近十份大学微积分下期末试题汇总含答案)

1、浙江大学2007-2008学年春季学期微积分n »课程期末考试试卷一、填空题(每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)1 .点 M (1,-1,2 )至J平面 x2y+2z1 = 0 的距离 d =.2 .已知 a'= 2, b'=3, ab=3,贝a+b =.3 .设 f(u,v)可微，z= f(xy, yx),则 dz=.4 .设 f(x)在0, 1上连续，且 f(x)>0, a 与b 为常数.D=(x,y)0ExE1,0E yE1,则af(x) bf(y)dc=.d f(x) f(y)2x2 .2x5 .设f(x,y)为连续函数，交换二次积分次序 dx

2、。 f(x,y)dy=二、选择题(每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内)6 .直线1i：工个=七5=色与直线丘!x-y=6的夹角为 1-212y z =3TTTTITTT(A) - .(B) 3 . (Q - .(D)-.7 .设f(x,y)为连续函数，极坐标系中的二次积分JIa一 cos.02 d 0 f (r cos -,r sin -)rdr可以与成直角坐标中的二次积分为1 y -y211 A(A) l0dy0f (x, y)dx (B)J0dyJ0f(x,y)dx1 ：j1 -x21/x 了(C) 10dxi0f(x, y

3、)dy(D) f0dxf0f(x, y)dyx, 0 M x £ 18.设f(x)=12 S(x)为f(x)的以2为周期的余弦级数，则S(-5)=122-2x,- x<1 2(A) 1.(B).(C) 3.(D) -3.2244一y,(x, y) =(0,0),9 .设 f(x,y)=7x4+y4则 f(x,y)在点 O(0,0)处0,(x,y)=(0,0),(A)偏导数存在，函数不连续(B)偏导数不存在，函数连续(C)偏导数存在，函数连续(D)偏导数不存在，函数不连续 三、解答题2x2 3v2 z2 =9 ,4,10 .(本题满分10分)求曲线L: J2： 3y Z9在其上点

4、M(1, 1, 2)处的切z =3x y线方程与法平面方程.11.(本题满分10分)设F可微，z是由F(x-y, y-z,z-x) = 0确定的可微函数，并设L L + Z ；ZF2 ; F3 ,求一'一. ex 二 y12. (本题满分10分)设D是由曲线y = x3与直线y = x围成的两块有界闭区域的2并集，求ex sin(x y)d二.D-22213 .(本题满分10分)求空间曲线L: r 9y 2z =0上的点到xOy平面的距离最大值 x 3y 3z = 5与最小值.14 .(本题满分10分)设平面区域D= (x,y)0<x<1,0<y<1,计算二重积

5、分口 x2 +y2 1 duD15 .(本题满分5分)设当y>0时u(x,y)可微，且已知du(x, y) =( 2 y 2 +xy2)dx+(- 2 x 2 +x2y +2y)dy .求 u(x, y). x yx y浙江大学20072008学年春季学期微积分II »课程期末考试试卷答案一、填空题(每小题 5分，共25分)1 +2 +4 -11. d =22. a+4="（a+b）（a+b）=1# 十向2 +2/b = 44+9+6=炳.3. dz = f1yxy,f2yx1n y dx T f1 xy in x f2xyxJ dyaf Xbf yd二二 af y

6、bf x deD f x f y D f y f x1.2I= a bd；-a b, I=-a b.d25.2x2 _2x01 _ TTTy°dx ° f x,y dy=dy 11y f x，y dx01，.y11 -y或 -dy_ f x，y dx 或 - dy f x, y dx.-1i _ i y01 - 1 y二、选择题（每小题5分，共20分）1 1的方向向量，-2,1 ,12的方向向量-1，-1,2,cosi1，-2,1-1，-1,23_3/.6.6627 .选（D）8 .选（C）9 .选（A）积分区域D = lx，y x2 , y2 m x，y - 0。化成直角

7、坐标后故知选（511111S（-2）=S（-/叼=/（” f（2 °）;0-0fx 0,0 =呵=0, xfy'（0,0）=0,偏导数存在D）k_ 1k4取 y = kxlim f x，kx = limX，0x w . 1 k4随k而异，所以不连续.三、解答题（1014每题10分，15题5分，共55分）10.由L,视x为自变量，有以（x，y，z）=（1，-1,2代入并解出 业，也，得dx dxdy _ 5 dz _ 7 -， 一,dx 4 dx 8所以切线方程为x -1 _ y 1 _ z -2T 方 7r48法平面方程为57(X1 )十一(y 十 1 ) + -(z-2 )

