解析几何中的定值问题探究

1、解析几何中的定值问题探究解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点， 在求解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注 度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。一.角为定值例1.在平面直角坐标系 xoy中，圆C的方程为(x1)2 + y2 = 4, P为圆C上一点.若存在一个定圆M ,过P作圆M的两条切线 PA, PB,切点分别为 A, B ,当P在圆C上运动时，使得NAPB恒为600,求圆M的方程.解：设定圆圆心 M(a,b ),半彳仝为r,动点P(x,y),由题意知 MP=2r,222即(x -a ) +(y -b)

2、=4r ,由于点P在圆C: (x1)2+y2=4上，所以有(2-2a )x 2by+a2 +b24r2+3 = 0 对任意 x, y 者B 成立，所以 a =1,b =0,2 =1,所求圆方程为(x1)2+y2=1.22_3变式：已知双曲线 C:-2 22 11(a > 0,b > 0)的离心率为,3，右准线方程为 x =.设 a b322直线l是圆O：x +y =2上动点P(x0y0)(x0y。00)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明：NAOB的大小为定值.e = = V3r (、r ,a八 a =1证明：由题意：2 a厂解得： 广a<3c = 43! = k

3、c 3所以 b2 = c2 - a2 =22所以双曲线方程为：x2 -L =12点 P(x0y0)(xoy0 * 0)在圆 O : x2 + y2 =2上,圆在点P(x0y0)处的切线l的方程为y - y0 =-x(x-x0),y。化简得x0x y0y =2Jx°x NoV =2由2 y2及 x02 + y02=2，得(3x02 4)x2 4x0x + 8 2x02 =0x - =12因为切线l与双曲线C交于不同的两点 A,B且0<x02<22222所以 3x0 4#0,且 =16x0 4(3x0 -4)(8 -2x0 ) > 0设A, B两点的坐标分别为(x1,

4、y1), (x2, y2)2贝Uxi4xo8 - 2x01x2 =2, xix2 =23x0 -43x0 -4因为OA OB cos/AOB =|OA| |OB|且 OA OB =x1x2 y1y2 =x1x21 s、/c、-2 (2 - xoxi)(2 一 x0x2) y。三 x1x2二2 - x°224 -2x0(xi x2) x° x【x28-2x°1-22 43x° - 42 - x°_2_2_8 - 2x02x0 - 8= r 一 2. 一 2.3x° - 4 3x° - 4二028xo23x° -4x&

5、#176; (8 - 2x° )23x° -4所以NAOB为定值90°.二.斜率定值(倾斜角定值)22c. x y3例2.已知椭圆C: F+4 =1(a Ab>0)的离心率为 ，且过点A(2,1).若 巳Q是椭a2b22圆C上的两个动点，且使/ PAQ的角平分线总垂直于 x轴，试判断直线 PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.解：方法一：因为椭圆C的离心率为、3，且过点A(2,1),b2二1 c 13'a2 =8所以一=,斛(于a 2b 之=22.2,2a =b +c22所以椭圆C的方程为个+匕=1 82因为/ PAQ的角平分线总

6、垂直于 x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线 x=2对称.设直线PA的斜率为k,则直线AQ的斜率为k.所以直线PA的方程为y-1 = k(x-2),直线AQ的方程为y-1 = - k(x-2).| y -1 = k (x - 2)设点 P(x1, y1),Q(x2,y2),由 <x2 4 y282 .得(1 +4k2)x2 -(16k2 8k)x+16k2 16k4 = 0因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x = 2是方程的一个根,则2x116k2 -16k -421 4kx18k2 -8k -221 4k同理x2一 2 一 一8k 8k -2所以x1 -x2 =16k1 4k2,x1

7、X2-216k2 -41 4k2又小-= k(x1 x2 -4)=8k1 4k2 '所以直线PQ的斜率kpQ = y2 4k2 y2 =1x1 -x22所以直线PQ的斜率为定值，该值为 -.2方法二 设直线PQ的方程为y=kx+ b, 点 P(x1, y1),Q(x2, y?)则 y1 = kx1 +b, y2 =kx2 +b ,所以 kPA&kQA二 y2 -1x2 - 2因为/ PAQ的角平分线总垂直于 x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线 x=2对称,所以 kPA = - kQA ,即-=22x1 -2x2 - 2化简得 x1y2 x2y1 -(x1 x2) -2( y

