定积分的计算方法

1、定积分的计算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题， 计算方法有很多， 常用的计算方法有四种： （ 1 ）定义法、 （ 2 ）牛顿莱布尼茨公式、（ 3 ）定积分的分部积分法、（ 4）定积分的换元积分法。 以及其他特殊方法和技巧。 本论文通过经典例题分析探讨定积分计算方法， 并在系统总结中简化计算方法！并注重在解题中用的方法和技巧。关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, i

2、ts calculationmethod is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integralsubsection integral method, (4) substitute paper, by classic examples definiteintegral analysis method, and in the system of simplified, summarized theapproximate calculation method! And pay attention to

3、problem in using the methodsand skills.Key words:definite integral ,definitionmethod, Newton - Leibniz, substitute method目录目录 21 绪论 3定积分的定义 3定积分的性质 42 常用计算方法 5定义法 5牛顿 - 莱布尼茨公式 6定积分的分部积分法 7定积分的换元积分法 73 简化计算方法 错误!未定义书签。含参变量的积分 错误!未定义书签。有理积分和可化为有理积分的积分 错误!未定义书签。4 总结 9致谢 10参考文献 101绪论定积分的定义定积分就是求函数f(X)在区

4、间a,b中图线下包围的面积，如图所示。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积1。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。设函数f(X) 在区间a,b上连续，将区间a,b分成n个子区间x o,x 1, (x i,x 2,(X2,X 3,，(Xn-1,Xn,其中X0=a,Xn=b。可知各区间的长度依次是：xi=XlX0,x2=X2-Xl,一 xn=Xn-Xn-1。在每个子区间(X i-1 ,X i 中任取一点 (1,2，,n),作和式设X =maxx 1, Ax 2,，Ax n(即入是最大的区间长度)，则当 入一0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b

5、的定积分2,记为其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间a, b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被 积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，/ 叫做积分号。而不是一个函之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数,根据上述定义，若函数 f(x)在区间a,b上可积分，则有n等分的特殊分法:驰X加+/-叫¥=小做1=10特别注意，根据上述表达式有，当 a,b区间恰好为0,1区间时，则0,1区间积分表 达式为：Jr|冷 j尸丘.圾)1 =1定积分的性质b ,b,b,性质 1f(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dxaaabb性质 2 kf(x)dx

6、k f(x)dx,(k为常数) aabcb 一性质 3假设a<b<cf(x)dxf(x)dx f(x)dxaacbb性质4 如果在区间a,b上，恒有f (x) g(x)，则 f(x)dx g(x)dxaab性质5如果在区间a,b上，f (x) 0,则 f(x)dx 0. (a<b) a性质6设M及m分别是函数f (x)在区间a,b上的最大值及最小值，则m(b a) bf(x)dx M(b a) , (a<b)此性质可用于估计积分值的大致范 a围3。性质7若f(x)在a,b上可积，则I f(x) I在a,b上也可积，且 bf(x)dx bf(x)dx aa性质8 (积分第

7、一中值定理)设函数f(x)在a,b上连续，g(x)在a,b上可积,且在a,b上不变号，则在a,b上至少存在一点 使得：b. b ,f(x)g(x)dx f( ) g(x)dxaa2常用计算方法定义法定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单的来说就是分割求和取极限。以bI a f(x)dx为例：任意分割，任意选取k作积分和再取极限。任意分割任意取k所计算出的I值如果全部相同的话，则定积分存在。如果在某种分法或者某种一勺取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在。如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任

8、意取但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作a,b的特殊分法，选取特殊的k，计算出定积分4。第一步：分割.b a将区间a,b分成n个小区间，一般情况下米取等分的形式。 h ba ,那么分割点的n坐标为 a,0 , a h,0 , a 2h,0 a (n 1)h,0 , b,0 , k在 Xk i,Xk 任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k,即左端点，右端点或者中点。经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形。我们近似的看作是n个小长方形。第二步：求和.n计算n个小长方形的面积之和，也就是 f k ho k 1第三步：取极限.nnI 眄 f k h