8、=0,即 8x+10y + 7z12 =0 .48NFxF1 -F3Fz FyFiF2，XFz-F2F3y Fz-F2F3-z ；z F3-F2d十一一I .x y F3 - F212. D在第一象限中的一块记为 D, D在第三象限中的一块记为 D，,.eX2Dsin x y de22= e d'.' - Me d'.' ' iisin x y de sin x y de .D1D2D1D2所以，原式=e-2.13. L上的点到平面xoy的距离为|z,它的最大值点，最小值点与 z2的一致，用拉格朗日乘数法，设 F (x, y,乙 K,岂= z2 + 九仪

9、2 +9y2 _ 2z2)+出x+3y + 3z5 卜求偏导数，并令其为零有:F=2九x +N = 0 , =18九y +3k = 0 ,:xFx干干 22=2z 4 九z+3N =0 , =x + 9y 2z=0 ,:zfx干 一 一 一二 x 3y 3z -5 = 0解之得两组解(x, y, z ) = (1,2,1); (x, y, z )2 =(-5，-' ,5).所以当 x=1 1323x=5, 丫 = -5 时,z=5最大.14.将分成如图的两块，1的圆记为D,另一块记为D24JJx2 + y2 -1dcr = JJ(1 -x2 - y2 dcr + 1仅2 + y2 -1

10、 dcr DD1D2y = 1时 z = 1最小；当315.由 du(x, y)=( 2 y 2+xy2)dx+( 2. 2+x2y+2y)dy,有且=2 y 2 +xy2 ,从而知x yx yex x yu(x, y )= arctan +1x2y2 +cp(y),又由四=2-x-2" + x2y + 2y,推知y 2cy x yx一 _2y十x2y+5'(y )=_ 2： 2 +x2y +2y ,1 (x)2x yy所以，u x, y = arctan x - x2 y2 y2 C .y 2注：若用凑的办法亦可:所以，u(x, y )= arctan二+1 x2y2 +

11、y2+C . y 2F '(u k f (u ).浙江大学20062007 学年春季学期«微积分口课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间：年 月日 所需时间：120分钟考生姓名：学号: 专业： 题序一二三四五六七总分得分评卷人、 填空题(每小题5分，满分30分)1 .直线x1 =y =>z二3在平面2x +y -2z-5 =0上的投影直线方程为 2362 .数量场 g (x, y, z) = yex+z2 在 P(1,，3, 0)点的梯度为 U =函数f (x, y, z) = ln(x +1； y2 + z2)在p点沿U的方向导数为 .3 .设z

12、 = f (x, u), u =9(3x, x+2y), f,中具有二阶连续偏导数，则.2二z 二:x ；:y 2 一一 24.设 D =( x, y) | 1 Ex £1, x E y £1,则f(x + xye )dxdy =D222 y z /5.已知曲面xyz=1与椭球面x + +=1在第一卦限内相切，则切点坐标为3 90 x <2oo,S(x)=电十2 an cosnn x ，其中2Mx ：12 x,公共切平面方程为 .X26.设函数f (x)= < xan =2(0 f (x)cosnnx dx , n =0,1,2，则 S(§)=y +2

13、z 1 0二、(满分io分)求直线，绕x轴旋转一周所得的旋转曲面万程2x+y+z2 = 0、，、一142V2三、 (满分io分)计算d dx f e y dy.- 0- 0四、（满分15分）已知z = z（x, y）由方程yz3 +xez +1 =0确定，试求；:x2x=p y J五、（满分15分）设平面n : x + y =1, d（x, y, z）为曲线2x2-y2- =1y 4 上的点（x, y, z）到平面n的距离，求d （x, y, z）的最大，最小值.六、（满分15分）如图是一块密度为 p （常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R的半圆直形的另一边为惯量.（满分5分）h）,已知平面

