初中几何最值问题5454

1、实用标准文档初中几何最值问题I»例题精讲一、三点共线1、构造三角形【例1】在锐角VABC中，AB=4, BC=5, / ACB=45。，将BBC绕点B按逆时针方向旋转， 得至U AAiBCi .点 E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在 那BC绕点B按逆时针方向旋车t过程中，点P的对应点是点Pi,求线段EPi长度的最大值与最小值.文案大全【巩固】以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作 评OB和ACOD,其中/ ABO=ZDCO =30°.如图，若 BO=3J3,点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点， 在将9OB绕点O旋转的过程中，线

2、段 PN长度的最小值为 ,最大值为.【例2】如图， MON 90°,矩形ABCD的顶点A. B分别在边OM , ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在边OM上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2, BC=1 ,运动过程中，点 D到点 O的最大距离为【巩固】已知：ZXAOB 中，AB OB 2 , ACOD 中，CD OC 3,/ABO / DCO .连接 AD、BC , 点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.若A、O、C三点在同一直线，上，且/ ABO 2 , 固定zAOB ,将ACOD绕点O旋转，则PM的最大值为 【巩固】在平面直角坐标系 xOy中，点A、B分别

3、在x轴、y轴的正半轴上，点 M为线段AB的中点.点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且 DE AB 10 .以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式.11【例3】如图，已知A( ,y1), B(2,y2)为反比例函数y 图像上的两点，动点 P(x,0)在x正半轴上运 2x动，当线段 AP与线段BP之差达到最大时，点 P的坐标是2、轴对称【例1】求x 34Jx21的最小值【例2】AB CD是半径为5的e O的两条弦,AB 8 , CD 6 , MN为直径， AB MN于点E,CD MN于点F , P为EF上任意一点，则 PA+

4、PC的最小值为【巩固】设半径为1的半圆的圆心为O,直径为AB,C、D是半圆上两点，若弧 AC的度数为96。，弧BD 的度数为36°,动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是 【巩固】设正三角形 ABC的边长是2, M是AB边上的中点，P是边BC上任意一点，则 PA+PM的最 大值为，最小值为【例3】如图，已知等边 ABC的边长为1, D、E、F分别是AB、BC AC边上的点(均不与点 A、B、C重 合)，记 DEF的周长为p .若D、E、F分别是AR BCC AC边上任意点，则p的取值范围是 .【例4】如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A. B两点，与

5、y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B. D两点的坐标;(2)请在直线AC上找一点M,使4BDM的周长最小，求出点 M的坐标.图145彳导到射【例5】如图，直线y 昱x 2分别交x轴、y轴于C、A两点，将射线AM绕点A顺时针旋转 3线AN, D为AM上的动点，B为AN上的动点，点 C在/ MAN的内部.(1)当AM/x轴，且四边形 ABCD为梯形时，求 4BCD的面积;(2)求4BCD周长的最小值；(3)当4BCD的周长取得最小值，且5,2 _,BD 时，求4BCD的面积.3【例6】在直角坐标系中，A 1, 2 , B 4, 1 , C m,0 , D n,n为四边形的

6、 4个顶点，当四边形ABCD的周长最短时，m n【巩固】如图1,抛物线y=ax2+bx+c (aw。的顶点为C (1, 4),交x轴于A、B两点，交y轴于点D, 其中点B的坐标为(3,0)。(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点 G为直线PQ上的一动点，则 x轴上师范存在一点四点所围成的四边形周长最小。理由。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标;H,使 D、G、H、F 若不存在，请说明yDOP图2图132【例7】已知，如图1, 一次函数y ax 2ax 3a a 0的图像的顶点为 H ,与x轴父于

7、A、B两点(b在 A的右侧)，点H、B关于直线l ： y43x 33对称.3(1)求A、B两点的坐标，并证明点 A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作BK / AH交直线l于点K , M、N分别为直线 AH和直线l上的两个动点，连结 HN、NM、MK，求 HN NM MK 的最小值.3 c【巩固】如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y 、3x2 bx c的图象与x轴父于A (-1,0)、B (3,0) 2两点，顶点为C .(1)求此二次函数解析式；(2)点D为点C关于x轴的对称点，过点 A作直线l : y 向x 坐交BD于点E,过点B作直线 33BK / AD交直线l于K

