学高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题

1、一.先求和后放缩例1.正数数列（主要是先裂项求和，再放缩处理）an的前n项的和Sn,满足 2 Snan 1,试求:(1)数列an(2)设bn解:anan1）由已知得的通项公式；1,数列bn的前n项的和为BnBn4an2 an2an14Sn2an 1(a2a以ananan(2)bnanan 1真题演练1 : (06全国1)2,n 2时,4Sn 1 (an221),作差得:,所以（an an1)( an an 12）0 ,又因为an为正数数列，所是公差为2的等差数列，由 一 (2n 1)(2n 1)2 2n 11卷理科22题）设数列2 S112n 1），a11,得 a11,所以 an2n 1所以a

2、n的前n项的和，Sn43ann 1,2,3,ggg（i）求首项a1与通项an ； （n）设Tn2n一，n 1,2,3,ggg, Sn证明:TiX 4+一33所以a1=2一 ，- 4解：(I )由 S n=3a-1X2n+1+|, n=1,2,333小 小_4 型 a 1=S1= a1 一3再由有Sn 1=1a31n 1 X3和2 CO2+3, n=2,34,将和相减得：a n = Sn- Sn-1= (a3n+1 n.n - an 1) 3 x (2 2 ),n=2,3,整理得：a n+2n=4(an 1+2n 1),n=2,3,，因而数列 a n+2n是首项为an+2n=4X4n1= 4n,

3、 n=1,2,3,，因而 an=4n 2n, n=1,2,3,，a1+2=4,公比为4的等比数列，即:(n)将an=4n2n代入得4 n n 1n+121n+1n+1Sn= 3X(4 2)3X2 + 3 = -X (2 - 1)(2- 2)2.=；X(2 -1)(2 -1) 32n32n311Tn= Sn = 2X (2 n+1-1)(2 n- 1) = 2X(二WM1所以,312X (21- 1 ; )< 32n 1 1)2二.先放缩再求和1.放缩后成等比数列，再求和例2.等比数列 an中，a111 ,前n项的和为Sn ,且$,S9,S8成等差数列.2设bn2a13,数列bn前n项的和

4、为Tn,证明：Tn 1 an3解：: A9A7a8a9a9,%a9ag, .公比a9a8/ 1 n an()2bn1 4T .1(利用等比数列前1 (2)n项和的模拟公式1nn2)3 2SnnAqA猜想) Bnb1b2bn3 2 3 2212n11(1)22,13d子)真题?M练2: (06福建卷理科22题)已知数列an满足a11,an(I)求数列an的通项公式;(II )若数列bn满足4bl14b21L4bn 1(an1)bn(n(in)证明:(I)解:2an1(n*N ).* .N )，证明：数列 bn是等差数列;a1a2a2a3anan 12an1(nan 1*),一(n N ). 2a

5、nan1 2(an2n.即1),an22 1(n(II )证法一：Q4k 14k2 1.4kn 1*N ).(an1 2为首项,2为公比的等比数列1)kn.2gb2.bn)2gb2.bn-,得2(bn 1即(n 1)bn 1 nbn1)2nnbn,bn 1) (n(n 1)bn0, nbn 21) (n 1)bn 1.1 nbn,一,得nbn 22nbn即bn2 2bn 1 bn0,nbn(n0,1)bn 12 0.(III )一 a.证明：Q kak 1k ,21M 1-21bn 12kbn 12(2k 2)bn(nN ),bn是等差数列1 . 一，k 1,2,., n,22.放缩后为“差比

6、”数列，再求和例3.已知数列an满足：a1(1 二)an(n 1,2,3 ) .求证：an 12an 3n 12n 1证明:因为an1(1n、2,n')anan 1与an同号，又因为a110,所以an0,即anan即anann2n annFan 2nan 1an .所以数列an为递增数列，所以 an a1令Sn222n 2nnana12n 11 c，所以一 Sn212212223222,两式相减得:2Sn122故得an123 n3 "23.放缩后成等差数列，再求和例4.已知各项均为正数的数列求证：Sn22anan 14求证：、21 n 10 c n 1所以n 2尸2an的刖n

