上海教育版数学高一上25不等式的证明教案

1、2.5 不等式的证明一、教学内容分析 有关不等式的证明问题一直是数学中的难点，除一些基本方法外还牵涉到相当多的技巧问题.作为高一的不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍，所以教材中也不牵涉过多的技巧问题，主要涉及利用不等式基本性质以及基本不等式来进行证明.二、教学目标设计1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用.4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。三、教学重点及难点重点 利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.难点 分析法的基本思路及其表达.四、教

2、学过程设计一、比较法比较法有两种：（1）比差法：求差与比.（2）比商法：求商与比，要注意讨论分母的符号.例1 求证：（1）. （2）.证明：（1）因为，所以，.（2）因为，所以，.说明本例的几何意义.（1）的图像在的下方，如图所示（A点比B点低1个单位）.（2）的图像在的图像上方，如图所示（A点比B点高）.例2 设，求证：.（补充）证明： 因为，又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.故 .另证：因为，所以，则.当且仅当时等号成立.又，故 .当且仅当时等号成立.说明 此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.二、综合法从已知条件出发，利用各种已知的定

3、理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.例3 已知、均为正数，求证：.证明： ，因为、均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：即，.当且仅当时等号成立.所以，不等式成立.例4 已知、，求证：.证明：.当且仅当时等号成立.所以不等式成立.例5 求证：.证明：因为，由基本不等式得，.当且仅当时等号成立.所以，不等式成立.说明 此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.例6 求证：.证明：一方面， .当且仅当时等号成立.另一方面，.当且仅当时等号成立.所以，当且仅当等号同时成立.说明 利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.三、分析法从要证的结论出发，经过适当的

4、变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.分析法也可以如下叙述为：欲证结论，需先证得，欲要证得，需先证得， 欲要证得，需先证得， 欲要证得，需先证得.当成立时，若以上步步可逆，则结论成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立，因为成立，所以结论成立.说明分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求证：.证明：因为，则要证成立，即证成立，即证成立.即证成立，即证成立，即证成立.因为成立，且以上步步可逆，所以，.例8 已知：，求证

5、：.证明：要证成立，即证成立即证成立，即证成立， 由成立，且以上步步可逆，故有.例9 设、，求证：，并指出等号成立的条件.证：先证“”.注意到，则对于任意、，要证成即证成立，即证成立，即证成立，由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立.再证；“”.由，则对于任意、，要证成立，即证成立，即证成立，即证成立，即证成立，由绝对值定义知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等号成立；综上可得，任意、，不等式成立. 例9证明的不等式对任意的实数、成立，以换得到的不等式，即也成立，此时，右端等号成立，左端等号成立.以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式 对

6、于任意、，（1），左端等号成立，右端等号成立（2），左端等号成立，右端等号成立.说明 有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定.例10 已知，求证：.证明：由三角不等式可得：.所以，.说明 此例为练习2.4（5）中的一题.四、课堂小结五、作业布置选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.五、教学目标说明有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.教学中的难点为分析法的讲解，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要求