中学数学三角形中常见的辅助线问题经典含答案

1、中学数学三角形中常见的辅助线问题1前言1.1 研究背景1从1952年教育部颁布第一部中学数学教学大纲（草案 ）将三角形的 教学内容分散安排在初一、初二和初三年级，中学数学大纲进行了多次修改，而 三角形的教学内容也进行了多次调整。2以2000年颁布的过渡性九年义务教 育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）为标志，我国新一轮基础教育 课程改革全面启动。2001年教育部颁布了现行的全日制义务教育数学课程标 准（实验稿）中要求培养和增大合情推理能力，所以对初中平面几何图形尤其 是三角形中的辅助线应该引起重视。1.2 研究目的在平面几何三角形的学习过程中，有部分三角形问题看上去很容易解决， 但 在实

2、际的动手的操作的过程中给人一种“山重水复疑无路”的感觉 .然而，如何 能够“柳暗花明又一村”，使得解题的思路明确，过程简捷？辅助线对问题的解 决起着非常重要的作用，是否能添加正确的辅助线是能否解决问题的关键.本文基于前人对本论题的研究成果，针对如何正确、快捷地添加辅助线，以达到化繁 为简的目的。结合历年中考考试题目总结归纳出常用的六类常用辅助线的方法， 并对这些方法进行进一步的分析，体会蕴涵在三角形中的常见辅助线的思想方 法，并能举一反三，创造性地运用所学知识。1.3 研究意义（1）理论意义：进行初中数学三角形的有关辅助线问题的研究，会在一定程 度上丰富三角形的教学理论。（2）实践意义：本研究

3、在丰富的理论支持下，深入三角形的课堂教学研究提 出具有实践意义的教学建议，可帮助教师选择正确教学模式，丰富课堂内容，提 高课堂教学效率。2.三角形中的辅助线2.1 倍角化等腰3当三角形中出现一个角是另一个角的 2倍时，经常通过转化倍角寻找到等 腰三角形。如图1中，若/ ABC= 2/C,如果作BD平分/ABC则DBO等腰三角形， 并且 ABDt CA琳目似。如图2中，若/ ABC= 2/C,如果延长线CB到D,使BA BA 连结AD,则 ADO等腰三角形，并且 ABMCADf目似。如图3中，若/ B= 2/ACB如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外 作/AC氏/ACB交BA的延长线于点D

4、,则ADBO 等腰三角。例 1.如图 4, ABC, / AC氏2/B, BO2AC.求证：/ A= 90 分析：由于条件中/ AC氏2/B,可利用图1所做辅助线方 式，所以作CD平分/ACB交AB于D,过D作DE_LBC于E,则 由/ACB=2/B,知/B=/BCD,即ADBC是等腰三角形。 而DE1BC ,由等腰三角形三线合一可得，BC = 2CE ,又图4BO 2AC,所以 AO EG 易证得 AACD 三 AECD ,所以/A = /DEC = 90：。评析：此题属于较简单的题，对于一般基础的学生还是比较容易入手，那么对于难度系数稍微高一点的题如例 2。例2. （2009年全国初中数学

5、联赛）在ABC中，最大角/ A是最小角/ C的2倍，且 AB=7 AC=8 则 BC=解法一：分割法（图1辅助线方法）如图5,作/ CAB的平分线AD交BC于D。AABS DBAy(x y) =49x = 8 10515y = 7 10515x y = .105评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得 到方程组求出线段长，进而求出 BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计 算较为复杂。4解法二：构造法（图2辅助线方法）1如图6,延长CA至点D,使AD=AB则/ D=/ ABD=1 / CAB2= /C, ACBIDADAEB . . BD =CD . . bD=AB

6、 CD=7AC DF垂直平分BC交 BAC勺外角平分线 AD于点D, F为垂足，DE! AB于E,连接BD CD求证：/ DBEW DCA分析：要证明的结论是两个角的角度相等，而图形中两个图9角不在同一个三角形中，所以想到证明两个三角形全等。从已 知条件中有外角平分线，且 Dnar入手，想到角平分线到 两边的距离相等，故过D作D- AC根据线段垂直平分线上 的点到线段两端点的距离相等可得 BD=CD根据角平分线上 的点到角的两边的距离相等可得 DE=DG然后禾I用“ HL证明RtADBffl RtzXDC块等，根据全等三角形对应角相等可得/ DBEW DCA评析：此题有一定难度系数，主要是学生