14、图形的形心位于原点（0, 0）.试求：1.长度h； 2.求证：当t占1, s上0时，成立不等式ts Wtln t-t+es.径上拼上一个矩形，矩薄板绕x轴旋转的转动参考解答:3x 4y + z = 02x + y-2z 5 = 012. 3e, e, 0,23.2 fi2呼2 +2 f22 (3理卬2 +(啊)2) +2f2匚(3叫 +甲22)；4. I；，13，1，3，2 .直线：x =t, y =1 -t, z =1 -t曲面上点P(x,y,z)T直线上点(x0, y0, 222则旋转曲面方程：y2 z2 =2(1 -x)21 二 c 211c 213 0dx 0 e- ydy = .&#

15、176;dy 4y2e ydx= .°e4 .z(0,1) - -1, y 3z2 ez xez z = 0, 二 x二 x、3x y 1 z -3 = 0;6.-38y0 =1 - x0, =1 - x0y (1 -4y2)dycz1=-ex xf3eyT1 .d(x, y, z) = 2| x + y -1|最小距离：d（f,f,-等）=-,最大距离: 33.33211xdxdy = 0Dc 1,六.形心:y = 0, x = xdxdy二 D0 R£, R即 dx xdy，i dr cos r dr = 0.当- -R ，-20七.设 F(t,s) -tint -t

16、es -ts, F(1, 0) -0且对固定的 tA1,当 0 <sclnt, Fs(t,s) <0,当 sAlnt, Fs(t,s)0,所以，s = lnt取得最小值且为0,则 F(t,s)E0,即1、已知心,27则 f (x, y) =12edx =223、函数f(x,y)=x +xy + y -y+1在点取得极值.4、已知 f (x, y) =x + (x + arctan y) arctan y ,则 fx(1,0)=3x5、以y =(C1 +C2x)e ( C1,C2为任意常数)为通解的微分方程是二（1q）xe dx6知0 e 与1 x1npx均收敛，则常数p的取值范围是

17、（c ).(A) p 1(B) p ：1(C)1 : p :2(D) p 24x-,、-22 ,f(x,y) =x +y0,22xy :022xy =0在原点间断,是因为该函数（b ）.（A）在原点无定义（B）在原点二重极限不存在（C）在原点有二重极限，但无定义（D）在原点二重极限存在，但不等于函数值-311- I - 22X-1若88-y2dxdy I2 =31-x2-y2dxdy 13122 wW113 1 - x2 - y2dxdy24刊2 m，则下列关系式成立的是（a).(A)I1I2 I3 (B) I2 I1 I3 (C)(D)I 2 :： I1 :： I 3).9、方程 y、6y&

18、#39;+9y =5（x+1）e3x 具有特解（d(A) y =ax b(B)y = (ax b)e3x(C) y =(ax2 bx)e3x(D)y 二(ax3 bx2)e3x002an10、设n生收敛，则（A）绝对收敛（B）qQ( TTan（条件收敛(C)）.发散(D)不定一、填空题（每小题3分，共15分）x2（1 -y）_11、1+y . 2、行 3、（一33)、1.、y"-6y' y =0311、求由y=x2 , x=4, y =0所围图形V =二（3分）0(42_y"2dy=16n(8-0)-n f0二128二-512二 7y判8二128 二3ji7(834

19、y%y0)x = y3,y>0。且 x=4 时，y=8。于是（6分）JI12、limx_0求二重极限y-0x2 y2 1 -1解:=limx0原式 y 0(x2 y2)( x2y2 11)22x y 1 -1=lim(. x2 y2 T 1) = 2y ；0-2二 z13、z=z（x,y） 由z+ez=xy确定，求汉说.解:设 F(x, y,z)=z +ez -xy ,则Fy - -xFz二1 ez14、解:(3(6分）.:zFx 一一x_-y y.ZFyez 1 ezFz1ez1 ez(3分）1 ez - yzzz.：:yze xy.:x y.:y 1 ez(1ez)21 ez(1ez

20、)2(6用拉格朗日乘数法求22z = x +y +1在条件x + y = 1下的极值.22_ 2_z =x (1 -x) 1 =2x -2x 2z'=4x-2=0，得xx2,z"=4>0,2为极小值点.(3+1 在 y=1（,）下的极小值点为2 2 ,极小值为2(6分)15、计算21 dy 2 eydx y1 y 一I 二 1dy 2 eydx解： 2 y-e - e82(6分）,22、.（x y ）dxdy22 d6、计算二重积分d，其中D是由y轴及圆周x +y =1所围成的在第一象限内的区域.（x2 y2）dxdy%力 .解：D= L10= 8（617、解微分方程y

