二次函数全集汇编及解析

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数全集汇编及解析一、选择题1已知二次函数yax2+bx+c(a0)经过点M(1，2)和点N(1，2)，则下列说法错误的是()Aa+c0B无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2C当函数在x时，y随x的增大而减小D当1mn0时，m+n【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可【详解】解：函数经过点M(1，2)和点N(1，2)，ab+c2，a+b+c2，a+c0，b2，A正确；ca，b2，yax22xa，4+4a20，无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点，x1+x2，x1x21，|x1x2|

2、22，B正确；二次函数yax2+bx+c(a0)的对称轴x，当a0时，不能判定x时，y随x的增大而减小；C错误；1mn0，a0，m+n0，0，m+n；D正确，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键2二次函数yx2+bx的对称轴为直线x2，若关于x的一元二次方程x2+bxt0（t为实数）在1x4的范围内有解，则t的取值范围是（）A0t5B4t5C4t0Dt4【答案】B【解析】【分析】先求出b，确定二次函数解析式，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4时4y5，进而求解；【详解】解：对称轴为直线x2，b4，y

3、x24x，关于x的一元二次方程x2+bxt0的解可以看成二次函数yx24x与直线yt的交点，1x4，二次函数y的取值为4y5，4t5；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键3抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1若关于x的一元二次方程x2+bx+3t0（t为实数）在2x3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A12t3B12t4C12t4D12t3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为yx22x3，将一元二次方程x2bx3t0的实数根看做是yx22x3与函数yt的交点，再

4、由2x3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：yx2bx3的对称轴为直线x1，b2，yx22x3，一元二次方程x2bx3t0的实数根可以看做是yx22x3与函数yt的交点，当x1时，y4；当x3时，y12，函数yx22x3在2x3的范围内12y4，12t4，故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键4二次函数的图象如图所示，下列结论，其中正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】抛物线与x轴由两个交点，则，即，所以正确；由二次函数图象可知，所以，故错误；对称轴：直线，所以，故错误；对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，则抛物

5、线与x轴另一个交点，当时，故正确【详解】解：抛物线与x轴由两个交点，即，所以正确；由二次函数图象可知，故错误；对称轴：直线，故错误；对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，抛物线与x轴另一个交点，当时，故正确故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键5如图是抛物线y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：a-b+c0；3a+b=0；b2=4a（c-n）；一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【答案】C【解析】【分析】利

6、用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对进行判断【详解】抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当x=-1时，y0，即a-b+c0，所以正确；抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，3a+b=3a-2a=a，所

7、以错误；抛物线的顶点坐标为（1，n），=n，b2=4ac-4an=4a（c-n），所以正确；抛物线与直线y=n有一个公共点，抛物线与直线y=n-1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以正确故选C【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.6如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：4a2b+c0；3a+b0；b24a（cn）；一元二次方程ax2+bx+cn1有两个互异实根其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【

8、解析】【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可【详解】抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x1，抛物线与x轴的另一个交点在点（2，0）和（1，0）之间，当x2时，y0，即4a2b+c0，所以不符合题意；抛物线的对称轴为直线x1，即b2a，3a+b3a2aa0，所以不符合题意；抛物线的顶点坐标为（1，n），n，b24ac4an4a（cn），所以符合题意；抛物线与直线yn有一个公共点，抛物线与直线yn1有2个公共点，一元二次方程ax2+bx+cn1有两个不相等的实数根，所以符合

9、题意故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键7若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”例如：P（1，0）、Q（2，2）都是“整点”抛物线ymx24mx+4m2（m0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（）Am1Bm1C1m2D1m2【答案】B【解析】【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围【详解】ymx24mx+4m2m（x2）22且m0，该抛物线开口向上

10、，顶点坐标为（2，2），对称轴是直线x2由此可知点（2，0）、点（2，1）、顶点（2，2）符合题意当该抛物线经过点（1，1）和（3，1）时（如答案图1），这两个点符合题意将（1，1）代入ymx24mx+4m2得到1m4m+4m2解得m1此时抛物线解析式为yx24x+2由y0得x24x+20解得 x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意则当m1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，1）、（3，1）、（2，1）、（2，2）这7个整点符合题意m1【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】答案图1（m1时） 答案图2（ m时）当该抛物线经过点（0，0

11、）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意将（0，0）代入ymx24mx+4m2得到004m+02解得m此时抛物线解析式为yx22x当x1时，得点（1，1）符合题意当x3时，得.点（3，1）符合题意综上可知：当m时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，1）、（3，1）、（2，2）、（2，1）都符合题意，共有9个整点符合题意，m不符合题m综合可得：当m1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，故选：B【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解

12、题的关键.8如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；，其中正确的结论是 ABCD【答案】D【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以；时，由图像可知此时，所以；由对称轴，可得；当时，由图像可知此时，即，将代入可得.【详解】根据抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，所以，故正确.时，由图像可知此时，即，故正确.由对称轴，可得，所以错误，故错误；当时，由图像可知此时，即，将中变形为，代入可得，故正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。9将抛物线yx24x+1向左

13、平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（）A5B6C7D8【答案】B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线yx24x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=23=6；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键10若二次函数的图象经过点（1，0），

