向量代数与空间解析几何习题详解

1、第六章向量代数与空间解析几何1、已知A(1,2,3) , B(2, 1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解：设M (x,y,z)是所求平面上任一点，据题意有 |MA| | MB |,/2222J,2x 1 y 2 z 3 x 2 y 1 z 4 ,化简得所求方程2x 6y 2z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程，而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程2、一动点移动时，与 A(4,0,0)及xOy平面等距离，求该动点的轨迹方程解：设在给定的坐标动点M (x, y, z),所求的轨迹为M(x,y,z) CuuurMA z亦即(x 4)2 y2

2、z2 z(x 4)22从而所求的轨迹万程为 (x 4)0.3、求下列各球面的方程:(1)圆心(2, 1,3),半径为6；(2)圆心在原点，且经过点(6, 2,3)；(3)一条直径的两端点是(23,5)与(4,1, 3); (4)通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(QQ4)解：(1)所求的球面方程为:(x 2)2 (y 1)2 (z 3)236(2)由已知，半径R -.62( 2)2 327,所以球面方程为49(3) 24由已知，球面的球心坐标 a23 13,b 1,c2球的半径_1 2R2,(4 2)2 (13)2(53)2(4)(x3)2(y1)2(z 1)221设所求的球面方程为:

3、2gx2hy 2kz l因该球面经过点(0,0球),(4,0,0),(1,3,0),(0,0, 4)所以1610168g2g8k6h0解之得02所求的球面方程为 x2 y2 z2 4x 2y 4z 0.4、将yOz坐标面上的抛物线2z绕z旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.,22解：x y2z(旋转抛物面).5、将zOx坐标面上的双曲线22X Z -2 -2 1分别绕X轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转 a c曲面的方程.222解：绕-轴旋转得与 y 2Z 1 a c6、指出下列曲面的名称，并作图：222绕z轴旋转得X 2yJ 1 .ac22,2221 ； (4) x y z 2x 0 ；X z

4、 ,222(D 1 ; (2) y 2z；(3)X z 4922222. 2. 2.xy.(5) yx z ； (6) 4x 4yz 1 ； (7) z 1；916(8)y22-z92X1 ; (9) 422y z_ 2_ 2_ 2匚一 1 ; (10) 2x 2y 1 3z .33解:椭圆柱面；(2)抛物柱面;(3)圆柱面；(4)球面；(5)圆锥面；(6)双曲抛物面;(7)椭圆抛物面；(8)双叶双曲面；(9)为旋转椭球面；(10)单叶双曲面7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形?(1) y X 1； (2)X2y2 4 ； (3) X2 y2 1 ; (4) X2 2

5、y.解：(1)y X 1在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； 22(2) x y4在平面解析几何中表不圆周，在空间解析几何中表不圆枉面；22(3) x y1在平面解析几何中表小双曲线，在空间解析几何中表小双曲柱面；2(4) x 2y在平面解析几何中表不抛物线，在空间解析几何中表不抛物柱面.8、说明下列旋转曲面是怎样形成的?2222x y z2 y 221)1 ; x2 z21 3)X24994解：(1) xOy平面上椭圆绕-轴旋转而成1绕-轴旋转而成;2222y z 1；(4)(z a) x22X 7或者xOz平面上椭圆 一 一492(2) xOy平面上的双曲线x2 y 1绕y

6、轴旋转而成；或者 yOz平面上的双曲线41绕y轴旋转而成(3) xOy平面上的双曲线x2 y2 1绕x轴旋转而成；或者xOz平面上的双曲线x2 z2 1 绕x轴旋转而成(4) yOz平面上的直线z y a绕z轴旋转而成或者 xOz平面上的直线z x a绕z轴旋 转而成.9、画出下列各曲面所围立体的图形：(1) 3x 4y 2z 12 0与三个坐标平面所围成；(2) z 4 x2,2x y 4及三坐标平面所围成；，一、一一22(3 ) z = 0,z= a(a> 0),y= x,x + y =1 及 x 0 在第一卦限所围成；(4 ) z x2 y2,z 8 x2 y2所围.解：(1)平面