8、1y2) 4 = 0所以 2kxix2 十(b -1 2k)(x1 +x2) 4b + 4 = 0 y = kx b22xy_82二1得(1 +4k2)x2 +8kbx +4b2 一8 = 0 8kb21 4k4b2 -8, X1X2 -2，1 4k代入，得一 2 一 一2k(4b -8) 8kb(b-1-2k)1 4k21 4k2-4b 4=0整理得(2k -1)(b 2k -1) = 01所以k =1或b =1 -2k 2若b =1 -2k ,可得方程的一个根为 2,不符合题意.一,，八一、一 、一1所以直线PQ的斜率为定值，该值为 - 2变式：过抛物线物线于A(x1, y1)y2 = 2

9、px (p>0)上一定点 P(x0, y0)(y0 >0),作两条直线分别交抛 ,B(x2,y2),求证：PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时， 直线AB的 斜率为非零常数.证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补所以 kpA - -kpB2 yi2 yo=2 px1 .一相减一,(y1 一y°)(y1 +y0) =2p(x1 一x°)= 2px°故K PAy1 -y°x1 一x°2Py1 y。(xi =x0)同理可得，Kpby2 -y0x2 -x02P 卜")y2 y0所以上一 y1y02Py2 y0所以 y1 y2 =

10、 -2y022Vi = 2pXi .，一由,2相减得，(y2y1)(y2+y1)=2p(X2Xi)V2 =2 pX2y2 -yi _ 2p _ 2p _ p一 KAB 二二二二一X2 -Xi yi y2 -2yoy0:直线AB的斜率为非零常数 R .yo三.线段长度定值W例3.如图，在平面直角坐标系 Xoy中，点F (pO),直线l ： x = -1, 卜'/彳。点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ _L PF ,PQ _L l .(1)求动点Q的轨迹C的方程；I(2)设圆M过A(1,0),且圆心 M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当 M运动 时，弦长|TS|是否

11、为定值？请说明理由.解 依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ _L PF ,.RQ是线段FP的垂直平分线.点Q在线段FP的垂直平分线上，|PQ| =|QF| , 又|PQ|是点Q到直线l的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为 y2=2x(x>0).(2)弦长|TS|为定值.理由如下：取曲线C上点M (xo，y0), M到y轴的距离为d=|Xo|=Xo, 22圆的半径 r =| MA |=4(x0 1) +y0 ,则 |TS |=2由2 d2 =2402 2x0 +1 ,2因为点M在曲线C上，所以X0 =*-,2所以 |TS| = 2,y。2 -2X0 +1=2,

12、是定值.变式1：已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在X轴上，P(2,0)为定点，若动圆 M过点P,且圆心M在抛物线C上运动。点A,B是圆M与y轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C ,使| AB |为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。解：设圆心 M (a,b)(a 至 0),点 A(0,y1), B(0, y2).因为圆M过点P (2,0),可设圆M的方程为：(x-a)2 + (y-b)2 = (a-2)2 + b2令 x =0,得 y2 -2by + 4a_4 = 0所以 y1y2 = 2b, y1y2 = 4a _ 4所以 | AB|= . (y二y2)2 = (y-y2)2

13、二4y1y2 = , 4b2 -16a 16设抛物线方程为：y2 =mx(m = 0)因为圆心M在抛物线C上，则b2 =ma所以 | AB |= . 4ma -16a 16 = . 4a(m -4) 16由此可得，当m=4时，|AB|=4为定值.故存在一条抛物线 y2 = 4x ,使| AB |为定值4.2变式2：在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 士 +y2 =1的左、右焦点分别为F '与F，圆F ：4OP为半径的圆P与圆F的,一、22_(x -<3) +y =5 .若P为椭圆上任意一点，以 P为圆心，公共弦为QT ,证明：点F到直线QT的距离FH为定值.解：(1) F (依

