32双曲线的简单性质

1、3.2双曲线的简单性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几 何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质.1 双曲线的简单几何性质标准 方程2 2笃莒1 aA. y=± x 5 三、解答题10 .根据下列条件，求双曲线的标准方程./15、 b2=经过点 ,3，且一条渐近线为 4x + 3y = 0;(a>0 , b>0)2 2y x 1r T2 = 1 a b(a>0 , b>0)范围对称性关于轴对称关于原点对称顶点(a,0) , ( a,0)渐近线ay =± bx离心率c彳 e= >1a2. (

2、1)双曲线的对称中心叫做双曲线的 ;2 2 双曲线 令一y2=1的两个顶点为Ai( a,0)、A2(a, 0).设Bi(0，- b)、庄(0, b)，线段a bAA叫做双曲线的 ，它的长等于 2a, a叫做双曲线的半实轴长，线段BB叫做双曲线的，它的长等于2b, b叫做双曲线的半虚轴长实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y=± x. 当双曲线的离心率 e由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得 ，原因是b-2b-=1e - 1，当e增大时，-也增大，渐近线的斜率的绝对值aa作业设计、选择题1.下列曲线中离心率为5B. y=± ?xD. y =

3、77; ;x42 2x yA = 1氏242 2 2 2x yc. = 1 462x yD. = 141022 .双曲线25春=1的渐近线方程是()3 双曲线与椭圆4x1 P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为+ y2= 1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y=.2x，则双曲线的方程为()2 2 2 2A. 2x - 4y = 1B. 2x 4y = 22 2 2 2c. 2y 4x = 1D. 2y 4x = 32 2X y4.设双曲线孑一b= 1(a>0, b>0)的虚轴长为2,焦距为2 3,则双曲线的渐近线方程为 ( )B. y=± 2x1D.

4、y=± 2XA. y=± 2xC. y=±2x5 .A.6 .直线I过点(2, 0)且与双曲线X2 y2 = 2仅有一个公共点，则这样的直线有 ()1条B. 2条C. 3条D. 4条2 2F1、F2，点P在双曲线的右支上,X y已知双曲线 孑一 b= 1 (a>0 , b>0)的左、右焦点分别为且|PF1| = 4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()4A-35B-3题号123456答案C. 2、填空题7.两个正数a、b的等差中项是2，一个等比中项是2 2厂x y,6,且a>b，则双曲线 孑一b= 1的离心率e=.8 .在厶ABC中，a,

5、 b, c分别是/ A,/ B,Z C的对边，且 a= 10, c b = 6，则顶点 A运动的轨迹方程是.2 29 .与双曲线 £ * = 1有共同的渐近线，并且经过点(一 3 , 2 3)的双曲线方程为11. 已知双曲线的中心在原点，焦点Fi、F2在坐标轴上，离心率为 2,且过点(4 , - 10).(1)求此双曲线的方程； 若点M(3, m)在双曲线上，求证：MF丄MB;求AF 1MF的面积.能力提升12. 设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A '2B ”313. F1、F2是双曲线的左、 右

6、焦点，P是双曲线上一点， 且ZF 1PFa= 60°, SAPRF2= 12寸3, 又离心率为2，求双曲线的方程.癒反思感悟2X1 双曲线2a2ybz= 1 (a>0 , b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称;其顶点为(土 a,0)，实轴长为2a,虚轴长为2b;其上任一点P(x , y)的横坐标均满足凶>a.cb小2.双曲线的离心率 e =的取值范围是(1 ,+)，其中c2= a2+ b2,且 ='e2 1,离心aa率e越大，双曲线的开口越大可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围.2 2 2 23. 双曲线-2一2= 1 (a&g

7、t;0 , b>0)的渐近线方程为 y=±-x，也可记为一2 善=0;与双曲线a baa b2222y2 = 1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为py2=入(入丰0).32,2¥= 2故选B.3. 2双曲线的简单性质 知识梳理1.标准 方程2 2x y .厂芦1(a>0 , b>0)2 2y x訂 b2= 1(a>0, b>0)范围x>a 或 x< ay>a 或 yw a对称性关于x、y轴对称关于原点对称顶点(a,0) , ( a,O)(P , a) , (O , a)渐近线by=± =xaay=± Lx

8、离心率c e= 一>1ace = >1 a2.(1)中心(2)实轴 虚轴(3)开阔 增大作业设计则双曲线的焦点坐标为2= a2 + b2,得a2 = £ b2= £又由于焦点在 y轴上，因此双曲线的方程为2y24x2 = 1.4. C 由题意知，2b= 2,2c = 2 3，则b = 1, c = 3, a= 2 ;双曲线的渐近线方程为y =± #x.5. C 点（，2, 0）即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.6. B |PF 1| |PF2| = 2a,

9、即 3|PF2| = 2a,5a> 3c,2a所以 |PF2| = >c a，即 2a>3c 3a,即3c 5 则37匹32或3.e = a罟解析 a + b= 5, ab = 6，解得a, b的值为2 2x y8.g 歹 1（x>3）解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则2 xB( 5,0) , C(5,0),276=1(x>3).又 a>b, a= 3, b = 2. - c= 13,从而而|AB| |AC| = 6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为-2 2x y9 = 104|42解析所求双曲线与双曲线:16=

10、1有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程为2話=入（入工0） .点（3,23）在双曲线上,X2 1 -2 110解因直线与渐近线双曲线的焦点在x轴上，设其方程为4x + 3y= 0的交点坐标为7,5，而 3<| 5|，故2 2xy彳2 2= 1 ab2 2所求双曲线的方程为x y = 1.94 32 产12 2故所求的双曲线方程为 x6= 1.x轴上. 设F1、F2为双曲线的两个焦点.依题意，它的焦点在因为 PFPF2，且 |0P| = 6,所以 2c = |FiF2| = 2|0P| = 12,所以 c= 6.n又P与两顶点连线夹角为 可,所以 a= |0P|2 tan * = 2 3,

11、 所以 b2= c2 a2 = 24.2 2故所求的双曲线方程为 爲鲁=1.122411. (1)解/e=2,可设双曲线方程为x2,=入.过点(4，10) , 16 10=入，即入=6.双曲线方程为 X y? = 6.证明易知 F1( 2 3, 0)、F2(23, 0), kMF =m3+ 2. 3kMF=m3 23kMF2kMF 2=9 123'点(3 , m)在双曲线上，2 2 9 m = 6, m= 3,故 kMF2kMF 2= 1, MF 丄 MF.解 F1MF的底戶冋 =4 3,F1F2上的高 h= |m| =3, SA RMF= 6.12.2 2y=ax，D 设双曲线方程为

12、 拿一老=1(a>0 , b>0),如图所示，双曲线的一条渐近线方程为.b b b而 kBF= -，一2( ) = 1,c a c整理得b2 = ac. c2 a2 ac = 0,两边同除以 a2，得 e2 e 1 = 0,解得e= 1 ；，5或e = 1 2 ” 5(舍去)，故选D.2 2x y13.解设双曲线方程为-2 = 1.a bc IF1F2I = 2c,而 e = _= 2.a由双曲线定义得|PF 1| |PF2| = 2a= c.由余弦定理得2 2 2(2c) = |PF1 + |PF2| 2|PF1|PF 2| cosZF 1PF2 =(|PF 1| |PF2|) 2+ 2|PF1|PF 2|(1 cos 60° ).2 2 4c = c + |PF1|PF 2|.又 SA PF