从全国卷导数题目的特点看高考数学解答题压轴题解题策略

1、从全国卷号数题目的特点看高考数学解答题压轴题解题策略2019年4月1日全国卷对于导数应用的考查，其难点一直围绕函数的单调性、极值和最值展 开，以导数为工具探究函数的性质，借此研究不等式、方程等问题，着重考查分 类讨论、数形结合、化归与转化的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力、 推理论证能力，充分体现数学理性思维的特点，从思维的层次性、深刻性和创新 性等方面进行考查，凸显了高考试题的选拔功能，一直是压轴题的不二选择，下 面通过近几年的高考导数压轴题，分析归纳解题策略 .一、熟悉掌握以下六种基本函数及其图象在遇到涉及指数函数式与对数函数式的综合题目时，可考虑将指数函数式和 对数函数式分离成上

2、述六种基本函数分析解答例L(2014课标全国1理21,满分12分)设函数/(x) = aeJ lnx +，曲线 y=/(x)在点(1,。1)X处的切级方程为尸e(xT)+2.(1)求 a, b-证明：【思路分析】(2)由(1)知。=1, 6 = 2,2eK' f(x) = ex In .v + .x. x 2于是 /(x) > 1 <=>xlnx>-e e彳 2 设函数 X(x) = xlnx， (x) = ?,e e只需证明g(X)2？砥。2 .如下凰(1)解：函数/(X)的定义域为(0，+8)./,(x) = ac<lnx + cx-cxX XX由题意

3、可得/(1) = 2, /r(l) = e,故 a=l, b=2.(2)证明：由(1)知，/(x) = eA lnA + -eA ,x2从而/“)，等价于e 设函数g(x)=jdnx,则g<x)=l+lnx. 令g'(x) =。，解得x = L.e所以当xw(0,1)时，g"(x)<0： e当 XE(L+8)时，g'(兀)>0，故g (力在(0, 1)上单调递减,在(L + 8)上单调递增 ee从而g (司在(0,+ 8)上的最小仅为双3 二 - L c e2设函数 A(x) = xc " ,则 hr(x) = e ' (I 一幻，

4、 e令1(*) = 0,解得工二葭所以当 iw(0, 1)时，hx) > 0 ：当 XW(1. +8)时，/?"(%) < 0 .故力(工)在(th 1)上单调递增,在(I, + 8)上单调递减,从而(工)在0 +叼上的最大值为4。)=-L e所以在9, +8)上，有Wm/xRA皿.当 时,g(-) = A(l) > A(-)； e ee当刀=1时入= gd”g(D, c综上，当工>0时，g(jr)> A(jc) > 即 “x)>L二、函数极值点存在不可求问题利用函数最值解不等式问题时，遇到函数的最值在极值点处，函数极值存在 却不可求，这时可

5、以考虑设出极值点，利用整体代换的思路求解例2.（2015课标全国I ,文21,满分12分）设函数f（x） = e2xanx,讨论/（X）的导函数广（工）零点的个数：2 （2）证明：当。0时，兀022+°吃.解：/（X）的定义域为（0, +»）, /（力=2铲一f （x0）.当awo时,r（x）o,广（力没有零点.当。0时，因为单调递增，一3单调递增，X所以/在（0,+8）上单调递增.又/'（。）0,假设存在b满足0Q1且尻：时， /r（6）0,故当心0时，/（X）存在唯一零点.证明：由（1）可设/（X）在（0, +8）上的唯一零点为小当xw（0, /）时，/r（x）

6、0 ；当刀£（玉，+ 00）时，/r（x）0 ,故/（工）在（0,刀0）上单调递减，在（玉），+ oo）上单调递增， 所以当尸/时，/（x）取得最小值，最小值为/（%）. 由于-=0,Xo所以 /（X。）= + 2ax0 + a In 2a 4- a In .2x0aa2故当 a 0 时，/（x） 2a + a In .a三、利用超越不等式放缩牢记常用的超越不等式(1) sinx<尤<tanx,(2) cr > Y+ 1 * X H(h(3) In工无>0.常见变式(1) lnx<x-l » xe(O, +oo)：(2) ln(x+l) <

7、; x j x e (-lt+oc)；(3) inx > 1 " - i xe (0* +oo)： xX(4) 一 < In, j 之(1, +QD)*X X -在需要确定函数取值范围时可以利用上述不等式将指数、对数、三角函数等超越函数放缩成非常熟悉的一次函数或反比例函数来分析求解.例"(2013 课标全国“理幻，满分12分)已知函数/(x) -ex - ln(x+ffl) .(I)设x = 0是/S)的极值点，求闭,并讨论/(x)的单调性；(TT)当时用工2,证明/(x) >0,【思路分析】(II)Ooe* -ln(jr + m) > 0 o ln