21、 =y x.解：令p = y'，y"=p：方程化为p'=p+x,于是xx _ x=e -(x 1)eCi = -(x 1) Ge(3分）1y 二 pdx = i -(x 1) C1e dx = -一(x 1) C1eC2二2(6分)00 v ( n3 1 - n3 -1)18、判别级数n的敛散性.Jn3 +1 -Vn3 -1 = / 3解：n3 1 ；n3 -1(3分）- .n3 1 -n3 -1 - n、n dlim 二 lim -11_ n :,n3 1 ,n3.1因为n. n119、将函数3-x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间111z-=1 d 003 -

22、 X 3 1 _ xxn解：由于3,已知1-x n田,-1<x<1,(3分)11 二 x : 1那么=32(7=2 尹 xn_3Vx<3(6 分20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下的经验公式R=15 14x1 32x2 -8x1x2 -2x" -10x222求最优广告策略 解：公司利润为L = R-x1 -x2 =15+13x1 +31x2 -8x1x2 -2x1 -10x2Lx1 =138x2 4x1 =0,4xi +8x2 =13,<令

23、、L；2 =318xi20x2 =0,即、8xi +20x2 =31,3 5(3分）(Xi,X2)=(：,：)= (0.75,1.25) 得驻点44，而A = Lxlxi = -4 ：二 0 B = LxiX2 = -8 C = Lx2X2 = -202D =AC -B =80-64 0 ,所以最优广告策略为：电台广告费用0.75（万元），报纸广告费用1.25（万元）.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）i i；z；z 1x y = 一21、设z=1mx +y ）,证明：改 列3.g 3x q&gy_2*一二-1,-= 1x aa y faX3 y3x3 y3008oO'

24、、U2'' V2% (Un Vn)222、若n生 与n 都收敛，则n工收敛.22222、证.由于 0W(Un +Vn) =Un +Vn +2UnVn <2(Un + Vn )(3 分)oOoO00“ U2'、V2' 2(U2 V2)并由题设知n生与I都收敛，则T收敛，QOV (Un Vn)2从而nm收敛。(6分) 1、设"Xfyx'-y2,则 f （x, y）; .2、已 2 知，则 2 =. 223、设函数f（x, y）=2x +ax+xy +2y在点（1，-1）取得极值，则常数4、已知 f （x，y） =x+ y（x + v4+arc

25、tany）,贝 f；（1，0）=5、以y =Gex +C2e3x（ C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是6、已知广"dx与e dx1 x|npx均收敛，则常数p的取值范围是（）.(A) p 0(B)p 二0(C) p :1(D)227、对于函数 f(x，y)=x -y，点(0,0)().(A)不是驻点(B)是驻点而非极值点(C)是极大值点(D)是极小值L = (x y)2d-8、已知 DI2 = (x y)3d -D22，其中 D(x-2) (y-1) -1 ,则().(A) I1 =I2(B)I1 I2(C),1 2. 2I1 : I 2(D) I 1 = I 29、方程 y、

26、5y'+6y2二xe具有特解().(A) y=ax b(B)y =(ax b)e2x(C) y Kax2 bx)e2xy 二(ax3 bx2)e2xQO% (-1)n210、级数na(A)条件收敛(C)发散nan收敛，则级数cd、ana ().(B)(D)绝对收敛敛散性不定3 小11、求y=x, y=o, x=2所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积.z . 1. 1、lim(xsin ysin -)12、求二重极限二 y xz= arctan7尊13、设1 -xy，求改14、用拉格朗日乘数法求f(x，y)=xy在满足条件x + y=1下的极值.15、计算110dx 0xexydy"

27、;y2dxdy2 / 2彳16、计算二重积分D，其中D是由y轴及圆周x +(y-1)=1所围成的在第一象限内的 区域.17、解微分方程xy y =0I喉；U性.f (x) =119、将函数 x展开成(x -3)的幕级数.20、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元，若生产x单位甲产品，生产22、y单位乙产品的总费用为20x + 30y+0.1（2x 2xy+3y心100,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.21、设口=此尸7”，证明_2_2_2二 u二 u二 u 1T"2 ' T"2 ' 2222二 x二ycz = x yz.