7、不知道从哪里入手， 而此题从外角 平分线入手，与常规的内角平分线有所不同，基础较好学生能独立完成。2.2.2 利用角平分线构造对称图形作法是在角平分线的一侧的长边上截取短边构造出对称图形，再利用两个三角形全等的性质将角或边转化。6 例 5.如图 10,已知4ABC中，AB=AC /A=100 , BD平分/ ABC 求证: BC=BD+AD分析：结论要证明边的和差关系，首先想到截长补短法，有一定难度，已知条件中告诉了 / A=10O0 ,从角平分线入手，算出所有角度大小， 在BC上截取BE=BA延长BD至ij F使BF=BC连接DE CF,由 BD 平分/ABC /1 = /2 进而得 AAB

8、D EBD / DEBW A=100 WJ得/ DEC=80 又/ 2=20所以/ F=80 因为/ 4=/ 3=40 ,所以 DCEADCF(AAS,所以 DF=DE=ADBC=BF=BD+DF=BD+AD评析：此题难度系数比较大，大多数学生会从结论出发，用截长补短法证明, 此种方法不能充分利用BD是角平分线这一关键已知条件。2.2.3角平分线+垂线从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个 等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高， 以利 用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分 线的线段，则延长该线段与角的另一

9、边相交)。7 例6.如图11,已知AABC /BAC=90 , AB=AC CD远直于/ ABC角平分线BD于D, AC BD交于E. AF为BC中线，交BE于G,求证：BE=2CD分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂 线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角 形，延长CD与BA延长线交于H. BD为角平分线.构建全 等三角形4 AB草AACH(ASA,然后由全等三角形的对应 边相等的性质、等腰三角形的“三合一”的性质可证得 CH=2CD 所以 BE=2CD评析：题中如果有角平分线和垂线，可联想到等腰三角形“三线合一”，再利用其基本性质解决要证明的问题。2.2.4角平分

10、线+平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰 三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交， 从而也构造等腰三角形。例7.如图12,在ABC, AB=AC在AC上取一点P,过P点作EF，BC交BA的延长线于点E,垂足为点F.证明：AE=AP/分析：由已知条件知 ABE等腰三角形，且EF1BC ,所 aA以想到角平分线 可行线，则可以作AD平分/BAC ,由等腰 /pL 三角形三线合一性质，此时AD1BC ,故AD/EF。故可知/一6卡工AEP是等腰三角形，所以A已AR图128 例8.如图13, BD平分/ABC AC于D,点E为CD上一点

11、,且 AD=DE EF/ BC交 BD于 F,求证：AB=EF分析：已知条件中有角平分线和平行线，而要证明的时线去段相等，想到角平分线 可行线构造出等腰三角形。作 AM/ EF交BD的延长线于M,所以 ABM为等腰三角形AM=AB比再证4AD阵AEDF5推出EF=AM得到 AB=EF图13评析：此题中白关键是利用 BD平分/ABC做平行线构造等腰三角形，将AB转化成AM2.3中点问题在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点， 那么首先应该联想到 三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、 等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。2.3.1

12、 倍长中线法9当出现线段中点或三角形中线时，常常延长中线构造全等三角形。倍长 中线法又可分为直接倍长法和间接倍长法。ABCAD是BC边中线方式1:直接倍长 -延长AD到E,使DE=AD连接BE方式2:间接倍长A作 CF，AD于 F,作Bn AD的延长线于E连接BEA延长MCE J N, 使 DN=MD连接CN例9.如图14, ABC, D为BC的中点.求证：AB+AC2AD小分析：从已知条件中D为BC中点入手，想到倍长中线，延长 / J AD至E使DE=AD连接BE,构造 ADC EDB彳# AC=BE再根,_ 一上 图 14据二角形的二边关系可得AB+AC AE即AB+AC2AD得证。 评析

13、：此题属于倍长中线法的简单应用，但也曾出现在初中数学竞赛中。2.3.2 中位线法中位线既有线段的等量关系，又有平行性，而平行线又可以产生等角关系， 更重要的是，在涉及中点的题目中，中位线常起过渡和转化的作用 .那么我们可 以加以利用中位线的相关性质加以添加辅助线解题。例10. （2013年数学联赛四川省初二初赛）如图15,已知四边形ABC时,AB=DC E、F分别为AD与BC的中点，连结EF与BA的延长线相交于 N,与CD的延长线相交于 M 求证：/ BNFW CMF分析：由已知条件可知，E、F分别为Ag BC的中点，想 到中位线定理，连接AC,取AC的中点K,连结EK, FK, 贝U EK