8、(x + m)<eT»由于ln(x + m)<x + m-1<x + l < el 且三等号不能同时取到.故ln(x + m)<e,原式得证.证明：略四、方程根(函数零点)的个数问题考虑函数零点个数问题时，应根据函数的导数确定原函数的单调性和极值， 可结合函数图象和参数的取值范围确定零点个数， 或根据零点个数确定参数取值 范围.例4.(2。15广东高考文21, 14分)设a为实数，函数 /(父)=(工_疗+1 xa L研qT).(1)若式0)41,求。的取值范围；(2)讨论/(x)的单调性；4当口孑2时，讨论+ 一在区间(0,48)内的零点x个数.【解】

9、(1)/(0)=。2+同-2+0=同+盘,因为/(O)S1,所以|a|+aWl.当oWO时，冏+= a+=OW 1,显然成立： 当>0,则有同+a=2WL所以uW：,所以OswJ,综上所述,。的取值范闱是(-8, J . x) =X1 (2a-l) x9X2 (2a+ 1) x + 2a> x<a.对于 =Ra l)x ,开口向上，其对称轴为2”11x = a < a ,22所以/*)在(m +8)上单调递增：对于% =工2-(2。+1)工十加，开口向上，其对称轴为2q + 11x = a-v >a i22所以/(工)在(一8, a)上单调递减，综上，/(X)在(

10、4+8)上单调递增，在(- 8, Q)上单调递减.(3)由(2)得/(x)在(m +8)上单调递增，在(0, 0)上单调递减，所以/(“篇=)(。)=。一。2,(i )当 q=2 时，/a)min=/(2)=-2,X2 3x»加)=2< _L_/jc2-5x+4j x<2944令加)+：=°，即 ycD=-：a>o) 人<Af因为x)在(0. 2)上单调递减，所以当xe(0, 2)时,W/(x)>/(2) = -2,4而y二-一在(0, 2)上单调递增， x当工£(0, 2)时,有”/=2,4所以与>> =一一在(0，2)

11、无交点X04当X22时，令/(x) = /3x = -一，即/一3兀2 + 4 = 0,所以/一2，一，十4 = 0,所以(x 2)2q+i)= o,4因为x>2,所以x = 2,即当 =2时，/(x)+ 有x一个零点x=2.(ii)当>2时，x)u加=/(a) = 一/ ,当 xe(0, a)时、/(0) = 2a>4 , f(a) = a-a2,4而歹=一-在x£(0, a)上单调递增，x当x=a时，y=一1，4下面比较/(a) = 一 /与一的大小，a因为=(/)= W4)aa_-("2)d+a + 2)-oa4所以/3) = a-a? <.a

12、4结合图象不难得出，当。>2, y=fx) y =有X两个交点,4综上，当。=2时，/(x) +一有一个零点x = 2： x4当a>2,片f(x)与1y = -有两个交点.X五、以高等数学为背景的试题（洛必达法则、拉格朗日中值定理等的应用）遇到含参不等式的证明时常用的两种方式： 对参数分类讨论和参变量分离法对于参变量分离的求解策略关键在于分离后构造的函数要存在最值.如遇最值不 存在的问题，可以考虑用洛必达法则求出函数的极限，再由极限值构造函数例5. （2010课标全国理21,满分12分）设函数/（a:） = ex -1（1）若口 =0,求/（%）的单调区间手（2）若当工2 0时，/

13、（幻XO,求口的取值范围.七1_ 1 _ X【思路分析】（2）由/（幻之0,解得4 0（参X变分离），由洛必达法则可得limeA xx2将问题转化为证明 > <=> 1 XX2 > 0（X > 0） rX3 22”于是得到“口工白”是扁当1工0时, /（工）生0"的充 2分条件,再证明必要性即可.注：洛必达法则在高考中不能直接运用，但可以帮助我 们构造函数.【解】（1） /（X）在（-8,0）匕单调递减，在（0,+8）上 单调递增（详解略）.（2）当x = 0时，/（x） = 020显然成立：/ 一 _ X当工>0时，/(x)>0<=>a<-构造函数g(x) = U' 一1一%0),gXx) = ex-l-x.由(1)知g'(x) = "-l-x在(0, +O0)上单调递增, g'(x) > g(0) = 0，g(x)在(0, 400)上单调递增，g(x)>g(0) = 0,1 9e工一1 x 1|e" - 1 “ x >0 =>> 一,可得 a W 一 2 x222若 时，/(x) = eY-l-2ar, /'(x) = e”-2，易知/'（X）在（0, In 2a）