14、,0), F(-J3,0)，设M (m,n),由MF MF =1,得(m +峋(m -%r3) +n2 =1 即m2 +n2 =4. 又(m -J3)2 +n2 =5.333333、t，333、由，倚 m = , n = ±.M (,)或“(,-).333333(2)设点 P(x0,y°),则圆 P的方程为(xx。)2+(yy。)2 =x。2+y02.即 x2 +y2 2xoX 2y°y =0. 又圆 F的方程为(x 6)2 + y2 =5.由，得直线 QT的方程为(x0 -，3)x y0y -1 =0.所以FH =| 3x0 -4(X0 一 3)2y02X02y

15、02 -2 3x032因为P(x0,yO)在椭圆上，所以 为-+y02=1，即y°2=1 4X024所以FH =. Xo2 (12) -2 3xo 343xo24I 3x0 -4-2.3xo 4xo -2)- 2.2四.面积定值2X例 4.设 A(x1, y1), B(x2, y2)是椭圆 a2y-2- =1(a > b a 0)上的两点，已知向量 b2y23，一J),右m，n =0且椭圆的离心率 e = 短轴长为2, O为坐标a2原点.试问：AAOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 解：AAOB的面积为定值，证明如下：2b = 2,a =2解得b=1

16、i c证明：由题意知 e =- a2.22a =b c2所以椭圆的方程为 2一x2=14(1)当直线AB斜率不存在时，即2x1 =X2, -1 = -2,由 m n =0行x12y- =042二1又纹 x124所以 |*1|=二，|-11=、.2 2-1 , 一 1， ，C，所以 S. AOB = 2 I x1 I I y1 - y2 1= 2 I x1 I 2 I y1 1= 1 所以三角形AAOB的面积为定值(2)当直线AB斜率存在时：设 AB的方程为y = kx+bI-y = kx b由彳 v2得(k2 +4)x2+2kbx+b24 = 0'x2 =14所以x1.x22kbk2

17、4,xx2b2 -4k2 4由 m n =0 得 x1x2 +-yLy2 =04即 x1x2 +(kx1 +b)(kx2 +b) =0 代入整理得：2b2 k2 =4|b | . 4k2 -4b2 1641|b|12-,所以S.AOB2_ | AB | =二 1b | - (xi x2 ) 4xix2 =2 1 k2_ . 4b2二丽二1所以三角形 AOB的面积为定值1.五.数量积定值例5.已知圆C: x2 +(y3)2 =4,一条动直线l过点A(1,0)与圆C相交于P,Q两点，M是PQ的中点，l与直线m:x+3y+6=0相交于N ,探索AM.，aN是否与直线l的倾斜角有关。若无关，请求出其值

18、；若有关，请说明理由解：因为CM _ AN所以 AM AN -(AC CM) AN - AC AN 5当直线l与x轴垂直时，易知N ( -1,-)3-5则 AN =(0, -), AC =(1,3)所以 AM AN = AC AN = -5当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为：y = k(x + 1), 'y =k(x +1) /日、，/ 3k +6 5k 、则由,得N (-，-)、x + 3y+6=03k +1 3k+15 5k、所以AN =(-一一一)3k 1 3k 1-53 (-5k)所以 AM AN = AC AN = 5 3 () 二53k 1综上所述：AM.AN与直线l的斜

19、率无关，因此与直线倾斜角也无关且AM' AN = -5 .六.直线方程定式3例6.已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为A,(2,0), A2(2,0),直线2x = my+1与椭圆C交于P,Q两点，直线AP与A2Q交于点S,试问：当m变化时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程， 并证明你的结论；若不是，请说明理由。2解：设椭圆C的方程为:+ y =1(a >b a0) , P(xi, yi),Q(X2, y2) b则 a = 2, e = a所以 c = ,3,b2-c2 =12所以椭圆C的方程为：+ y2 =1 4(m2 4)y2 2my -3 = 0x

20、 = my +1则y1y2 二 一2mm2 4，必丫23m2 4直线A1P方程为：y =(x+2),直线A2Q方程为：y='(x2) x1 2x2 -2一(x 2)整 +2得_ +2) = y(x -2)y2x1 2x2 -2-(x-2)12x2 -2x=2 y2(x12)叱2一2)丫2函 2) -y1(x2 -2).2y2(my13) y1(my2-1)y2(my13) - y1(my2 -1)=2 2my1y2 3y2-y13y2 y12m -33( 22m y)-y1=2mL_m2 4 =4c / 一 2m 、3 ( 2y1) y1m 4所以当m变化时，点S恒在定直线x = 4上