7、项和为Sn ,且ananSn1 1,所以an2Sn.解:2 an（1）在条件中，令1,an(a n 12Sn 有 aan )( ananan11)得aj2Sm02S1 2a1,a1,上述两式相减，注意到所以，an(n1)所以Snn(n 1)（2）因为2n 3n2、2练习：1.Tn2.22n (n 1)2n(n 1) nSn 11 一（08南京一模22题）设函数an 0n(n 1)22anan 1anan 10a1Sn1anSn得an 1an 4n(n 1)2f(x)f (2 sin ) 0.对于正数列an1 2x4,其前bx（田）（田）C1求实数b的值；（II ）求数列anC2（04全国）所以

8、n(n 1)Sn2.2.2n 项和 Snf (an)的通项公式;&n"-1, n N ,且数列cn的前1ancnC3为何实数，恒有 f （cos ） 0(n N).n项和为Tn,试比较1Tn和1的大小并证明N .61一一（利用函数值域夹逼性）；（II）2an 2n 1；1(2n 2)22 2n 12n+Cn2 3 2n已知数列an的前n项和Sn满足:Sn2an ( 1)n（1）写出数列an的前三项a1 , a2,a3; (2)求数列an的通项公式; 1（3）证明：对任意的整数 m 4,有a4a5am分析：由递推公式易求：a1=1, a2=0, a=2；由已知得：an SnSn

9、1化简得:an2an 12(1)n2an11)n 2an 1n 1( 1)(n>1)annr2(an 117n2,an|故数列an1T232 日士是以3(3)( 2)n:数列 an的通项公式为:an观察要证的不等式，左边很复杂,a4a5am2一为首项，公比为3-an l2"2(2的等比数列.1)n22n 2 ( 1)n.3先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而1,1,3- L -3-,如果我们把上式中的分母中的3 12m 2 ( 1)m1去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知:123 1里需

10、要对11177" T3-442122m进行分类讨论，(1122 123 11因此，可将-22112223 -保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这11)当m为偶数(m4)时,当m是奇数(m 4)时，m 1为偶数,- 1所以对任总整数 m 4,有a4本题的关键是并项后进行适当的放缩。3. (07武汉市模拟)定义数列如下：求证:(1)对于na5anan 1 a2a1N恒有an1成立；,、,1(3)12 2006分析:(1)用数学归纳法易证。2由 an 1 anan2，an1 an成立;2an当an 1,nn 2且na21得: a21 a1(a1以上各式两边分别相乘得：an1)(3

11、)要证不等式1 -L-12 2006可先设法求和:a2006a1a21a11a2a11a200711a20061a1a2a2006a1a212 2006a2006本题的关键是根据题设条件裂项求和an (ananan1) an1 an 1 (an 11)1a2 al (a1 1),又 a1 2，1 a2006,再进行适当的放缩。1 又 a1a2a200620062006a12原不等式得证。数列和不等问题(学生版)一.先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理)例1.正数数列 an的前n项的和Sn,满足2/S an 1,试求：(1)数列an的通项公式；1._1(2)设bn ,数列bn的前n项的和为

12、Bn,求证：Bn anan 12412真题7M练1： (06全国1卷理科22题)设数列an的前n项的和，Sn-an - 2n 1 ,333n 1,2,3,ggg2n.一n _3(i)求百项a1与通项an； (n)设Tn ，n 1,2,3,ggg,证明：Ti -.nSni 12二.先放缩再求和1.放缩后成等比数列，再求和1例2.等比数列 an中，a1,前n项的和为Sn ,且S7S9, Sg成等差数列.22 a1设bn ,数列bn前n项的和为Tn,证明：Tn -.1 an3 、一 . ， *、真题7M练2：(06福建卷理科22题)已知数列 an满足a1 1,an1 2an 1(n N ).b 1b

13、*、4 n (an 1)n(n N ),证明：数列 b0是等差数列；且 * N*).an 12(1 ；)an(n 1,2,3 ) .求证：an 1an3 -n7722(I)求数列 an的通项公式；(II )若数列bn满足4bl 14b2 1Ln 1 a a2(in)证明： 一一一一.2 3a2 a32 .放缩后为“差比”数列，再求和例3.已知数列an满足：a11, an 13 .放缩后成等差数列，再求和例4.已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且a2 an 2Sn.求证:求证:练习：f(cos ) 012.31. (08南东一模22题)设函数 f(x) X2 bx 一，已知不论 ，为何实数，恒有44*且f (2 sin ) 0.对于正数列 an ,其前n项和Snf(an), (n N ).(i)求实数b的值；(II )求数列 an的通项公式;,411 ,(田)若 Jcn ,n N ,且数列 cn的前n项和为Tn,试比较Tn和一的大小并证明N,1 an