28、OOoOqO'、a2b2'、anbn22、若n工 与n4 都收敛，则n二 收敛.（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分，共15分）1、设 z=x+y+ f(x_y),且当 y=0时，z=xfx（x0, 丫0）和 fy（x0,y。）存在是函数 f（x,y）在点（x0,y0）可微的（A）A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面z=J4 x2 - y2和z = 0及柱面x2+丫2 =1所围的体积是（D ）,贝J z=22(x -2xy +2y +y)二 dx132、计算厂义积分1 x =。 （ 2 ）3

29、、设 z = exy ,贝U 攵11）=4、微分方程y"_5y，+6y = xe2x具有e（dx+dy）形式的特解.（ax2+bx）e2x）v /11乙 un =4乙.-un -n =5、设 1,则 nl22 ) 。 (1)二、选择题（每小题3分，共15分）3sin( x2 y2) lim 22x 0 x y的值为1、 yTxyA.3B.0C.2 D.不存在A.2 -22d r 4 f drJ。J。.B.C、02 ”； .4 drD.4 2du 、. 4-r2dr；二 i 24 02dl r , 4 - r dr4、设二阶常系数非齐次线性方程通解为 （C）。A. x+C1ex+C2e

30、2x.x2xy + py +qy = f(x)有三个特解 y = x, y2 = e , y3 = e ,则其B.C1xC2exc3e2x .X 2xX、C. x+Ci(e -e ) +C2(x-e ). d.x 2x2x 、C1(e - e ) C2 (e - x)J=（-1）nJ、4 P5、无穷级数n 3 n （ p为任意实数）(D)A、收敛 B 、绝对收敛C 、发散 D 、无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）lim xy -1、求下列极限：鸿衍11。lim_xy_=limxy(xy 1 1) 解：x 0 xy 1 -1 x 0 (xy 1)-1（3分）=lim( . xy 11)=

31、11=2 x_0y 0（6分）2、求由y=4与直线x=1、x=4、y=0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。A V 二二解：X（4分）= 7.5 二（6分）L,L,二 z 二 z3、求由ez =xyz所确定的隐函数z=Nxy）的偏导数内解：方程两边对x求导得：z :z：z z yz ze = yz xy , - 一乐纵，有2 e -xy x(z-1)(3分)方程两边对y求导得:z z； z:zxz ze 一 二 xz xy 一 一 二-二zzcyO,有。ye -xy y(z-1).( 6分)3,2-24、求函数 f(x，y)=x -4x +2xy-y 的极值。3,2-2解：f (x, y) =x

32、 -4x +2xy y ,贝(j2fx(x, y)=3x -8x+2yfy (x, y) = 2x-2yfxx(x, y)=6x8fxy(x,y)=2 fyy(x, y) = 2,2f3x -8x+2y=0,求驻点，解方程组（2分）2x-2y = 0,得(0,0)和(2,2).对(0,0)有 fxx(0,0) =8<0, fxy(0,0)=2,fyy(0,0)于是B2-AC=-12<0 ,所以（0，0）是函数的极大值点,且 f(0,0) =0（4分）对(2,2)有鼠(2,2)=4, fxy(2,2)=2,fyy(2,2) = -2.于是B2 -AC =12 >0 , （2,

33、2）不是函数的极值点。-d-6、计算积分D x ，其中D是由直线y=x，y = 2x&x=1，x=2所围成的闭区域;（4分）.-d 解：D x2 2x y1 dxX；dy二3 19（6分）7、已知连续函数f（x）满足x10fd"2xf(x)+x,且 f(1) = 0,求 f(x)。解：关系式两端关于x求导得:，八 1一1f(x)=2f(x)+2xf (x)+1 即 f (x)甚 f(x)=W（2分）这是关于f （x）的一阶线性微分方程，其通解为:(x c) = c - 1 - xx（5分）一、1,f (x)1又f=°,即c-1=0,故c=1,所以Jx（6分）22y

34、-y8、求解微分方程1y =0 o. dpdp22cy = ppp = 0解：令y = p,则 dy,于是原方程可化为：dy 1-y（3分）dp 2 八-p =0即 dy 1 -y-昌dy2,其通解为 p=Ge " c C1(y -1)（5分）dy=ci(y-i)2故原方程通解为:y =1 -1c1x c2（6分）(x-2)n汴的收敛区间。0z9、求级数nm解：令t=x-2,募级数变形为n“ J R = limj 3 n i：n3彳n ,anan -1Mm3：1n '二 3 n（3分）（5分）（6分）aO z 10、判定级数皿sin(2n x)n!是否收敛，如果是收敛级数，指