8、点.问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P,使得它到四边形 ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若 M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结 DN、NM、MK , 求 DN NM【例8】在平面直角坐标系中，矩形 OACB的顶点O在坐标原点，顶点 A、B分别在x轴、y轴的正半轴上， OA 3, OB 4, D为边OB的中点.CDEF的周长最小时，求点 E、F的坐标.(II)若E、F为边OA上的两个动点，且 EF 2 ,当四边形【巩固】已知点 A (3, 4),点B的坐标为(-1, 1)时，在x轴上另取两点E, F,且EF=

9、1.线段EF在 x轴上平移，线段 EF平移至何处时，四边形 ABEF的周长最小？求出此时点 E的坐标.【例9】已知直线y11 2X 1与y轴父于点A,与X轴父于点D,抛物线y x bx c与直线交于 A、E22两点，与X轴交于B、C两点，且B点坐标为(1, 0).(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM MC |的值最大，求出点 M的坐标。3【巩固】已知：如图，在平面直角坐标系XOy中，直线y -X 6与X轴、y轴的交点分别为A、B,将/4OBA对折，使点。的对应点H落在直线AB上，折痕交X轴于点C.(1)直接写出点C的坐标，并求过 A、B、C三点的抛物线的解析式；

10、 (2)设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为T, Q为线段BT上一点，直接写出|QA QO的取值范围.3、旋转【例1】如图，已知在 AABC中，BC=a, AC=b,以AB为边作等边三角形 ABD.当/ ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的/ ACB的度数.【例2】如图，在平面直角坐标系 xOy中，点B的坐标为(0,2),点D在x轴的正半轴上， ODB 30 , OE为ABOD的中线，过B、E两点的抛物线y ax2 3x c与x轴相交于A、F两点(A在F的 6左侧)(1)求抛物线的解析式；(2)点P为三角形ABO内的一个动点，设 m PA PB PO ,请直接

11、写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段 AP的长.【巩固】已知矩形 ABCD, AD=10, AB=6,在矩形ABCD内有一点P,在BC边上有一点H ,分别确定点P 和H的位置，使得AP DP PH最小【巩固】直角梯形 ABCD中，B C 90 ,在梯形内求作一点 。使OQ BC于Q且。A+OD+OQ 的值最小、垂线段最短【例1】已知AB 10 , p是线段AB上任意一点，在 AB的同侧分别以 APC和BPD,则线段CD长度的最小值是 AP和BP为边作两个等边三角形M、N ,使BM+MN的值最小,【例2】如图，在锐角VABC中，AB 4J2, BAC 45°， BAC的 平分线交B

12、C于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则 BM MN的最小值是 .【巩固】矩形ABCD中，AB 20, BC 10.在AC、AB上各取一点 求这个最小值【例3】如图，在 ABC中，AB=15, AC=12, BC=9,经过点C且与边AB相切的动圆与 CB、CA分别相交于点E、F,则线段EF长度的最小值是【例4】已知在VABC的BC边上取一点D,设VABD和VACD的外接圆的圆心分别是 O和O ,求：使两圆 半径为最小值时点 D的位置【巩固】点M在VABC的AC边上，分另1J作VABM和VCBM的外接圆。问当 M点在什么位置时，两外接圆公共部分的面积最小?A【例5】在已知VABC内，作内接

13、矩形 DEMN ,使一边DE在最大边BC上，另外两个顶点 M、N分别在边AC , AB上。试确定矩形 DEMN的位置，使对角线 DM长最短.【巩固】点P在锐角VABC的边上运动，试确定点 P的位置，使PA+PB+PC最小，并证明你的结论【例6】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于A B两点，D为抛物线的顶点， 。为坐标原点.若 OA、OB(OA OB)的长分别是方程x2 4x 3 0的两根，且 DAB 45°.(1)求抛物线对应的二次函数解析式；(2)过点A作AC AD交抛物线于点 C ,求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，过点 A任作直线l交线段CD于点P,求C、

