大一第二学期高数论文设计

1、标准文案高数学习的心得体会姓名：某某某 学院：某某学院 班级：某某*班大全学号:*【摘要】又经过一个学期的学习，我对高数的认识又有不同了， 大一上学期的学习主要是对高数的基础进行认识，而大二的学习就是更深入延伸和拓展，在原有学习的基础上更深入的了解其精 髓，重点学习了高数中的导数、微分和积分的扩充，对于我们更 深刻的掌握高数这门学科有很大的好处。这一学期里我们，即从对一元函数的求导到对多元函数的求导，求偏导和求全微分，从一重积分扩充到二重积分和三重积分，但是之前的一重积分主要 是运算，但是重积分则更加注重在其运用上，积分也从之前的对某一个区域积分延伸到对曲线积分和曲面积分上。另外，这学期也新引

2、入了无穷级数和微分方程。 学习高数我们应该有严谨的态 度，在努力的基础上加上认真，才能更好的学习。【关键词】导数微分重积分级数一、对高数的认识已经经过两个学期的学习， 我对高数的认识已然不同， 高数 是最最有用的课程之一，后面的好多课程都会用到高数的知识。 高数是公共基础课，对工科学生尤为重要，后续课程都会用到， 比如，接下来的复变函数、积分变换是高数的延续，而大学物理、 电路、电子技术等都需要高数的知识进行解题。是进一步进修不可或缺的 考研等都要考数学。总之高数是理工科基础的基础。就像你小学学的加减法是你继续学习的基础一样。数学培养的是我的思维，是分析问题、解决问题的思维方式。许多实际问题都

3、需要建立数学模型来解决， 而我建立模型地基础就是我怎样把实际问题转化为数学问题。而很多时候数学的学习是有很多趣味的， 像重积分， 二重积分，哪怕是三重积分，那些变化，通过立体模型的解题过程是多么的好玩，多么的妙趣横生。二、如何学习(1) 课前预习从小到大， 经过这么多年的学习， 当然发现适当的预习是必要的， 在上课前对所学知识的先行认识， 相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。(3) 课后复习复习不是简单的重复， 应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记， 回忆有关内容， 不清

4、楚之处再对照教材或笔记。三、高数解题方法 (多重积分)1 .高等数学是一门严密的学科， 在学习高数过程中， 我认为应用最为广泛的是积分， 高数中积分包含了曲面积分、 曲线积分、二重积分和三重积分等， 它们在许多学科中、 生活中应用比较广泛。1.1 曲面的面积x, y设曲面 的方程为z f x, y , 在xoy面上的投影为Dxy,函数f在D上具有连续偏导数，则曲面的面积为:dxdy 1D_ 2,2fx x,y fy x,yd若曲面的方程为Xy,z,在yoz面上的投影为Dyz,则曲面的面2dydz若曲面的方程为yz, X在zox面上的投影为Dzx,则曲面的面积为:D:* 1 zdzdx积为:22

5、,f7 z, x fx z,x dzx例1 :计算双曲抛物面2xy被柱面x22 一y R所截出白面积Ao2解：曲面在xoy面上投影为D :x2R，则2 2 .zxzy dxdy即有:o' fy y,z fz y, z dD r2rdr31 R2 ,x y dxdy 2 12从而被柱面x2 一 2 . y R所截出的面积例2：求半径为a的球的表面积. 解：取上半球面方程为z 荷则它在xoy面上的投影区域Dx, y xy2a2又由xa2 x2 y2y.a2 x2y2因为这函数在闭区域 D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式，所以先取区域Di x,yA后，令ba取Ai的极限就得半球面的面积.

6、A1d、a2dxdy,利用极坐标Aia-1 22D1 , abd 0，, a2于是lim 2 a a % a2 b2b a这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为A 4 a2.1.2质量1.2.1 平面薄片的质量若平面薄片占有平面闭区域D ,面密度为 x, y,则它的质量为x, y d ，其中 dmx, y d称为质量元素.x2 y2b2 0 b a为积分区域，算出相应于Di的球面面积D1.2.2物体的质量若物体占有空间闭区域体密度为 x, y,z则它的质量为m : x, y, z dv例3:由螺线22，、一 一一x y ,求它的质量。2 ,围成o x22解：如图所示，m dxdy x y

