二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

1、精选优质文档-倾情为你奉上二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念.（2）三个二次的关系.（3）一元二次不等式的解法.知识点拓展:（4）分式不等式的解法.（5）高次不等式的解法.二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式.（2）解含参数的一元二次不等式.（3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法.（5）不等式恒成立问题.（6）一元二次不等式的应用.三、知识点讲解.知识点 一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如（0）或（0）（其中）的不等式叫做一元二次不等式

2、.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.知识点 三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程与二次函数的关系是:（1）当0时,一元二次方程有实数根,二次函数的图象与轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;当时,一元二次方程有两个不相等的实数根,二次函数的图象与轴有两个不同的交点;当时,一元二次方程有两个相等的实数根,二次函数的图象与轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当时,一元二次

3、方程无实数根,二次函数的图象与轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数的关系是:（1）一元二次不等式（0）的解集就是二次函数的图象位于轴上方（包括轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式（0）的解集就是二次函数的图象位于轴下方（包括轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.知识点 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;（2）计算的值,并判断的符号;（3）当0时,求出相应的一元二次方程的根;（4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次

4、不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,当时,一元二次不等式的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;当时,一元二次不等式的解集为;一元二次不等式的解集为;当时,一元二次不等式的解集为R;一元二次不等式的解集为.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:判别式二次函数的图象（）图象说明图象与轴有两个不同的交点图象与轴只有一个交点（顶点在轴上）图象与轴没有交点一元二次方程的解有两个不相等的实数根有两个相等的实数根

5、没有实数根的解集R的解集一元二次不等式在R上恒成立的问题（1）在R上恒成立,则有:或;（2）在R上恒成立,则有:或;（3）一元二次不等式0在R上恒成立,则有:;（4）一元二次不等式0在R上恒成立,则有:.补充概念 二次函数的零点 我们把使一元二次方程的实数叫做二次函数的零点.对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点 分式不等式的解法分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等

6、式. 利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式:; 0; ; 0.分式不等式的解法 解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解. 解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.各标准形式的分式不等式的解法为:（1）与不等式组或同解,与不等式同解;（2）0与不等式组同解;（3）与不等式组或同解,与不等式同解;（4）0与不等式组.由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点 高次不等式的解法 解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因

7、式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根;（3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式.分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:.对于方程,该方程有两个不相等的实数根,解之得:.不等式的解集

8、为.点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于的不等式的解集为,求不等式的解集.分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出的值.注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根.解: 由题意可知:.关于的不等式的解集为是方程的两个实数根由根与系数的关系定理可得:,解之得:.即,解之得:.不等式的解集为.例3. 一元二次不等式的解集为 【 】（A） （B）（C） （D）分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正

9、数.解: 原不等式可化为:.方程的根为.不等式的解集为,即原不等式的解集.选择答案【 C 】.例4. 已知不等式的解集为空集,则实数的取值范围是 【 】（A） （B）（C） （D）分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题. 不等式的解集为空集,即相应的二次函数的图象位于轴上及其上方,或者不等式0在R上恒成立.解: 不等式的解集为空集0,解之得:4.实数的取值范围是.选择答案【 A 】.例5. 若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是 【 】（A） （B）（C） （D）分析 本题由题意可知:.解: .其解集为.实数的取值范围是.选择

10、答案【 D 】.例6. 已知函数的定义域为,则实数的值为_,实数的值为_.解: 函数的定义域为一元二次不等式0的解集为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.实数的值为,实数的值为3.例7. 已知函数.（1）当时,求不等式的解集;（2）若的解集为,求的最小值.解:（1）时,.,解之得:或.不等式的解集为;（2）的解集为,且,解之得:.,.当且仅当,即时,等号成立.此时,符合题意.的最小值为9.例8. 解关于的不等式（）.分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ,.,分为两种情况:

11、当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.综上所述,当当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为.另解: 解方程（）得:.分为两种情况:当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.综上所述,当当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为.点评 不等式（）可化为.当时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式;当时,原不等式同解于不等式.例9. 若对于,恒成立,则实数的取值范围是 【 】（A） （B）（C） （D）.解: 恒成立只需即可.当且仅当,即时,等号成立.,即实数的取值范围是.选择答案【 D 】.例10.（1）若关于的不等式（R）的解集为（R）,求的值;（2）解关于的不

12、等式（R）.解:（1）由题意可知:.一元二次方程的根为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.的值为1,的值为2;（2）（R）.当时,原不等式为,解之得:.原不等式的解集为;当时,原不等式可化为.若,则原不等式的解集为;若时,原不等式同解于,且原不等式的解集为;若,原不等式为,其解集为;若,则,则原不等式的解集为.综上所述,当时, 原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例11.已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为,求实数的值;（2）若不等式恒成立,求实数的取值范围.解:（1）由题意可知:.一元二次方程的根是.由根与

13、系数的关系定理:,解之得:.实数的值为;（2）当时,恒成立,符合题意;当时,由题意可知:,解之得:.综上所述,实数的取值范围为.例12. 若14,不等式恒成立,求实数的取值范围.分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: .14当时,显然成立,R;当4时,恒成立,只需即可.当且仅当,即时,等号成立.此时,符合题意.4.综上所述,实数的取值范围是.例13. 已知不等式.（1）当R时不等式恒成立,求实数的取值范围;（2）当时不等式恒成立,求实数的取值范围.解:（1）当时,恒成立,符合题意;当时,则有,解之得:.综上,实数的取值范围是