21、 七.斜率积定值(椭圆一组性质)例7.在平面直角坐标系 xoy中，如图，已知椭圆C：2+y2 =1 的上、4点P错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。用源。，设直线AP, BP的斜率分别为k1,k2.错误！未找到引用源。 求证：匕k2错误！未找到引用源。 为定值;在椭圆C上且异于点下顶点分别为A, B ,P2证明：由题设 +y2 =1可知，点A(0,1), B(0,1).令P（xo, yo）,则由题设可知Xo#0.所以，直线 AP的斜率k1PB的斜率为k2y。 1又点P在椭圆上,所以2XoXoXo2yo二1（X0W0）,从而有k1 k2 = S2yo 1 yo -1XoXo2Xo变式1 （推

22、广）：已知椭圆C的方程为:= 1（a >b>o）,过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点，M为椭圆上异于P,Q的任一点。求证：kMP kMQ为定值。证明：设 P(X1, y1), M (xo, yo)则 Q ( -X1,-y1)所以kMP kMQyoViyoy122yo y1Xo XiXoX122Xo X1X1 ab2Xo2.2a b=1Xo -X1所以kMP kMQb2为定值变式2（应用）：如图，若D为椭圆+3一=1的右顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，直线 AD, PD交直线x =3于E, F两点，求| EF |的最小值.解：设 P(Xo，yo),则 A ( -Xo,-yo

23、),D(2,o)所以kDP kDAVoXo - 2 - Xo-24 -Xo2二1所以kMP kMQ一（2号24 - Xox设直线DP的斜率为k ,则直线DA的斜率为12k所以直线DP的方程为:y =k(x-2)直线DA的方程为：y2k(x-2)人 1、，、令 x =3得 E(3, ),F(3,k)2k112所以| EF H k +|dk|+| |>V2当且仅当k = ±时取'二” 2k2k2所以| EF |的最小值为J2八.运算关系定值 223例 8.已知椭圆 C ：、+乌=1(a >b >0)的离心率为 ,A(a,0), B(0,b),O(0,0), AO

24、AB a2b22的面积为1.设P是椭圆C上一点，直线 PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N.求证：| AN |，| BM |为定值.c _2/3a 2a = 21 .2i-2.2,2a = b +cc 二-v3证明：由已知< ab=1得 «b=12，椭圆方程为士 y2 =14所以 A(2Q), B(0,1)2设椭圆上一点P( x0, y0)则-0 + y02 = 14当x0 #0时,，、一y0直线PA的方程为y=3(x2), x0 -2令x =0得yM =二2近.x0 -22yn .从而 |BM |=|1 - yM |=|1 -|.x0 -2直线PB的方程为y=迎二1x

25、+1.x0令 y=0 得 Xn =，. y0 所以 | AN |=|2 -xN |=| 2 |yo -1 C2/2所以 |AN | |BM | =|2 -| |1 2y0 |=|X。4y0 4x0y0 -4x° -8y0 4| y0-1x0 _2x0y0 - X0 - 2y0 21+一=1 可化为 x2 +3y2 =3b2.a b_1 4x0 y0 - 4x0 -8y0 , 8 卜 4x° y0 - x° - 2 y°2当 x0 =0 时，y0 = -1,| BM |=2, | AN |二2所以 | AN | | BM | 二 4综上所述：| AN |

26、.| BM | = 4为定值变式1:已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线 交椭圆于a,b两点，oA+oB与a = G1)共线。(1)求椭圆的离心率；(2)设M为椭圆上任意一点，且 OM =7uOA+nOBR),证明：儿2 +N2为定值22(1)解：设椭圆方程为 XT+yT =1(a >b >0), F(c,0) a b 22化简得则直线AB的方程为y =x-c,代入与+4=1 , a2 b2 ,2,2、 222 22, 22 22, 2a c - a b(a b )x -2a cx a c - a b =0. 22.2a b令 A ( X1 , y1)，B(X2,y2)，则 Xi +X2 = 2 '2 , X1X2a2 b2由 OA+OB=(x1 +x2,y1 +y2),a=(3,1),OA + Ob与 a共线，得.X