专题05导数

1、专题五 导数【基础知识】1、导数的背景：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。2导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数 ，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数， 记作 ，导函数也简称为导数。3、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。4、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，

2、还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。5、导数公式与运算法则：导数公式：（C为常数）； ； ； ； ；运算法则：若有导数，则；6、多项式函数的单调性：（1）多项式函数的导数与函数的单调性：若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。（2）利用导数求函数单调区间的步骤：

3、求;求方程的根,设根为;将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性。7、函数的极值：（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作。极大值和极小值统称为极值。（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。特别提醒：（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是0，0是为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既

4、考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 8、函数的最大值和最小值：（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不

5、等式等相关问题。【例题精析】例1：(2009年广东卷文) （本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=1处取得最小值m1(m).设函数若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值如何取值时,函数存在零点,并求出零点.例2：（2009浙江文）(本小题满分15分)已知函数若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；若函数在区间上不单调，求的取值范围例3：（2009北京文）(本小题满分14分)设函数.若曲线在点处与直线相切，求的值；求函数的单调区间与极值点.例4：（2009江苏卷）(本小题满分16分)设为实数，函数. 若，求的取值范围； 求的最小值； 设函数，

6、直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.【巩固练习】1. (2009山东卷文)（本小题满分12分）已知函数,其中.当满足什么条件时,取得极值?已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.2. （2009安徽卷文）（本小题满分14分） 已知函数，a0.讨论的单调性； 设，求在区间上值域。其中e=2.71828是自然对数的底数。3. （2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数 对于任意实数，恒成立，求的最大值；若方程有且仅有一个实根，求的取值范围4. （2009天津卷文）（本小题满分12分）设函数当曲线处的切线斜率求函数的单调区间与极值；已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒

7、成立，求m的取值范围。5. （2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。求函数的解析式；设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.6. （2009湖南卷文）（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.求b的值；若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。7. （2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）已知函数.设，求函数的极值；若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.8. （2009福建卷文）（本小题满分12分）已知函数且试用含的代数式表示；求的单调区间； 令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段

8、与曲线存在异于、的公共点；专题五 导数 答案【例题精析】例1【解析】（1）设,则;又的图像与直线平行又在取极小值， ， ， ；，设则； （2）由，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点；若，函数有两个零点；当时，方程有一解, , 函数有一零点例2:解析：（）由题意得又 ，解得，或(2)函数在区间不单调,等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有， 即：整理得：，解得例3：【解析】（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当

9、时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.例4：【解析】（1）若，则（2）当时， 当时， 综上（3）时，得，当时，；当时，>0,得：讨论得：当时，解集为;当时，解集为;当时，解集为.【巩固练习】1. 解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大

10、值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 2. 【解析】(1)由于令当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时 由得或或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数, 在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为3. 解：(1) ,因为, 即 恒成立,所以 , 得，即的最大

11、值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ;所以 当时,取极大值 ;当时,取极小值 ;故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.4. 【解析】解：当所以曲线处的切线斜率为1. （2）解：，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是5. 【解析】（I）由已知,切点为(2,0),故有,即又，由已知得联立，解得.所以

12、函数的解析式为4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有实数解，由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；12分6. 解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是（）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c<12时，有两个互异实根,.不妨设，则2.当x时， 在区间内为增函数； 当x时，在区间内为减函数;当时，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由 得.于是 .当时，所

13、以函数在区间内是减函数，故的值域为7. 解：（）当a=1时，对函数求导数，得令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+增极大值6减极小值-26增所以，的极大值是，极小值是（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以若a>1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是8. 解法一：（I）依题意，得 由得（）由（I）得 故 令，则或当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时,此时,恒成立,且仅在处，故函数的单调区间为R当时,同理可得函数的单调增区间为和,单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间