韦达定理应用

1、韦达定理的应用一、典型例题例1关于x的方程2x一 nn+ 1x + 1 m=0的一个根为4,求另一个根。解：设另一个根为例2:方程X， 5x+ 8=0的两根为xi, X2,求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为旳 8代入得,新方程为5斗闻例3:判断是不是方程9/ 10x 2=0的一个实数根?以宀“为根的一元二次方程即为解：二次实数方程实根共轭，假如是，如此另一根为x y y =10例4:解方程组E =U-h2X-5)= 0解设 J不一丁 二曲上0-Bj4a -3A-W- 0. A=5. x-y=5又 xy=_6.a2 +2? = 169(c =13) ab=4mm-22)|fA-°

2、;.山介+护二匕+鸟丫一 2必=189 m=5 或 6当 m=6 时，一 -1例6: M为何值时，方程8/ m 1x + m 7=0 的两根r + (-y) = 5 解方程组 :l- 例5: RtABC中，两直角边长为方程 x 2m+ 7x + 4m C m-2=0的两根，且斜边长为13,求从上二的值解：不妨设斜边为 C=13,两条直角边为a, b,如此2c -此。 又a, b为方程两根。 但a， b为实数且阳'一 11啣十30 = 0一 30 m=5 S. 均为正数 均为负数一一个正数，一个负数一根为零 互为倒数 m>7A>05 + 殆 V Q兀> 0不存在这样的情

3、况。 m<7 m=7 m=15.但使止* Cl不存在这种情况【模拟试题】答题时间： 30分钟1. 设n为方程x + mx+ n=0 5工0的一个根，如此 m+ n等于2. 方程 / + px q=0的一个根为2 + ：-，可求得p= ,q=3. 假如方程 / + mx+ 4=0的两根之差的平方为 48，如此m的值为A. 土 8 B.8 C. 8 D. ± 44. 两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3,如此a为何值时，这两个数相等?55. 方程a+ 3x +仁ax有负数根，求a的取值X亂k + 尸=5九=旳 叫6.方程组的两组解分别为71二垃,二纠，求代数式aib2+a2bi

4、 的值。7. A ABC中，AB=AC Z A ,也B,也C的对边分别为a, b, c, a=3,b和c是关于x的方1程X + mx+ 22 m=0的两个实数根，求 A ABC的周长。业稱于勤而盍于無行成于思而毁于随【试题答案】1. 1 2. 4 ，1 3. A 4. a=1 或 135. 3< a< 2提示：分 a= 3以与a 3讨论求解6. 13例1 p + q = 198，求方程x2 + px+ q= 0的整数根.('9祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1 < x2由韦达定理，得x1 + x2 = p, x1x2 = q .于是

5、x1x2 (x1 + x2) = p+ q= 198 ,即 x1x2 x1 x2 + 1 = 199 .(x1 1)(x2 1) = 199 .注意到x1 1、x2 1均为整数，解得 x1 = 2, x2 = 200 ; x1 = 198 , x2 = 0.例2关于x的方程x2 (12 m)x + m 1 = 0的两个根都是正整数，求m的值.解：设方程的两个正整数根为 x1、x2，且不妨设x1wx2由韦达定理得x1 + x2 = 12 m , x1x2 = m 1 .于是 x1x2 + x1 + x2 = 11,即(x1+ 1)(x2 + 1) = 12 . x1、x2为正整数，解得 x1 =

6、 1 , x2 = 5; x1 = 2, x2 = 3.故有m = 6或7.例3某某数k,使得方程kx2 + (k + 1)x + (k-1) = 0的根都是整数. 解：假如k = 0，得x= 1,即k = 0符合要求.假如k0,设二次方程的两个整数根为 x1、x2，由韦达定理得 x1x2 x1- x2 = 2 ,(x1 - 1)(x2 - 1) = 3 .因为x1 - 1、x2 - 1均为整数，所以例4二次函数y= x2 + px+ q的图像与x轴交于(a 0)、( B, 0)两点，且a> 1 > B 求证：p+ q> 1.('9某某省初中数学竞赛试题)证明：由题意

7、，可知方程一x2 + px + q = 0的两根为a B由韦达定理得 a+ B= p , a 护一q .于是 p + q a+ B a ,(a a B+ 1) + 1(o 1)( 一 1) + 1 > 1(因 a> 1 > B )一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理与其 逆定理大纲要求1. 掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含 有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值 X围判断根的情况，也会根据根的情况确定字 母的取值X围；2. 掌握韦达定理与其简单的应用；3. 会在实数X围内把二次三项式分解因式；4. 会应用

8、一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问 题。内容分析1. 一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式= b2-4ac>0时，方程有两个 不相等的实数根当二0时，方程有两个相等的实数根，当< 0时，方程没有实数根.2.元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 工 0)的两个根是 x1, x2，那么 x1+x2=-b/a , x1x2=c/a如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2,那么x1+x2=-P，x1x2=q以x1， x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+