35、出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为sin(2n x)n!.J n!（2分）由比值判别法知nn!1.(n 1)! lim - n-/：1收敛(.' n!=0),（4分）00E从而由比较判别法知nisin(2n x)n!收敛,所以级数sin(2n x)n+ n!绝对收敛.(6分)aO% （-1）当t = -1时，级数为n卫:1当t=1时，级数为二齐发散.:tn故n43-n的收敛区间是It =-1,1);（x-2）n那么日 赤 的收敛区间为Ix=1,3）四、证明题（每小题5分，共10分）cOoO Un UnUn 11、设正项级数na收敛，证明级数n也收敛。.1/、.UnUn 1 -(Un

36、Un 1) 证：2,（3分）v 1而由已知乙2（un +unQ收敛，故由比较原则，工VUnUn平也收敛。（5分）Z =2、设1 ；z 1 ；z zf（x2 -y2）,其中f（u）为可导函数，证明xfx y到y2；z2xyf =一72证明：因为-x f（2分）2.:z f 2y2ff2（4分）1 jz 1 ;z 2yf - 2.所以 xX y 二y f2.f 2y f 1 zyf2 yf（5分）、填空题（每小题3分，共15分）1、设 z = x+y+f(yx),且当 x=0 时,22x 2xy+2x+y )二 dx2、计算广义积分1 x2。（1）3、设 z = ln(1+x2+y2),贝(jdz

37、(1,2)1 .2 ,一 dx dy(334、微分方程y -6丫9y =5（x De3具有形式的特解.（axrbxbe3、）5(8);3n 1n5、级数ni 9 的和为二、选择题（每小题3分，共15分）1、limx 0y Q3sin( x2y2)2 .2x y的值为A、小存在2、fx（x, y）和fy（x，y）在（X。，yo）存在且连续是函数f（x，y）在点（Xo，yo）可微的（b）A.必要非充分的条件;B.充分非必要的条件;C.充分且必要的条件;D.即非充分又非必要的条件2222，3、由曲面z=J4-x -y和z = 0及柱面x +y =4所围的体积是（b ）A.2 二 4-0 dLr

38、9;4-r2drB.二 224 02dlr . 4 - r drC、02d.02 kdrD.4：du.02,kdr4、设二阶常系数非齐次微分方程y py2+qy = f（刈有三个特解y1=xy2 = e2xy3=e ,则其通解为(D)c / x 2x ., 2x 2C1 (e -e ) +C2(ex ).C1x2C2ex C3e2x .x2 CiexC2e2x.C1(ex -e2x) C2(x2 - ex)oOz5、无穷级数n2p4n （p为任意实数）(A)A、无法判断 B 、绝对收敛C收敛D 、发散三、计算题（每小题6分，共60分）1、求下列极限:limx 0y 02 一 , xy 4xyl

39、im2y_=lim_4二(xy=4L解：；0 xy；：0xy(2；xy 4)( 3分)=limx0y 0（6分）31JI,0,二X =不2、求由在区间 2上，曲线y-s1nx与直线2、y二0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体31解：Vx=二.0rsin2xdx(4分)二1 二24（6分）千 z二e - xy .:z （ 3分）（6分）（3分）（6分）（2分）（4分）三z.z . z,一3、求由e -xyz=xy所确定的隐函数z=z（x，y）的偏导数 汉y解：（一）令 F（x，y，z） =ezxyz xy千而=_yz . y = -xz - x 则以,为，利用公式，得干-:z = _五=_ - yz

40、 - y = yz y:xF ez - xyez - xyjz 千:z； y _ - xz-xxz x.yF ez _xy ez -xy；:z（二）在方程两边同时对 x求导，得解出:z _ yz y -z.x e - xy改 xz x- z 同理解出y e -xy334、求函数 f（x，y）=x -12xy+8y 的极值。33解：f（x，y）=x -12xy+8y ,则_22fx（x，y）=3x -12yfy（x，y）=24y 12xfxx（x，y） =6xfxy（x，y） = -12fyy（x，y） =48y,“2-3x2 -12y =0,2”- 一八求驻点，解方程组24y -i2x=