9、hhimof k , h 0即n，也就是说分的越细，k 1k 1那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值。i例1、用定义法求定积分xdx。0解：因为f (x) x在0,1连续所以f (x) x在0,1可积将0,1等分成n个小区间，分点的坐标依次为0 h 2h . nh 1取k是小区间(k 1)h,kh的右端点，即 k kh于是12.1 ,1n(n 1) 1 n(n 1) n 1xdx lim khh lim - 一 lim lim n 一0 n n 2 n n 2n n 2211所以， xdx -0

10、2牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分。这个公式要求函数f(x)在区间a,b内必须连续。求连续函数f (x)的定积分只需求出 f (x)的一个原函数，再按照公式计算即可。定理：若函数f(x)在区间a,b连续，且F(x)是f(x)的原函数，则bf(x)dx F(b) F(a)。 a . . , . 证明：因为F(x)是f(x)的原函数，即 x a,b有F (x) f(x) x 积分上限函数 f(t)dt也是f(x)的原函数 a ( x所以 f(t)dt f (x) a x所以 f(t)dt F(x) C a a令

11、x a 有 f(t)dt F(a) C 即C F(a) ab再令 x b有 f(x)dx F(b) F(a) a我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的。但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅给定积分的计算带来极大的方便， 在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义。例1、用牛顿莱布尼茨公式计算定积分1xdx。0“ 1 9解：原式=1x2 2同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单，容易计算。定积分的分部积分法公式：函数u(x) , v(x)在a,b有连续导数则bu(x)dv(x) au(x)v(x)b bav(

12、x)du(x)a证明：因为u(x) , v(x)在a, b有连续导函数所以 u(x)v(x)u(x)v'(x) v(x)u'(x)b所以 u(x)v(x)a，、/、b b ,、'/、，、' /、,、，、u(x)v(x) a u(x)v (x) v(x)u (x) dx u(x)v(x) j ab'b b即 u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx aa ab或 u(x)dv(x)au(x)v(x)bv( x)du(x)a例1、求定积分1n xdx。121n xdx解：1xln x2xd In x121n 2 0 x2121n 2

13、1定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算。一 般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也相应交换积分的上下限，这样可以简化计算。公式：若函数f(x)在区间a,b连续，且函数x(t)在 ， 有连续导数，当时，有a (t) b则:f(x)dxf (t) (t)dtf (t)d (t)bb证明： f(x)dx F (x) F(b) F (a)aaf (t) (t)dt F (t) F ( ) F ( ) F(b) F(a)b,即 f (x)dx f (t) (t)dta这个公式有两种用法：b(1)、若计算 f(x

14、)dxa。)、选取合适的变换x (t),由a,b通过b (t) , a (t)分别解出积分限与 ；b、把 x (t)代入 f(x)dx得到 f (t) (t)dt; a例1、计算定积分0 Va2x2dx。解：设 x asint 有 dx acostdtx 0时，t 0； x a时，t 一a2 sin 2t 2"r(t-)22 o222 ,222 .a x dx a 2 cos tdt00(2)、计算 g(t)dt ,其中 g(t) f (t)(t)、把g(t)凑成f (t)(t)的形式；检查x (t)是否连续；、根据 与通过x (t)求出左边的积分限 a,b；、计算.i 1例2、计算

15、定积分 dt 。L5 4t解：令.,5 4t1xdx 21时,3;当t 1时,1 1所以原式=（3 x'1 、, 2x)dx4总结定积分计算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算。定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握。 其实，在实际计算中，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样。 定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以一般不会用定义法计算。 常用的就是其他三种， 即牛顿-莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法。致谢在老师的悉心指导下我完成了这篇关于定积分的计算方法的论文， 感谢老师以以其严谨求实的教学态度、高度的敬业精神和孜