7、3x 4y 2z 12 0与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；2 .(2)抛物枉面z 4 x与平面2x y 4及二坐标平面所围成；(3)坐标面z=0、x 0及平面z=a(a>0)、y=x和圆柱面x2 + y2 = 1在第一卦限所 围成；(4)开口向上的旋转抛物面 z x2 y2与开口向下的抛物面 z 8 x2 y2所围.作图略.习题6 42 a2 a1、画出下列曲线在第一卦限内的图形(1) x； (2)z也 2 02y2； x2y2y2xy 0xz解：(1)是平面x1与y 2相交所得的一条直线;(2)上半球面zJ4 x2y2与平面x y 0的交线为-圆弧;42(3)圆枉面xy2 a

8、2与x2 z2 a2的交线.图形略.2、分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2x22x2y2 z2 z2y16 , 、一的柱面方程.0解：消去x坐标得3y2 z216,为母线平行于x轴的柱面;._2_2_ _一 一一，消去y坐标得：3x 2z 16,为母线平行于y轴的柱面.3、求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程(任写出三种不同形式的方程)解:y2 z2 1 x2y2z2 1x 0' x 0224、试求平面x 2 0与椭球面16 122 x2 y2z42 y2 z1相交所得椭圆的半轴与顶点2 y9x222xyz一,一、1解：将椭圆万程16124化间为:2z-13，可知其为平

9、面x 2上的椭圆,23,0),(2,0,、.3),(2,0, ,3).半轴分别为373,顶点分别为（2,3,0）, （2,5、将下面曲线的一般方程化为参数方程22 x (1) y(2)(x1)20(z 1) 4解：（1）原曲线方程即:3 sin(02x23.cost231cost23 sin t(0t 2 )；).a cos6、求螺旋线asin b在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程2有 x解：z.z asinbz a cos b .07、指出下列方程所表示的曲线线为2 x (1)xx2(3)解:8、4y23z2（1）圆；（2）求曲线解：原曲线即:2y 2xz 02525椭圆;(2)(4)x

10、2y24y2 9z21z2 4x30（3）双曲线；（4）抛物线;(5)(5)2y9x2z142 0双曲线.2x 0在xOy面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线y 2x 9,是位于平面z 3上的抛物线，在xOy面上的投影曲z 3222x y z 19、求曲线 1在坐标面上的投影z2解：(1)消去变量z后得x23,在xOy面上的投影为434,它是中心在原点,3半径为殍的圆周.(2)1 一 ,因为曲线在平面 z 上，所以在2xOz面上的投影为线段.(3)同理在yOz面上的投影也为线段.12, 0程.12, 03|x| 弓;210、求抛物面yx与平面2y0的交线在三个坐标面上的投影曲线方解：交线

11、方程为2y(1)消去z得投影 zL 25y 4xy x 002 x(2)消去y得投影y5z202xz4x(3)消去x得投影z2 2y z 0 01、写出过点Mo 1,2,3且以n解：平面的点法式方程为2 x2,2,1为法向量的平面方程12 y 2 z 30.2、求过三点A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,01的平面方程.解：设所求平面方程为 ax byczd 0，将A, B, C的坐标代入方程，可得a b c d ,故所求平面方程为3、求过点0,0,1且与平面3x4y2z 1平行的平面方程.解：依题意可取所求平面的法向量为n 3,4,2,从而其方程为3x04 y 02z 10 即 3

12、x 4y 2z 2.4、求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程解：平面通过x轴，一方面表明它的法线向量垂直于x轴，即A=0;另一方面表明 它必通过原点，即D=0.因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4,-3,-1),所以有-3BC=0, 或C=-3 B .将其代入所设方程并除以B (B 0),便得所求的平面方程为y-3 z=0.5、求过点(1,1,1),且垂直于平面x y z 7和3x 2y 12z 5 0的平面方程.解：n1 1, 1,1, n2 3,2, 12取法向量n n110,15,5,所求平面方程为化简得：2x 3y z 6 0.6、设平面过原点及点(1,