41、76;，得（°,°）和1）.对（0,0）有 %（0，0）=0, fxy（O,O） = -12, fyy（0,0）=0,于是B2 - AC =144 >0 ,所以（0,0）点不是函数的极值点对（2,1）有 fxx（2,1） =12 , M2,1） = -12 , fyy（2,1） =48于是B2AC=141424 R0 ,且 A = 12>0 ,所以函数在门点取得极小值 f(2,1) =2312父2父1 +8父13 =-8（6分）（5分）（2x y）d。y=x,y n6、计算二重积分d，其中D是由x&y=2所围成的闭区域;2 y11 (2 x y)d；-

42、dy 1 (2x y)dx解：D1（4分）22119= .1(2y .丁阳二人（6分）7、已知连续函数f（x）满足xJ0f出+2f(x)+x = O,求 f(x)解：关系式两端关于x求导得:.1 .1f (x) f (x)二 f(x)+2f (x)+1=0 即-22（2分）这是关于f （x）的一阶线性微分方程，其通解为:x xx二-e 2 (e2 c) = -1 ce 2（5分）x2又 f =0,即 0 = -1+c,故 c = 1,所以 f(x)=e -18、求微分方程(1+x2)y"-2xy'=0的通解“（6分）解 这是一个不明显含有未知函数y的方程作变换令标p,则d2y

43、 dx2dpdx ，十足.原方程降阶为(1 x2)胃2Px=°（3分）dp 2x ,-=2 dx分离变量p 1 xln p =ln(1 +x2) +ln C1_2p =g(1 x )从而dy =C1(1 x2) dx（5分）再积分一次得原方程的递解3xC1(x ) C（6分）y =3:（x-3）n9、求级数T赤的收敛区间。解：令t=x-3,募级数变形为n工 R = lim nn 4 .,1 nlan'lim 口;1同.1|n-n（3分）oO,”（） 当t = -1时,级数为nW1亦收敛;二 1当t=1时,级数为工行发散.二 tn故乙面的收敛区间是It =-1,1）（5分）oO

44、z那么nm(x-3)n面的收敛区间为Ix=2,4）（6分）00z10、判定级数n，cos(n x)n!是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛:解：因为cos(n x)n!（2分）二 1乙 一由比值判别法知nn!收敛（丁1.(n 1)! limn F 二 1n!),（4分）00z从而由比较判别法知nmcos(n x)n!收敛,所以级数0OZndcos(n x)绝对收敛.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）QO' a21、设级数n+ 收敛，证明一二 a一' （an 0）n3 n 也收敛。证：由于（3分）n2都收敛，故1/22(an），ann2收敛，由比较原则知

45、n收敛.。（5分）,222 t- Z - Zz =2cos2(x-)2- - - =02、设2 ,证明：式 力式 。证明：因为（2分）二2z，cos(2x -t) 什.2.2二 z 二 zxct二 tex2z= 2cos(2x-t) -2 ft（4分）-2 2cos(x- -)sin(x -) (-1) =sin(2xt) 由222J 一-z-2-0（5分）:x ft中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案06年砥加 f (x y,-)1、已知x22=x _ y，则 f(x，y)=评 分阅卷 人八 x 2.3、函数f(x，y)=x +xy + y -y+1在点取得极值.4、已知 f （

46、x, y） = x + （x + arctan y） arctan y，贝（J fx（1,0）二3x5、以y=（Ci C2x）e （Ci，C2为任意常数）为通解的微分方程是e-dx2、已知，则，0、选择题（每小题3分，共15分）评 分阅卷 人'e(1 ¥)x7知0e dxdx ,.1 -:-与 1 xln则常数p的取值范围是（).(A) p 1(B)p ：1(C)1 二 p :2(D) p 24x22，f(x,y) =x +y 0,22x y :08数L是因为该函数（22x +y =0在原点间断, ).(A) (B) (C) (D)在原点无定义在原点二重极限不存在在原点有二重极限，但无定义在原点二重极限存在，但不等于函数值Ii8、若11 31 - x2 - y2dxdy I2 =31 - x2 - y2dxdyy2 <1132 YhI32*y2与2 .-y dxdy，则下列关