14、;（2）当时,显然时,恒成立,符合题意;当时,.若,显然恒成立,此时R;若3,则恒成立,只需即可.综上所述,实数的取值范围为.例14. 解关于的不等式0.解: 当时,0,解之得:0.原不等式的解集为;当时,原不等式可化为00.方程的两个实数根分别为.当时,原不等式的解集为;当时,原不等式同解于0,且.原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例15. 已知关于的不等式.（1）当时,解不等式;（2）当R时,解不等式.解:（1）当时,.解之得:或.原不等式的解集为;（2）原不等式可化为.当时,解之得:.原不等式的解集为;当时,原不等式可化为

15、.方程的根为.当时,原不等式同解于,且.原不等式的解集为;当时,原不等式同解于.若,则,原不等式的解集为;若,则,原不等式的解集为;若,则,原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例16. 已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为,求实数的取值;（2）若不等式的解集为R,求实数的取值范围.解:（1）由题意可知:.一元二次方程的两个实数根分别为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.实数的值为;（2）当时,原不等式的解集为,不符合题意;当时,则有:,解之得:.综上所述,实数的取值范围是.例

16、17. 已知0恒成立,解关于的不等式.解:0恒成立当时,10恒成立,符合题意;当时,则有:,解之得:1.综上,实数的取值范围是.对于不等式当01时,原不等式可化为,方程的根为.若1,则,原不等式的解集为;若,则,原不等式的解集为;若,则,原不等式的解集为.综上所述,对于不等式:当1时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当0时,不等式的解集为.例18. 不等式0的解集为,则 【 】（A） （B） （C）1 （D）3解: 原不等式可化为0,同解于.方程的解为.该不等式的解集为,或,或.选择答案【 B 】.例19. 已知函数（为常数）,且方程的两个根为,.（1）求的值;（2）设,解关于的不等式.

17、解:（1）由题意可得:,整理得:,解之得:.的值为,的值为2;（2）由（1）可知:.,.原不等式同解于.当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.例20. 已知集合,.（1）当时,求;（2）若,求实数的取值范围.解:（1）当时,;（2）R,恒有,.当,即时,.,解之得: 23.实数的取值范围是;当,即时,显然不符合题意;当,即时,.,解之得: .实数的取值范围是.综上所述,实数的取值范围是.例21. 已知不等式.（1）若对任意实数不等式恒成立,求实数的取值范围;（2）若对于04不等式

18、恒成立,求实数的取值范围.解:（1）.对任意实数不等式恒成立,解之得: .实数的取值范围是;（2）.对,不等式恒成立,解之得:且.实数的取值范围是.点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设,求使,且1恒成立的的取值范围.解: ,1,.对恒成立.设,则有:,解之得:.实数的取值范围是.重要结论 一次函数在区间上的恒成立问题:（1）若恒成立,则;（2）若恒成立,则.例23. 设函数,若对于,恒成立,求的取值范围.解: 在上恒成立在上恒成立.令,只需即可.函数图象的

19、对称轴为直线.当时,在上单调递增,解之得:.;当时,在上单调递减,解之得:.综上所述,的取值范围是.另解: 在上恒成立在上恒成立.在上恒成立.只需即可.的取值范围是.例24. 已知集合,对于任意的,使不等式恒成立的的取值范围是_.解: .当时,不等式恒成立恒成立.设,则有:,解之得:或.的取值范围是.例25. 对一切实数,不等式0恒成立,则实数的取值范围是_.解: 当时,显然对R成立;当时,只需即可.,.实数的取值范围是.例26. 已知,且0恒成立,则实数的取值范围是_.解: ,.0恒成立恒成立,只需即可.（当且仅当时,等号成立）,24,解之得:5.实数的取值范围是.例27. 已知,对任意正实

20、数,不等式恒成立,求实数的取值范围.解: ,.当且仅当,即时,等号成立.的最小值为不等式恒成立,解之得:.实数的取值范围是.例28. 若关于的不等式的解集为R,则实数的取值范围是_.解: 在R上恒成立原不等式同解于不等式,其解集为R当时, 在R上恒成立,符合题意;当时,则有:,解之得:.综上所述,实数的取值范围是.例29.（1）解关于的不等式（R）;（2）若4时,不等式恒成立,求实数的取值范围.解:（1）0.当时,原不等式的解集为;当时,0,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.综上所述,当当时,原不等式的解集为;当时,0,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.（2）由题意可知,当时,

21、不等式0恒成立.当时,恒成立,只需即可.,.当且仅当,即时,等号成立.4,即实数的取值范围为.例30.（1）已知命题R,0,命题R,若为真命题,为假命题,求实数的取值范围;（2）已知,二次函数,其中均为实数,证明对任意（01）,均有1成立的充要条件是.解:（1）命题R,0为真命题0,解之得: 1.命题R,为假命题:R,为真命题.,解之得:.实数的取值范围是;（2）证明: 二次函数图象的对称轴为直线.,1.,函数的最大值在顶点处取得,即.充分性: ,即1.1;必要性: ,均有1成立.1,即1,解之得: .综上所述, 对任意（01）,均有1成立的充要条件是.例31.已知关于的不等式0（R）的解集为M.（1）当M为空集时,求的取值范围;（2）在（1）的条件下,求的最小值;（3）当M不为空集,且时,求实数的取值范围.解:（1）不等式0（R）的解集为M为空集,解之得:.的取值范围是;（2）由（1）可知: ,.当且仅当,即时,等号成立.的最小值为4;（3）由题意可知,方程的两个实数根均在内设,则有:,解之得: 2.实数的取值范围是.例32. 当时,若关于的二次方程有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.分析 本题考查的是一元二次方程的K分布:两根均在内.解: .设.该方程在内有两个不相等的实数根,解之得:.实数的取值范围是.重要结论 一元二次方程的实数根的K分