13、1,1),且与平面x y z 8垂直，求此平面方程.解：设所求平面为 Ax By Cz D 0,由平面过点(1,1,1)知平A B C D 0,由r平面过原点知 D 0, Qn 1, 1,1, A B C 0 A C,B 0 ,所求平面万程为 x z 0.7、写出下列平面方程：(1) xOy平面；(2)过z轴的平面；(3)平行于zOx的平面；(4)在x, y , z轴上的截 距相等的平面.解：(1) z 0, (2) ax by 0 ( a,b为不等于零的常数)，、(3) y c (c为常数)，(4)x y z a (a 0).习题6 61、求下列各直线的方程：(1)通过点A( 3,0,1)和

14、点B(2, 5,1)的直线；(2) 过点1,1,1且与直线 x- -一2 13平行的直线.234(3)通过点M (1 5,3)且与x,y,z三轴分别成60 ,45 ,120的直线；(4) 一直线过点 A(2, 3,4),且和y轴垂直相交，求其方程.x 1 yz 1 xy 1z 1(5)通过点M (1,0, 2)且与两直线 -和一-一垂直的直线；111110(6)通过点 M (2, 3, 5)且与平面6x 3y 5z 2 0垂直的直线.解：(1)所求的直线方程为： x一3 且即： -3 - -1 ,亦即2 350550x 3 y z 1 . 110(2)依题意，可取L的方向向量为s2,3,4 ,

15、则直线x 1L的方程为2y 1 z 131.21,-,，故直线方程为:2 22(5)所求直线的方向向量为:x 1 y z 2.112(6)所求直线的方向向量为：x 2 y 3 z 4 .2041,1, 11, 1,01,1, 2 ,所以，直线方程为:6, 3, 5 ,所以直线方程为:(3)所求直线的方向向量为：cos60 ,cos45 ,cos120(4)因为直线和y轴垂直相交，所以交点为B(0, 3,0), Ms BA 2, 0, 4,所求直线方程2x y z 1,2、求直线2x y 3z 4的点向式方程与参数方程解 在直线上任取一点(x°, y°, z°),取

16、xO 1V。V。z03z00,解 y00,z02.所求点的坐标为 (1,0, 2)取直线的方向 向量s 1,1,1i j k2, 1,3111 4i j 3k所以直线的点向式方程为:21 3y 0 z 2 x 1 y 0 z 2y,令- t,则所求参数方程13413x 1 4ty tz 2 3t3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面, 如果相交时请求出夹角的余弦 .x 2y 2z 0x 2y z 11 0(1)与；(2)3x 2y 6 02x z 14 0t2tt解:2T3 x(1)将所给的直线方程化为标准式为：一22 二直线平行.又点(3,0)与点342

17、43y 4 z x 7 y 2 z342347,2,0)在二直线上，向量3311 5、一 ，一口7 -,2 -,0 一,一,0 平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：242 411 5一 一 一 、，2,3,4, ,05,22, 19, 从 而 平 面 方 程 为2 45(x 7) 22(y 2) 19(z 0) 0,即 5x 22y 19z 90.(2)因为1 -，所以两直线不平行，又因为4 75直线所决定的平面的法向量为1,2 14,7, 51 301 21 0 ,所以两直线相交,4 753,1, 1 ,二直线所决定的平面的方程为： 3xyz30.设两直线的夹角为cos1 427(