9、x1x2=0 .3.二次三项式的因式分解 (公式法)在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0 的两个根是x1,x2 ，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).考查重点与常见题型1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题 中，如：关于x的方程ax2 2x + 1 = 0中，如果a<0，那么根的情况是A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根 D不能确定2. 利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2

10、x2 6x + 3= 0的两根，如此x12 + x22的值是A15 B12: C6 D: 33 .在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。考查题型1 .关于x的方程ax2 2x + 1 = 0中，如果a<0，那么根的情况是A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根 D不能确定2 .设x1，x2是方程2x2 6x + 3= 0的两根，如此x12 + x22的值是A15 B12: C6 D: 33 如下方程中，有两个相等的实数根的是A2y2+5=6y Bx2+5=”5 x CV3

11、x2-V2 x+2=0 D3x2 2V6 x+ 仁04 以方程x2 + 2x 3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是Ay2+5y 6=0By2+5y + 6=0Cy2 5y + 6=0Dy2 5y 6=05. 如果x1 , x2是两个不相等实数，且满足 x12 2x1 = 1, x22 2x2 = 1 ,那么 x1?x2 等于丨A2 B一 2:C1D一 1 6 .如果一元二次方程x2 + 4x + k2 = 0有两个相等的实数根，那么k =7.如果关于x的方程2x2 (4k+1)x + 2 k2 1 = 0有两个不相等的实数根，那么 k的取值X围是8 . x1，x2 是方程 2x2

12、7x + 4 = 0 的两根，如此 x1 + x2 = ，x1?x2= ，x1 x22 = 9 .假如关于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x + 1 = 0的两个根互为倒数， 如此m = 二、考点训练：1、 不解方程，判别如下方程根的情况：1x2 x=59x2 6V2 +2=0 (3)x2 x+2=02、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、关于x的方程10x2 (m+3)x+m 7=0，假如有一个根为0，如此m=，这 时方程的另一个根是；假如两根之和为3/5，如此m=，这时方程的两个根为.4、3 2是 方程x2+m

13、x+7=0的一个根，求另一个根与 m的值。5、求证：方程(m2+1)x2 2mx+(m2+4)=0没有实数根。6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1 V 5和1+V 5。7、设x1,x2是方程2x2+4x 3=0的两根，利用根与系数关系求如下各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 3x12+ x1x2+2 x1解题指导1、如果x2 2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，如此 m=;2、方程2x(mx 4)=x2 6没有实数根，如此最小的整数 m=;3、方程2(x 1)(x 3m)=x(m 4)两根的和与两根的积相等，如此 m=;4、设关于x的方程

14、x2 6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20 ,如此k值为；5、设方程4x2 7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求如下各式的值：(1) X12+X22 (2)x1 x2 3V x1 +V x2 * 4x1x22 + 12 x1衣6.实数s、t分别满足方程19s2 + 99s + 1 = 0和且19 + 99t +12 = 0求代数式(st+ 4s + 1)/t 的值。7. a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程 x2+2ax+1 -(1/2) (a2x2 - a2 - 1)=0 有无实根？8. 求证：不论k为何实数，关于x的式子(x- 1)(x -

15、2) - k2都可以分解成两个一 次因式的积。9 实数K在什么X围取值时，方程kx2 + 2 : k- 1x K- 1= 0有实数正 根？独立训练一1、不解方程，请判别如下方程根的情况；(1)2t2+3t - 4=0, ; (2)16x2+9=24x,; (3)5(u2+1) - 7u=0,;2、 假如方程x2 - (2m - 1)x+m2+仁0有实数根，如此m的取值X围是；3、 一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+V3和2 V3，如此p= ,q=;4、方程3x2 19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m=;5、 假如方程x2+mx -仁0的两个实数根互为相反数，那么 m

16、的值是；6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+仁0的两个实数根，如此代数式mn=。7、关于x的方程x2 - (k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值；8、如果a和B是方程2x2+3x -仁0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于a +(1/ B和B +(1/ a );9、a,b,c是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相 等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10、取什么实数时，二次三项式 2x2 - (4k+1)x+2k2 - 1可因式分解.11、关于X的一兀二次方程 m2x2 + 23

17、 -mx+ 1 = 0的两实数根为a ,，假如 S = 1/ a + 1/ B,求S的取值X围。独立训练二1、方程x2 3x+1=0的两个根为 a ,，如此a + B = , aB =;2、如果关于x的方程x2 4x+m=0与x2 x-2m=0有一个根一样，如此m的 值为；3、方程2x2 - 3x+k=0的两根之差为2又1/2，如此k=;4、 假如方程x2+(a2 - 2)x - 3=0的两根是1和3，如此a=;5、方程4x2 - 2(a-b)x - ab=0的根的判别式的值是；6、假如关于x的方程x2+2(m - 1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒 数，那么m的值为；7、p<0,q<0，如此一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是；8、以方程x2 - 3x -仁0的两个根的平方为根的一元二次方程是；9、