14、则方程的解为（ ）A，B，C，D，【答案】C【解析】【分析】【详解】二次函数的图象经过点（1，0），方程一定有一个解为：x=1，抛物线的对称轴为：直线x=1，二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），方程的解为：，故选C考点：抛物线与x轴的交点11已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）Aac0Bb0Ca+c0Da+b+c0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【详解】A.由图象可知：a0，c0，ac0，故A错误；B.由对称轴可知：x0，b0，故B错误；C.由对称轴可知：x1，b2a，x1时，y0，a+b+c0，c3a，a+ca3a

15、2a0，故C错误；故选D【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型12二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（m1），其中正确结论的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】B【解析】【分析】【详解】解：抛物线和x轴有两个交点，b24ac0，4acb20，正确；对称轴是直线x1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，抛物线和x轴的另一个交点在（3，0）和（2，0）之间，把（2，0）代入抛物线得：y=4a2b+c0，4a+c2b，错误；把（1，0）代入

16、抛物线得：y=a+b+c0，2a+2b+2c0，b=2a，3b，2c0，正确；抛物线的对称轴是直线x=1，y=ab+c的值最大，即把（m，0）（m0）代入得：y=am2+bm+cab+c，am2+bm+ba，即m（am+b）+ba，正确；即正确的有3个，故选B考点：二次函数图象与系数的关系13如图，已知将抛物线沿轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”）.现将抛物线沿轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】画出图象，利用图象

17、可得m的取值范围【详解】解： 该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，将(0，1)代入得到1=a+2.解得a=-1.将(1, 0)代入得到0= 4a+2.解得a= 有11个整点，点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.综上可知:当 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-

18、2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意,故选: D.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.14二次函数（是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：012且当时，与其对应的函数值有下列结论：；和3是关于的方程的两个根；其中，正确结论的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解【详解】由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2抛物线的对称轴是：x=-=；a、b异号，且b=-a；当x=0时y=c=-2cabc0，故正确；根据抛物线的对称性可得当

19、x=-2和x=3时的函数值相等都为t和3是关于的方程的两个根；故正确；b=-a，c=-2二次函数解析式：当时，与其对应的函数值，a；当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n，m=n=2a-2，m+n=4a-4；故错误故选：C【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量与函数值的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键15若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*baba+b，如：3*2323+25以下说法中错误的是（）A不等式（2）*（3x）2的解集是x3B函数y（x+2）

20、*x的图象与x轴有两个交点C在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D方程（x2）*35的解是x5【答案】D【解析】【分析】根据题目中所给的运算法则列出不等式，解不等式即可判定选项A；根据题目中所给的运算法则求得函数解析式，由此即可判定选项B；根据题目中所给的运算法则可得a*（a+1）a（a+1）a+（a+1）a2+a+1（a+）2+0，由此即可判定选项C；根据题目中所给的运算法则列出方程，解方程即可判定选项D.【详解】a*baba+b，（2）*（3x）（2）（3x）（2）+（3x）x1，（2）*（3x）2，x12，解得x3，故选项A正确；y（x+2）*x（x+2）x（x+

21、2）+xx2+2x2，当y0时，x2+2x20，解得，x11+，x21，故选项B正确；a*（a+1）a（a+1）a+（a+1）a2+a+1（a+）2+0，在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；（x2）*35，（x2）3（x2）+35，解得，x3，故选项D错误；故选D【点睛】本题是阅读理解题，根据题目中所给的运算法则得到相应的运算式子是解决问题的关键.16若A（4，），B（3，），C（1，）为二次函数y=x2+4xm的图象上的三点，则，的大小关系是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可【详解】解：y1=（-

22、4）2+4（-4）=16-16 =，y2=（-3）2+4（-3） =9-12 =，y3=12+4 1=1+4 =5，-35，y2y1y3故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响17二次函数y=x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程x2+mxt=0（t为实数）在1x5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）At5B5t3C3t4D5t4【答案】D【解析】【分析】先根据对称轴x=2求得m的值，然后求得x=1和x=5时y的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t在直线y=5和直线y=4之间包括直线y=4【详解】抛物线的对称

23、轴为x2，m=4如图，关于x的一元二次方程x2+mxt=0的解就是抛物线y=x2+mx与直线y=t的交点的横坐标当x=1时，y=3，当x=5时，y=5，由图象可知关于x的一元二次方程x2+mxt=0（t为实数）在1x5的范围内有解，则直线y=t在直线y=5和直线y=4之间包括直线y=4，5t4故选：D【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x轴(或某直线)有交点18如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：abc0；a-b+c=0；2a+b=0；2a+c0；若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3

24、）为抛物线上三点，且-1x1x21，x33，则y2y1y3，其中正确的结论是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】abc0，由图象知c0，a、b异号，所以，错误；a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；2a+c0，由、知：3a+c=0，而-a0，2a+c0，故错误；若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1x1x21，x33，则y2y1y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确【详解】解：abc0，由图象知c0，a、b异号，所以，错误；a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；2a+b=0，函数对称轴x=-=1，故正确；2a+c0，由、知：3a+c=0，而-a0，2a+c0，故错误；若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1x1x21，x33，则y2y1y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确；故选D【点睛】考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=1等特殊点y的值19如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：；.其中，正确结论的个数是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论【详解