14、D到直线l的距离分别为d1、d2，试求d1+d2的最大值.【例7】在直角坐标系中， 点A坐标为（-3, -2）,圆A的半径为1, P为x轴上一动点，PQ切圆A于点Q, 则当PQ最小时，P点的坐标为 【巩固】如图，在平面直角坐标系中，已知4OAB是等腰三角形（OB为底边），顶点 A的坐标是（2,4）,点B在x轴上，点Q的坐标是 6 ,0 , AD x轴于点D,点C是AD的中点，点P是直线BC上的一动点（1）求点C的坐标（2）以点P为圆心、 夜为半径作圆，得到动圆 eP ,过点Q作eP的两条切线，切点分布为 E、F ,问： 是否存在以O、E、P、F为顶点的四边形的最小面积为 S?若存在，请求出 S

15、的值；若不存在， 请说明理由.三、与圆相关的最值1、过圆内任一点的弦中，最长的弦是直径，最短的弦是垂直于过该点的直径的弦【例1】如图，。O的半径为5,点P到圆心O的距离为5彳0 ,如果过点P作弦，那 么长度为整数值的弦的条数为 2、设A是。内一点，在连接 A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最短，圆心在其反向延长线上的线段 最长；设 A是。O外一点，在连接 A与圆上各点的线段中，圆心所在线段最长，圆心在其延长线上的线段 最短【例1】在直线MN的同侧有定点 A及定圆圆O,试在MN上求一点P,在圆O上求一点 Q,使AP PQ最【例2】点P在图形M上，点Q在图形N上，记dmaxN为线段PQ长度的最大值

16、，dmin M, N为线段PQ长度的最小彳1,图形 M、N的平均距离Edd max M , N d min M , N2(1)在平面直角坐标系 xOy中，e O是以。为圆心,八132为半径的圆，且”，下B 2,273 ,求Ed A, e O及Ed B, e O ；(直接写出答案即可).Y3x 4Z3与x轴交于点 33(2)半径为1的eC的圆心与坐标原点 O重合，直线于点F ,记线段DF为图形G ,求Ed G，e C .x轴向右移动，eC的半径不变，且(3)在(2)的条件下，如果 eC的圆心C从原点沿5Ed G, e C -,求圆心C的横坐标.3、过圆上点作割线的垂线段，当圆心在这垂线段上时，该

17、点是圆上所有点中到这割线的距离最长的点1【例1】已知：AB是eO中一条长为4的弦，p是eO上一动点，cos apb 问是否存在以 A、P、B 3为顶点的面积最大的三角形 ，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积.4、过圆上的一点作与圆相离的直线的垂线段，当圆心在这条垂线段上时，这点是圆上所有点与该直线距离最长的点；当圆心在这条线段的反向延长线时，这点事圆上所有点与该直线距离最短的点【例1】如图，AB是半圆的直径，线段 CAXAB于点A,线段 DB上AB，点B, AB=2, AC=1, BD=3, P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是 5、一条弧所对的圆内角大于它所对的圆周

18、角，而这圆周角则大于该弧所对的圆外角【例1】B为 MON的边OM上的两点，试在 ON上求作一点C,使 ACB最大【例2】如图所示，直线 CD与线段AB为直径的圆相切于点 D ,并交BA的延长线于点 C ,且AB 2,AD 1, P点在切线CD上移动.当 APB的度数最大时，则 ABP的度数为四、转化类【例1】如图，正方形 ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与 B点或C点重合），分别过 B C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B'、C'、D',则BB'+CC'+DD'的最大值为 ,最小值为.【巩固】在 VABC中， A 120 ,BC6

19、,若VABC的内切圆半径为r ,则r的最大值为2【例2】已知抛物线y ax bx c经过A 4,3B 2 ,0两点，当x 3和x 3时，这条抛物线上对应的纵坐标相等.经过点 C 0 , 2的直线l与x轴平行，O为坐标原点.(1)求直线AB和这条抛物线的解析式;A,判断(2)以A为圆心，AO为半径的圆记为圆 直线l与圆A的位置关系，并说明理由；(3)设直线AB上的点D的横坐标为 1,P m ,n 是抛物线y ax2 bx c上的动点，当PDO的周 长最小时，求四边形 CODP的面积.【例3】在平面直角坐标系 xOy中，O O的半径为2,且A (4, 0) , B (4, 4),点P在OO上运动。 (1)求2BP+AP的最/、值。4(2)右点M是函数y (x>0,xW2)的图象上一点， MEx轴于点E, MF，y轴于点F,记M的横坐2t标为t (t>0,t