分线上，即直线CD是AB的垂直平分线，/ ACD=Z BCD=45 , ./ CDE=15+45° =60°,/ BDE=Z DBA+Z BAD=60 ; ./ CDE=Z BDE, 即DE平分/ BD

22、C.(2)如图，连接MC. . DC=DM,且/ MDC=60 , . MDC 是等边三角形，即 CM=CD. /DMC=/MDC=60 , / ADC+Z MDC=180 , / DMC+Z EMC=180 ,/ EMC=Z ADC.又 CE=CA/ DAC=Z CEM.在 ADC与 EMC中，'/ADC :/EMCZDAC-ZKEC,lAC=EC. .AD® EMC (AAS),ME=AD=BD.点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性 质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目.12.如图 1,在 RtACB中，/ ACB=90

23、°, / ABC=30AC=1 点 D 为 AC上一动点，连接 BD, 以BD为边作等边 4BDE, EA的延长线交 BC的延长线于F,设CD=n,(1)当 n=1 时，则 AF= 2 ;BA上截取BH=AD,连接EH,求证：4AEH为等边三角形.(2)当0v nv 1时，如图2,在考点：含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.专题：动点型.分析：(1)根据三角形内角和定理求出/BAC=60,再根据平角等于180°求出/ FAC=60,然后求出/ F=30。，根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；(2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相

24、邻的两个内角的和利用/CBD表示出ZADE=30+Z CBD,又/ HBE=30 + /CBD,从而彳#至1/ ADE=/HBE,然后根据边角边证明4ADE与4HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE,对应角相等可得/ AED=Z HEB,然后推出/ AEH=Z BED=60 ,再根据等边三角形的判定即可证明.解答：(1)解：. BDE是等边三角形，/ EDB=60 , / ACB=90 , / ABC=30 , ./ BAC=180 - 90° - 30 =60°, .FAC=180 - 60 - 60 =60°, ./ F=180°-90O

25、- 60 =30O, / ACB=90 , ./ ACF=180 - 90°,.AF=2AC=2 1=2;(2)证明：BDE是等边三角形，BE=BD, / EDB=Z EBD=60 ,在 BCD 中，/ ADE+Z EDB=Z CBD+Z C,即/ ADE+60=/CBD+9O , ./ ADE=30+ZCBD, . / HBE+Z ABD=60 , / CBD+Z ABD=30 , ./ HBE=30+Z CBD,/ ADE=Z HBE,在 ADE与HBE中，rBH=AD ZADE=ZHBE ,二BD. .AD叵 HBE （SAS ,，AE=HE / AED=Z HEB, / AE

26、D+Z DEH=Z DEH+Z HEB,即/ AEH=Z BED=60 ,. AEH为等边三角形.点评：本题考查了 30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质, 等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 的性质，（2）中求出/ ADE=Z HBE是解题的关键.13. （2013?抚顺）在 RtABC中，Z ACB=90°, / A=30°,点 D是 AB 的中点，DEL BC,垂足 为点E,连接CD（1）如图1, DE与BC的数量关系是 De4bC ;2（2）如图2,若P是线段CB上一动点（点P不与点B C重合），连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60&