中考数学压轴题破解策略专题13《“Y”形模型》

1、专题137形模型破解策略当图形具有邻边相等的这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位 置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题.因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换.(1)如图，等边 ABCrt有一点P,连结AP, BP CP将 BP砥点B逆时针旋转60。得 到aBPA,则 BPP是等边三角形； APP的形状由AP BP, CP的长度决定.6(2)如图，正方形 ABCDJ有一点P,连结AP,BP, CP将 BPC点B逆时针旋转90°得到ABPA,则 BPP是等腰直角三角形；APP的形状由AP, BP CP的长度决定.这类题目中不提旋

2、转，而是通过旋转添加辅助线，从而解决问题.例题讲解例 1 已知：在 ABCK / BAC= 60° .(1)如图 1,若 AB= AC 点 P在ABCJ,且 PA= 3, PC= 4, / APC= 150° ,求 PB的长;【答案】解：(1)如图4,将 APC点A顺时针旋转60° ,得到 AQB连结PQ 易证 PA德等边三角形.从而在 PQ冲，有/ PQB= 90 , PQ= 3, BQ= 4,所以PB= 5【答案】解：（1）如图4,将 APCg点A顺时针旋转60。，得到 AQB连结PQ 易证 PA德等边三角形.从而在 PQ冲，有/ PQB= 90 , PQ=

3、3, BQ= 4,所以PB= 5(2)如图 2,若 AB= AC 点 P在ABO,且 PA= 3,PB= 5, PC= 4,求/ APC勺度数;【答案】（2）如图5,将APC§点A顺时针旋转60°,得到AQB连结PQ易证 PA德等边三角形.从而在 PQ冲，有 PQ= 3, BQ= 4, PB= 5,所以/ PQ屋90 ,从而/ APC= / AQ屋30 .P图5(3)如图 3,若 AB= 2AC 点 P在ABOJ,且 PA=事,PB= 5,/ APG= 120 ,求 PC 的长;【答案】(3)如图 6,作 AQC 使得 AQ= - AP, CO 1 BP,连结 PQ 22易

4、证 ACB AQP从而在 QPW,有/ QPC= 90。，PQ= 3 , QC=刍，22PC= 2，求证： DEC等边三例2如图，正方形 ABCB卜有一点E,满足ED= EC且/ DEA= 15° 角形.证明如图，过点 D作DF，DE且DF= DE连结CF交AE于点G,连结EF. 易证 AD降 CDF 所以/ DFC= / DEA= 15 ,从而/ FG号 / FDE= 90 , / GFE= 30 .所以 GE= - EF= -2dF= -2cE所以/ GE8 45 , / DEC= 60 , 即 DE6等边三角形.F林进阶训练1. (1)如图1,在正方形 ABC咕有一点P, PA

5、=旗,PB=葬,PC= 1,则/ BPC勺度数【答案】1. (1) 135° ;【提示】如图，将 BP颂转至/ BPA,连结PP,证 APP是直角三角形即可.（2）如图2,在正六边形 ABCDEF有一点P, PA= 2如,PB= 4, PC= 2,则/ BPC勺度数,正六边形ABCDEF边长为【答案】（2） 1200 ; 2百/BPC= 120 ,2.求 APC勺面积；（2）如图 2,在四边形 ABC珅，AE! BC 垂足为点 E, / BAE= Z ADC BE= CE= 2, CD= 5, AD= k - AB （k为常数），求 BD的长（用含k的式子表示）图2(1) 4APC勺面积为7J3; BD=46k2 +25【提示】(1)如图，将 ABP绕点B顺时针旋转60°至 CBQ连结PQ易证 PQ6含30°的直角三角形.令 BP= m则PQ= m 从而 AP= CQ= 43m PC= 23然后解 RtAAPC即可.(2)如图，连结 AC显然AC= AB,将4AB琳点A逆时针旋转/ BAC勺度数至/ ACQ连接 DQ 则 AB。 ADQ 从而 DQ= k - BC= 4k .作 AF