面角大小求法

1、二面角大小的求法四、射影法：利用面积射影公式 S射=S原COST,其中二为平面角的大小，此 方法不必在图形中画出平面角；二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言， 二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求 二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法， 作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。现 将二面角大小的求法归类分析如下：例3在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PAL平面ABCD， P PA = AB = a,求平面

2、PBA与平面PDC所成二面角的大小。、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;例1在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面 ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,五、：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）或逆定理作出二面角的平面角；例2在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平 行四边形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a， / ABC=30，求二面角P-BC-A的大小。例5

3、、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形,PA丄平面 ABCD , PA=AB = a,求平面PBA与平面PDC所成二面角 的大小。（补形化为定义法）N由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下:、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知, 平面与棱垂直；面角的平面角所在的例3在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，PAL平面 ABCD PA=AB=a 求 B-PC-D的大小。PDC基础练习1. 二面角是指（）A两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与

4、这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2. 平面a与平面B、丫都相交，则这三个平面可能有（）A 1 条或2条交线B 2条或3条交线C仅2条交线D 1条或2条或3条交线3 .在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10,则它到棱的距离是（）A 5 B 20 C10.2D4.在直二面角a -l- B中，Rt ABC在平面a内，斜边 B所成的角为60°,则AC与平面B所成的角为（A 30 0B 450C 60011.已知菱形的一个内角是600，边长为a,沿菱形较短的对角线折成大小为 600 的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。12 .

5、如图， ABC在平面a内的射影为 ABC,若/ ABC= 9, BC=a,且 平面ABC与平面a所成的角为书，求点 C到平面a的距离5.如图，射线BD BA BC两两互相垂直，AB=BC=1则弧度数为'的二面角是（3A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D6.A ABC在平面a的射影是厶 ABC，5、22BC在棱I上，若AB与面 ）D 1200BD=；，ADD A-BD-C如果 ABC所在平面和平面a成 9角，有C13.在二面角a -AB- B的一个平面a内，有一直线 与平面B成300角，求二面角a -AB- B的度数CAC深化练习14.若二面角内一点到二面角的两个面的距离

6、分别为a和2a,至阪的距离为2a,则此二面角的度数是 。15.把等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若/BAC=60,则此二面角的度数是。16 .如图，已知正方形 ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角，求直线 BD与平面ABEF所成角的正弦值。-cos 917.如图，在棱长为a的正方体 ABCABCD中，求：（1）面AABB与面ABCDNBAB为垂足, 二面（A S A1B1C=SxABC sin 9C s ABC =s A1B1C1 * sin 97.如图，若P为二面角M-l-NA为I上一点，且/ PAB=a， 角M-l-N的大小为丫，则有A sin

7、 a =sin B sin 丫B S A1B1C= Sa ABC COS 9D S ABC =s A1B1C1的面N内一点，PB丄I，PA与平面M所成角为B，B sin B =sin a sin 丫C sin 丫 =sin a sin B D8 .在600的二面角的棱上有两点所成角的大小；（2）二面角G BD-C的正切值。AB以上都不对A、B，AC BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：AB=6 AC=3 BD=4则CD=。9. 已知 ABC和平面 a，Z A=3C0，Z B=60，AB=2 A圧 a,且平面 ABC与a所成角为300,则点C到平面a的距离为 。10. 正方体

8、ABCA1B1CD中，平面 AACC和平面ABCD所成的二面角（锐角）为。二面角大小的求法答案一 PCL DH、BH / BHD为二面角B-PC-D的平面角，_ _ 1 1因 PB=、. 2a,BC=a,PC= , 3 a, PB BC=S PBC= PC-BH2 2PA _ ABPB 二 PDI1.、 AB=AD=aPA_AD 二 PB = PD , BC = DC 二 PBD 二.PDC IAB = AD = a则BH=? =DH , 又BD=二2a在厶BHD中由余弦定理，得:3PC = PC过B作BH丄PC于H，连结DHDH丄PC 故/ BHD为二面角 B-PC-D的平面角因 PB=、,

9、 2 a,BC=a,PC=、3 a,1 PB -BC=S PBC= 1 PC -BH 2 2BH 2 + DH 2- BD2cos/ BHD =2BH|_BDa< 3丿则 BH= =DH 又 BD= 2a3在厶BHD中由余弦定理，得:cos/ BHD2 2 2BH2 DH -BD2-公2又 Ov/ BHD V n 则/ BHD= 2BHLBD2 :。，二面角B-PC-D的大小是32解：（三垂线法）如图PAL平面BD过A作AHL BC于H,连结又AHL BC故/ PHA是二面角 P-BC-A的平面角，a2PH在 Rt ABH 中,AH=ABsinZ ABC=aS in 30 =在 Rt P

10、HA中,tan / PHA=PA/AH=a =2a2,则/ PHA=arctan2.3解（垂面法）如图PAL平面 BD BDL ACBD 丄 BC过BD作平面BDH丄PC于H贝U PHLBC2兀 又 Ov/ BHD V n 则/ BHD= 3，二面角B-PC-D的大小是AD _ PA4 解（面积法）如图 AD _ ABPAD AB = A二 AD _ PBA于 A同时，BC丄平面BPA于B，故 PBA是厶PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为0,则cos=S PCD 25解（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形得正方体 ABCD-PQMN , 贝U PQ 丄 PA、PD,于是/ APD是两面所成二面角的平面角。在 Rt PAD 中，PA