中考数学压轴题破解策略专题28《函数与角》

1、专题28函数与角破解策略1、特殊角问题(1)运用三角函数值；(2)遇45。构造等腰直角三角形；(3)遇30° , 60°构造等边三角形；(4)遇90°构造直角三角形.2、角的数量关系问题(1)证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等；(2)证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理；(3)证和差角：常旋转、翻折、平移构造角.例题讲解例1、如图，抛物线 y = x2 +3x+4与x轴交于A, B两点(点 A在点B的左侧)，与 y轴交于点C,点D在抛物线上且横坐标为 3,连结CD

2、 CB BD. P是抛物线上的一个动点， 且/ DBP= 45° ,求点P的坐标.解：如图，过点 D作DH BC于点E.设抛物线上点 P的坐标为(mi -m2 +3m +4),过点P作PF，AB于点F.令x2 +3x+4=0,解得 x1 = T,x2 = 4 .所以点A的坐标为（一1, 0） , B的坐标为（4, 0） 当x=0时，y=4,所以点C的坐标为（0, 4）. 当x=3时，y=4,所以点D的坐标为（3, 4）. 所以 OB= OC CD/ AB.所以/ ABC= / BCD= / EDC= 45 ., . _3、_ 2在 RtACED,有 CE= DE= CDsin 45

3、=,2因为BC =4叵所以B& 里2.所以tan /DBC= 3 . 25若/ PBD= 45 =Z ABC 则/ PB展 / DBC所以 tan / PB展 PF = tan / DBC 即BF2-m +3m+4=3,解得4 -m2人m= , m= 4 (舍).5所以满足条件的P点的坐标为（_2,66）.5 25例2如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x24x+3与x轴交于点A B （点A在点B左侧），与y轴交于点C.若抛物线的对称轴上的点解:Pz由已知条件可得 A (1, 0) , B (3, 0) , C (0, 3).可设ABC7卜接圆的圆心为 D (2, m ,则 DC

4、= DA 即 1+ n2= 4+ ( m- 3) 2,解得m= 2,所以外接圆的圆心为 D (2, 2),则DA=店.如图，该圆交抛物线对称轴于点P,作Pi关于x轴的对称点F2,则Pi, P2即为所求.所以点P的坐标为（2,2+ 75）或（2,-2 -75）.例3如图，在平面直角坐标系 xoy中，抛物线y=x22x3与x轴交于点A, B,与y轴交 于点C,抛物线的顶点为 D,直线y= _1x+1交y轴于点E,求/ EBG- / CBD勺度数.3解：如图，过点D作DHLy轴于点H.由已知条件可得 A(1, 0) , B (3, 0) , C (0, 3) , D (1, -4) , E (0,

5、1)因为 OB ="，且/ COB= / CHD= 90 , OC DH所以 OB。 HCD / OCB- / HCD= 90°所以/ BCD= 90。，=3.DC CH在 RtABOE, tan/EBO= 1 ,3所以/ EBO= / CB2).所以/ EBG / CBD= /ABC= 45例4在平面直角坐标系 xoy中，抛物线y=ax2+2ax3a (a>0)与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧).若在抛物线上存在一点N,使彳导/ ANB= 90。，结合图像，求a的取值范将其代入抛物线表达式，得 a= 12如图，当点N在抛物线上(不与顶点重合)时，一4a<

6、;-2,则a>1 .2综上可得，满足题意的 a的取值范围为a>l .2进阶训练1 .已知直线l: y= 2x+4和直线外一点 P (3, 2),求经过点 P且与l夹角是45°的直 线的表达式.【答案】1.直线的表达式为 y= _1x+3或y=3x7.3【提示】 设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,将4AO璘点B顺时针旋转90°得到A O B,则直线AA与直线l的夹角为45。，易求直线 AA : y= Jx+-,所以只要求 33过点P且平行于AA和垂直于 AA的直线表达式即可.2 .抛物线y=ax2+bx3a经过A ( 1, 0) , C (0, 3)两点，与x轴

7、交于另一点 B,点 D (m - mv 1)在第四象限的抛物线上，连结 BD问：抛物线上是否存在点 P,使/ PCB= /CBD若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】2.存在，点P的坐标为(5, 12)或(7 ,-竺).3 9【提示】易求抛物线的表达式为y=x2.解抛物线 y= ax+2ax 3a= a (x+3) (x1) = a (x+1) 4a,所以点 A (3, 0),点 B (1,0),从而AB= 4,抛物线对称轴为 x= 1.以AB为直径作圆.如图，当点N为圆与对称轴的交点时，则点N的坐标为(一1, 2)- 2x-3,将点D的坐标代入表达式得 m 2,即点D的坐标

8、为(2, 3).如图，过点 C作CP BD交抛物线于点 R,则/ PCB= / CBD由直线BD的表达式可得直 线RC: y=3x-3,与抛物线方程联立方程组，得点R的坐标为(5, 12);如图，在x轴上点B的右侧取一点 E,使彳导/ ECB= / P1CB CE与抛物线交于点 P2.直线 CP与x轴交点为F (1, 0)，作FML CB于点M彳EN CB于点N.易证 CMF CNE从而EN =FM .设B曰72 a,则ENk a, CNka+ 3应，从而求得a= 3衣，所以点E的坐 CN CM标为（9, 0）,得到直线CE y= 1x-3,与抛物线方程联立方程组，得点 B的坐标为（7 ,33

9、20、）.93.如图，在平面直角坐标系 xoy中，已知抛物线 y=x2+2x3与x轴交于点A, B （点A 在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的顶点为 M过点A作ANLx轴，D为直线AC下 方抛物线上的点.若/ COD= /MAN求此时点 D的坐标.【答案】3点D的坐标为（-73, -273）.【提示】设点D的坐标为（m R2+ 2m- 3）,所以tan / COD= tan / MAN即可得到m= 一、；3 .3.34.如图，在平面直角坐标系 xoy中，一次函数 y=x2 -x ,；3的图像与x轴交于A,22C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B, M（1, t）为抛物线对称轴上的一个动点,266B连结MA MB.若/ AMBM、于60° ,求t的取值范围.一2 339输t% 【提示】由已知可得点 A, B的坐标分别为（一1,0）, （ 0, 43）,连结 AB,则/ ABO= 30° .过AB的中点D作AB的垂线，交y轴于点P,连结AP,则A% BP且/ APB= 120° , 以点P为圆心，AP长为半彳5作。P,交抛物线称轴于 E, F两点，连结 AE BE AF, BF,则/ AEB= / AFB= 60°M故当点 M在线段EF上时，有/ AM印60。，过点一 一 一