18、1) ( 5)234272(5)2：T 22 (1)26 -154、判别下列直线与平面的相关位置：x 3 y4zx(1)-与 4x 2y 2z 3; (2)27335x 3y2z50(3) 与 4x 3y 7z 7 0;2x y z 1 0x t(4) y 2t 9 与 3x 4y 7z 10 0.z 9t 4y z与 3x 2y 7z 8；2 7解(1)(5) 4 ( 7) ( 2) 3 ( 2)0,而 4 3 2 ( 4)2 0 3 170,所以，直线与平面平行.,一一一，、，327(2)3 3 2 ( 2) 17 70,所以，直线与平面相交，且因为，直线327与平面垂直.(3)直线的方向

19、向量为:5, 3,22, 1, 15,9,1 ,4 5 3 9 7 1 0,所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点M ( 2, 5,0),显然点在M ( 2, 5,0)也在平面上(因为 4(2) 3 (5) 7 0),所以，直线在平面上(4)直线的方向向量为 1, 2,9 ,3 1 4 ( 2) 7 9 0直线与平面相交但不垂直复习题A、判断正误1、若 abbc 且 b0,则 ac；()解析 a b b c=b (a c) =0时，不能判定b 0或a c .例如a i , b j , c k,有 ab bc 0,但 a c.2、若 a b b c 且 b 0,则 ac ；()解析 此

20、结论不一定成立.例如 a i , b j , c (i j),则ab i j k , b c j (i j)k ,a b bc,但 a c.3、若ac0,贝Ua0或c0；()解析两个相互垂直的非零向量点积也为零.4、 a b b a.( V )解析 这是叉积运算规律中的反交换律.、选择题：1、当a与b满足(D )时，有a b a b ；(A)a b；(B) a b(为常数)；(C) a / b ；(D) a b a b .解析只有当a与b方向相同时，才有 a + b = a + b .(A)中a, b夹角不为0, (B), (C)中a, b方向可以相同，也可以相反.2、下列平面方程中，方程(C

21、 )过丫轴；(A) x y z 1 ;(B) x y z 0;(C) x z 0;(D) x z 1 .解析平面方程Ax By Cz D0若过y轴，则B D 0,故选C.3、在空间直角坐标系中，方程(A)椭球面； (B)椭圆抛物面;(C)椭圆柱面;(D)单叶双曲面.解析 对于曲面z 1 x_2 一，一一一 _.一z 1 x 2y所表木的曲面是(B )； 2y2,垂直于z轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x轴或y轴的平面截曲面是开口向下的抛物线,根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面.4、空间曲线2,在xOy面上的投影方程为(C )；2(A)x7；(B)(C)(D)解析曲线7 一十x十一与xOy

22、平面平行，在xOy面上的投影方程为y22y2 70x5、直线2与平面x y z1的位置关系是（B ）.（A）垂直;(B)平行;（C）夹角为冗4；(D)夹角为解析直线的方向向量S=2 所以，s± n ,直线与平面平行.-1,平面的法向量n =1-1 ，1冗4s n =2-1-1=0 ,三、填空题：1、(a$b) 2,则sin(a$b) = V2sin = V2 , a ba|b cos(a$5)= V2冗cos- =0 .2、与平面x2z 60垂直的单位向量为11, 1,2；6平面的法向量n =1-1 , 2与平面垂直，其单位向量为所以，与平面垂直的单位向量为,6661, 1,2.3、

23、过点（3,1, 2）和（3,0,5）且平行于x轴的平面方程为7yz 5 0已知平面平行于x轴，则平面方程可设为By Cz D(-3, 1, -2)和(3, 0口、心入舌铲后 B 2c D 0,5）代入方程，有 5c d 0，得5d，71Dy 一554、过原点且垂直于平面2yz 20的直线为- - z;02解 直线与平面垂直，则与平面的法向量n=0 ,2,-1平行，取直线方向向量s=n=0,2,-1,由于直线过原点，所以直线方程为 x y z .02.4 z 2x25、曲线z 12y ,在xOy平面上的投影曲线方程为2x2y2 1, 0.解：投影柱面为2x21,2x21,'为空间曲线在x