14、FK分另I是 ACDffiAABC的中位线，得至U CD=2EK AB=2FK根据AB=DC4至ij/ FEK2EFK根据平行线性质可得： /FEK之 CMF /EFK4 BNF / BNFW CMF2.3.3 直角三角形斜边的中线10直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半例16.如图23, 4ABC中，AD是高，CE是中线，G是CE的中点，DGLCE, G 为垂足，证明：DC=BE分析：要证明DC=BE而这两条线段又没有在同一个三 角形中，不能直接入手，由已知条件 ABM直角三角形且 E为斜边中点，所以想到连接 DE,二G是CE的中点，DGL CE；DG CE的垂直平分线，. DE=DC=AD

15、是高， CE是中线，DE是RtADB的斜边AB上的中线， .DE=BE=AB, a DC=BE22. 4线段和差倍问题3. 4 .1截长法11截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条（此种方法在中学最常见）例11.如图16,在四边形ABC时，AC平分/BAD CH AB于E, / B+/ D=18Q图16求证：AE=AD+BE分析：采用截长法：首先在 AE上截取AM=AD连接CM再 证明 AM葭zADC可得/ 3=/ D,再根据/ B+/ D=180 , /3+/ 4=180 ,可以证出/ 4=/ B,根据等角对等边可证出 CM=BC再根据等腰三角形的性质：等腰三

16、角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME- BE,再利用等量代换可证出AE=AD+BE4. 4 .2补短法12补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段 等于长线段。例12.如图17,在四边形ABCDfr, AB/ CD点E为BC边的中点，/ BAE=/EAF AF与DC的延长线相交于点F.求证：AB=AF+CF-分析：延长AE DF交于点M 不难证明 AB草AMCE那么AB=CF现在只要将AF也关联到三角形BEO,我们发 .V现，/ BAEW EAF / BAEW M （AB/ CD,那么三角形 AMF 。二图17就是个等腰三角形，AF=MF因此AB=MC=MF+F

17、C=AF +FC般方法是截长或评析：在三角形中遇到求证线段间和，差，倍数关系时 补短法，在同一道题中一般两种方法都可以用。例13:如图18:在4ABC中，ABAC /1 = /2, P为AD上任一点。求证:AB- AO PB- PG证明：（截长法）在 AB上截取AN= AC连接PN ,在4APN 和APC, AN= AC, /1 = /2, AP= AP,所以 AP率AAPC （SAS所以POPN （全等三角形对应边相等）二.在 BPN中, 有PB-PN BN （三角形两边之差小于第三边）所以：BP PC PM- PC（三角形两边之差小于第三 边）,所以：AB- AO PB- PG2. 5线段

18、比例问题2. 5 . 1平行法此种类型的题从已知题目中不能直接得出结论，通过添加平行线，通过平行线的性质再进行转换形成全等或相似三角形，进而解决问题，如以下两题。13例15.如图19, ZXABC中,AB=AC在AB上取一点E,在AC的延长线上 取一点F,使CF=BE连接EF,交BC于点D,求证：DE=DF分析：因为DE DF所在的两个三角形A DEBT A DF5可能全等，图19又知EB=CF所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换： 过E作EG/CF,构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角 形的性质，使问题得以解决。证明：作 EG/ AC交 BC于 G,，/BGEW ACB / GED

19、= F, /EGD=FCD v AB=AC / B=/ ACB / B=/ BGE BE=EG . CF=BE . . CF=GE 在 GEDF口zCFD中，/ GED= F, GE=CF /EGD=FCD .GE陛ACFD(ASA, . DE=DF评析：当对某些三角形的图形无从下手时， 不妨大胆加以猜想，根据某些交 点，过该交点作等腰三角形的腰或底边的平行线， 再加以利用等腰三角形以及添 加的平行线的性质来解题。此题的辅助线还可以有以下几种作法， 学生的选择比 较多，但他们的本质都是相同的。图222. 5 .2平行线分线段成比例14辅助线一般作在“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。例1