7、dxdyDD4d401.3 质心1.3.1 平面薄片的质心若平面若平面薄片占有平面比区域D ,面密度为x, y ,则它的质心坐标为:x, y d,其中m为平面薄片的质量.x, y d1.3.2 物体的质心若物体占有空间闭区域,体密度为x, y,z ,则它的质心坐标为:x, y, z dv1 . m d_1z一m d一 .、,、一一 ，一 22例4：求包于两球面x yx, y,z dv,其中m为物体的质量.x,y,zdv_ 222z 24 ,和 x y1之间的均匀物体的质心.解：由对称性可知，质心必须位于 z轴上，故x 0, y 0由公式由面常数,所以不妨设23-3的体积1328zd120120

8、2002d4cos2coscos2 sin d4cos3n0 41 .一 sin402 s1ncoscos5 cos一 cos 6d2cos从而质心坐标为0,0 ,例5:求位于两圆解：如图所示:4444,cos 16cos d202815152sin 和4sin 之间的均匀薄片的质心。因为闭区域D对称于轴y轴，所以质心CX,y，必位于y轴上，于是X 00再按公式yd计算y,由于闭区域d位于半径为于这两圆面积之差，即AydD2.sinD1和半径为2的两圆之间，所以它的面积等0o2sin3 0因此73,所以质心是C0,31.4 转动惯量1.4.1 平面薄片的转动惯量若平面薄片占有平面闭区域D,面密

9、度为x,y则它对轴，轴以及对原点的转动惯量分别为：Ix，Iyx2 d ,IoD1.4.2 物体的转动惯量若物体占有空间闭区域,体密度为x, y,z ,则它对轴，轴以及对原点的转动惯量分别为:Ixy2 d ，IyIzy2 d ,Ioz2 d例6：求半径为a的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。解：建立坐标系如图所示2. D: x yIxy2dxdyD3 sin2 drdsin20a 3r3dr半圈薄片的质量Ix -Ma2.4例7:求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量。解：取球心为原点，z轴为l轴，设球所占域为:x222x y dxdydz2. 22r sin cos22r sin2cossind

10、rdd 03 da 4r dr01 -a2M M51.5引力1.5.1平面薄片对质点的引力若平面若平面薄片占有平面比区域D,面密度为x, y ,质量为m的质点位于Xo,yo ,设薄片对质点的引力为FFx，Fy ,则FxGmxDx X0d , FyGmy0d3Dr其中r . x1.5.2物体对质点的引力22x。yy。G为引力常数.若物体占有空间闭区域,体密度为 x, y,z ,质量为m的质点位于Xo, yo，Zo ,设薄片对质点的引力为 F Fx，Fy，Fz ,则FxGmxxodFy GmFzGmzzodz3r一，222其中 r v X Xoy y°z Zo , G 为弓例8：求一高R

11、,底面半径为R的密度均匀的正圆锥对其顶点处的单位质点的 引力。解：以圆锥的顶点为原点，对称轴为z轴建立直角坐标系，此时圆锥的方程为Jx2y2z R,设密度为,所求FFx，Fy,Fz用微元法讨论，在圆锥任意一点x, y, z处取微元d ,则此小块质量为 d ,它对原点处单位质点引力为：dF G-r GVr 其中 r x,y,z,r 4x2 y2 z2.r r r ,.由对称性可知Fx Fy 0,dFz dF cos一，zz .因为cos一,所以dFzG -drr从而FzG0 d33rd d dzjdRZz12 d.2、R22所以，圆锥对位于顶点处的单为质点的引力为2例9：求半径为R的均匀球xR2

12、对位于点M0 0,0,a a单位质量质点的引力.解：利用对称性知引力分量FxFxFz展2 32da dzDz2a dz02R4 R3dxdy22 32y z a- R2 z2rdrVr2 2az-a2 dza d R2 2az a2为球的质量四 . 总结高数的学习还有很久，我也知道大学高数很需要时间去锻炼，学习过程中也会有很多的困难，但是我会努力去学习。多和室友交流学习。高等数学作为大学的一门课程， 自然与其它课程有着共同之处，那就是讲课速度快。刚开始，我非常不适应。上一题还没有消化，老师已经讲完下一题了。带着几分焦虑，我向学长请教学习经验， 才明白大学学习的重点不仅仅是课堂， 课下的预习与复习是学好高数的必要条件。于是，每节课前我都认真预习，