交通大学自主招生考试数学试题

1、2005年交通大学自主招生考试数学试卷、填空题（每题5分，共50分）2144已知方程x pxF=0（pwR）的两根为、x2满足为+x2 M2 + J2 ,则p =.2.设 sin8 x+cos8x , x | 0, l,则 x =.1282n 12004113 .已知 n w Z ,且.1 +=1 + ，则 n = .n20044 .如图，将3个12cm x 12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部 分，将这6部分接在一个边长为 6短 的正六边形上，若拼接后的图形 是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积为.5 .已知42收3 =4底x _JV3y , x、yWQ,则（x, y）=.6 .

2、化简：22 -42 + 62 -82 + (-1 n+(2n )=.7 .若 z3 =1,且 zWC ,则 z3+2z2 +2z+20 = .8 . 一只蚂蚁沿1X2X3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为.9 . 4封不同的信放入 4个写好地址的信封中，全装错的概率为，恰好只有一封信装错的概率为.10 .已知等差数列 aj中，a3+a7+即+a19 =44,则 %+a9+a16 = .二、解答题（本大题共50分）1 .已知方程x3 +ax2+bx+c =0的三根分别为a、b、c,且a、b、c是不全为零的有理数，求 a、b、 c的值.2 .是否存在三边为连续自然数的三角形

3、，使得 （1）最大角是最小角的两倍？（2）最大角是最小角的三倍？若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由.23 .已知函数y =ax 8x b的最大值为9,最小值为1,求实数a、b的值. x2 14 .已知月利率为y ,采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额 m关于y的函数关系式（假设贷款时间为 2年）.5 .对于数列an： 133,3,5,5,5,5,5,，即正奇数k有k个，是否存在整数r、s、t,使得对于任意正整数n ,者B有an =r Jn +s +t I恒成立（lx】表示不超过x的最大整数）？7 / 62005年交通大学自主招生考试试卷参考答案、填空题（每题5分

4、，共50分）44x1x2 = x12 c2 c 22-x2 : -2x1x2 - 2x1 x2 = p+1 七+2之2+25=2+J2,当p=2飞时取等2.、f设 sin xcosx =t,因为 xH0，I, ,28841由 sin x cos x =解得t2 =或t2161282916,得 1 -2t2（舍）.所以2-2t44142,即 256t4 -512t2 +87 =0 .128.3 一 二 f 二sin xcosx =,解得 x =一或一.4633.-2005.11n1-n1-n 1=1 20042004,比较得n - -2005 .4.864 cm3 .【解答】如图，所得到的多面体

5、相当于将四面体V -BEF、V3 CGH ,这三个小四面体都与且V -ABC的三条侧棱两两互相垂直，VA =VB =VC =18 .所以多面体体积为183T1 ABC截去三个角 V1 - ADI、1V ABC相似，相似比为-,5.侨案用）【解答】由25/3 -3= JV3x3y ,得 2 _/3 =x + y _2qxy .3 . 一 31又因为 x、yuQ,且xy,所以 x + y= 2, xy=,解得 x = ，y = .4226 .【答案】（1 n4_2n（n +1【提示】按n的奇偶性分类讨论，或找规律.7.【答案】25,z=1；19,z =1.【解答】由 z3 =1 ,得（z 一1 膜

6、2 +z+1）=0,故 z=1 或 z2+z + 1=0.又因为 z3 +2z2 +2z +20 =2（z2 +z+1 ）+18 十z3,所以 当z =1时，上式=25 ;当z2 + z +1=0时，则上式=19 .8 .【答案】3近.【提示】看侧面展开图（有三种不同情况）9 .【答案】|； 0.93【解答】全装错的概率是一=-；只有一封信装错是不可能事件，概率是0.F48 10 .【答案】33.【解答】a3a7- a11-a19=44=2ali-2a9=44= 2 a11 -a9= 44=a10=11贝U a *a *a6 =a0 +a11 *a =3a10 =33.二、解答题（本大题共50

7、分）a +b +c = -a（1）1 .【解答】由韦达定理，得 jab+bc+ca=b-（2）、abc = -c（3）b - -2a,_ 2_右 c=0,则- - -2a - 2a ,即 a=0 或 a=1.ab =b, . （a,b,c ）=（1,2,0 卜若 c#0,由（3）式，得 ab = 1,代入（2）,得 c（a+b）=b+1 ,而由（1）,得 c = 2ab ,b 1 22a+b = -2a -b -3ab =b+1 .Na -b.2223 b +b2=/a =萨，即(b+1/b 2b+2)=0.若(b3 2b+2 )=0有有理根 q ,其中(p,q ) = 1, p、q w Z

8、,则 q3 = 2( p3.【解答】将函数表达式整理，得(ya)x 8x+yb=0,由判别式 =64 -4(y -a / y b )0 ,得 y2 -(a +b )y +ab -16 0 .依题意，上述不等式解集为1,91.q p3). P . q 为偶数，令 q=2k , kwZ .代入得p3 =2( p2k 2k3 ),，p也为偶数，这与(p,q)=1矛盾.一 3 (b 2b+2 )=0无有理根.，b +1 =0 , b = 1 . ，(a,b,c )=(1,1,1)综合上述，a, b, c)=(1,-2,0 )或(1,一1,一1).2 【解答】设三角形三边长为n1、n、n+1(n之2,n

9、WZ ),它们所对角分别为 A、B、C(ABC).222(M2U) 人 /口n 1 i，n -；n 1n 3 4(1)由余弦定理，得 cosA 1n = n 4 ,2n n 12 n 1222c n 1 n n 1 n -4cos C 2n n -12 n -1若 C=2A,贝U cosC =2cos2 A1.代入化简，得 2n3 -7n2 -17n + 10=0 ,即(2n -1)(n+2)(n-5 )=0 . n=5,该三角形三边长为 4、5、6.(2)如图，设/ A=H,则/ C=3/ A=38，过点C作CD交AB于点D,使/ ACD =日， ACD为等腰三角形又/ BDC =2日=/ BCD ,BCD也为等腰三角形.BD =BC =n 1 , AD = DC =2,.1 . ncos/BCD =cos28 =, cos/DCA =cosH =一 ,n -141 n2=- -1 .整理，得 n (n 一n-8)=0, n 无正整数.n -18满足条件的三角形不存在.a b =10,a=a=b=5.经检验，a = b = 5满足题意./2441y -1ab -16 =9一2423 m4.【解答】依题息，0+y ) =m+m(1+y)+4m(1 + y)= 24y 1 y八 m =24 y 0 1 y -12 2