24、Oy平面上的投影曲线方程.四、解答题：1、已知a 1,2,11,1,2，计算（a）b ； (b)(2a b)(a b) ;(c)解:(a)5, 1,3.(b)2a b4,21,1,21, 5,0 , a1, 2,11,1,22, 1,3,所以（2ab) (ab)1,5,0 2,1,37 .(c)1, 2,11,1,20, 3, 1,所以(9 1)210（1）向量P1P2的坐2、已知向量PP2的始点为P（2, 2,5）,终点为P2（ 1,4,7）,试求:标表示；（2）向量P1P2的模；（3）向量PP2的方向余弦；（4）与向量PP2方向一致的单位向 量.P1P2 1 2,4 ( 2),7 5) 3

25、,6,2)(2) P1P2d( 3)2 6222V497； PP2在x, y, z三个坐标轴上的方向余弦分别为cos36,cos ,cos77(4)(R电P1P2P1P23i 6j 2k3i 6j 2k.7773、设向量a 1,1,11,1,求与a和b都垂直的单位向量.解：令c0,2,2 , c00 110, .2, <2故与a、b都垂直的单位向量为0 .1- -10, .2, 24、向量d垂直于向量2,3,1和b1, 2,3,且与c 2, 1,1的数量积为6求向量d解：d垂直于a与b2,3, 1 1,2,3 7(1) ( 7 ) 17 )6,3,3,3.5、求满足下列条件的平面方程:(

26、1)过三点 Pi(0,1,2), P2(1,2,1)和 P3(3,0,4)(2)过x轴且与平面J5x2yz 0的夹角(1)解 1:x0y1z2102112300142点式.所求平面的方程为0 ,即x 5y4z 13 0.2: 用点法式.P1P21,1, 13,1,2,由题设知，所求平面的法向量为P1P2P1P35j又因为平面过点 E(0,1,2),所以所求平面方程为(x 0)5( y1) 4(z 2) 0,即x 5y 4z 13 0.解3: 用下面的方法求出所求平面的法向量n A, B,C,再根据点法式公式写出平面方程也可.因为n PK,n丽，所以3A B 2C 00解得B 5A,C 4A,于

27、是所求平面方程为A(x 0) 5A(y 1) 4A(z 2) 0,即 x 5y 4z 13 0.(2)因所求平面过 x轴，故该平面的法向量 n A, B,C垂直于x轴，n在x轴上的By Cz 0,由题设可知B 0 (因为0.这样它与已知平面 <5x 2y z 01C,所以B 0),令一C,则有2B投影A 0,又平面过原点，所以可设它的方程为B 0时，所求平面方程为 Cz 0又C 0 ,即z所夹锐角的余弦为0 75 02 111冗? II cos一02 02 12 (.15)222121 03y C z 0 ,由题设得0 7512c 1 cos-,302 12 C 2 ( 5)2 22 1

28、2. c ,_1_ , ,解得C 3或C 3,于是所求平面方程为 y 3z 0或3y z 0.0垂直，求该平面方程;x 5y z 0,6、一平面过直线解法1: 直线且与平面x 4y 8z 12x z 4 05y z 0,在平面上，令x=0,得yz 4 04)为平面上的点.设所求平面的法向量为n = A, B, C,相交得到直线的两平面方程的法向量分别为n=1 ,i j k5, 1, n2=1, 0,-1,则直线的方向向量 s=n1 也=1 51 =-5 , 2,-5,由于所1 01求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即s n=-5, 2, -5?A,B,C= 5A 2B 5C =0因为所求平面与平面 x 4y 8z 12 0垂直，则A, B,C 1, 4, 8 = A 4B 8c =0 ,解方程组5A 2B 5C 0,A 4B 8C 0,2C,5C, 2一一5 一4所求平面方程为2c(x 0) -C(y -)解法2： 用平面束(略)C(z 4) 0,即 4x 5y 2z 12 0 .7、求既与两平面 1 :x 4z 3和2：2x y 5z 1的交线平行，又过点(3,2,5)的 直线方程.解法 1 ： n11,0, 4 , n2