大学物理：第5章 机械波

1、波波 动动第五章第五章1 振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动动,简称为波简称为波(wave)。机械振动或扰动在介质中机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波，如声波、水波和地震波等。的传播称为机械波，如声波、水波和地震波等。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，例如无线电波、光波和例如无线电波、光波和X射线等。射线等。 机械波只能在介质中传播，例如声波的传播机械波只能在介质中传播，例如声波的传播要有空气作介质，水波的传播要有水作介质。要有空气作介质，水波的传播要有水作介质。但是，电磁波但是，电磁波（光光）的

2、传播不需要介质，它可的传播不需要介质，它可以在真空中传播。以在真空中传播。 机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的是某种实在的物理量的波动。是某种实在的物理量的波动。2 虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有具有叠加性叠加性，都能发生，都能发生干涉干涉和和衍射衍射现象，也就现象，也就是说它们所具有的波动的普遍性质。是说它们所具有的波动的普遍性质。 除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现象外，实验中发现，电子、质子和中子这些微象外，实验中发现，电子、质子和中子这些微观粒子也能发生

3、干涉和衍射。因此，微观粒子观粒子也能发生干涉和衍射。因此，微观粒子也具有波动性。也具有波动性。 简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是最简单的波。我们以机械波中的简谐波为例来最简单的波。我们以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质。介绍波动的普遍性质。31 波动的基本概念波动的基本概念2 简谐波简谐波3 波动方程与波速波动方程与波速4 波的能量波的能量5 惠更斯原理惠更斯原理6 波的叠加波的叠加7 声波声波8 多普勒效应多普勒效应第第5章章 波波 动动4波动波动横波的形成与传播横波的形成与传播1.swf波动波动横波的形成与传播横波的形成与传播2.swf波

4、动波动横波的形成与传播横波的形成与传播3.swf波动波动横波的形成与传播横波的形成与传播4.swf波动波动纵波的形成与传播纵波的形成与传播1.swf波动波动纵波的形成与传播纵波的形成与传播2.swf动画演示动画演示51 波动的基本概念波动的基本概念一一. 机械波的形成机械波的形成当手猛然向上抖动一次时，当手猛然向上抖动一次时， 就会看到一个突起状的扰动沿绳向另一端传去。就会看到一个突起状的扰动沿绳向另一端传去。这是因为各段绳之间都有相互作用的弹力联系着。这是因为各段绳之间都有相互作用的弹力联系着。当用手向上抖动绳的这一端的第一个质点时，当用手向上抖动绳的这一端的第一个质点时，带动第二个质点向上

5、运动，第二个又带动第三个，依次下去。带动第二个质点向上运动，第二个又带动第三个，依次下去。当手向下拉动第一个质点回到原来位置时，当手向下拉动第一个质点回到原来位置时，它也要带动第二个质点回来，它也要带动第二个质点回来，而后第三个质点、第四个质点等而后第三个质点、第四个质点等也将被依次带动回到各自原来的位置。也将被依次带动回到各自原来的位置。结果，由手抖动引起的扰动就不限在绳的这一端结果，由手抖动引起的扰动就不限在绳的这一端而是要向另一端传开了。而是要向另一端传开了。 扰动中质元的运动方向和扰动的传播方向垂直，扰动中质元的运动方向和扰动的传播方向垂直， 这种波叫这种波叫横波横波。(脉冲横波脉冲横

6、波) 脉冲横波的产生脉冲横波的产生 6用手在长弹簧一端沿水平方向猛然向前推一下，用手在长弹簧一端沿水平方向猛然向前推一下，则靠近手的一小段弹簧就突然被压缩。则靠近手的一小段弹簧就突然被压缩。 由于各段弹簧之间的弹力作用，由于各段弹簧之间的弹力作用，这一压缩的扰动也会沿弹簧向这一压缩的扰动也会沿弹簧向 另一端传播而形成一个脉冲波。另一端传播而形成一个脉冲波。在这种情况下，在这种情况下，扰动中质元的运动方向和扰动的传播方向在一条直线上，扰动中质元的运动方向和扰动的传播方向在一条直线上， 这种波叫这种波叫纵波纵波。（脉冲纵波）。（脉冲纵波）脉冲纵波脉冲纵波 的产生的产生 7 t = 00481620

7、 12 24如果介质中某一质点在外界作用下离开了它的平衡位置，如果介质中某一质点在外界作用下离开了它的平衡位置，它就受到邻近质点给它的指向平衡位置的弹性回复力作用，它就受到邻近质点给它的指向平衡位置的弹性回复力作用， 迫使它回到平衡位置。迫使它回到平衡位置。 vft = T/4 f简谐横波在介质中的形成与传播简谐横波在介质中的形成与传播8 t = 00481620 12 24vft = T/4 f到达平衡位置时，弹性回复力消失，到达平衡位置时，弹性回复力消失， 但由于有惯性，不会停留在平衡位置上不动，但由于有惯性，不会停留在平衡位置上不动，而是在其附近振动起来。而是在其附近振动起来。 t =

8、T/2 vt = 3T/4f t = T v9 t = 00481620 12 24vft = T/4 ft = T/2 vt = 3T/4f t = T v同时邻近质点也受到该质点的弹性力而产生位移，同时邻近质点也受到该质点的弹性力而产生位移， 迫使它也在自己的平衡位置附近振动。迫使它也在自己的平衡位置附近振动。 10简谐纵波在介质中的形成与传播简谐纵波在介质中的形成与传播 11横波和纵波是弹性介质内波的两种基本形式。横波和纵波是弹性介质内波的两种基本形式。要特别注意的是要特别注意的是，不管是横波还是纵波，不管是横波还是纵波， 都只是扰动都只是扰动(即一定的运动形态即一定的运动形态)的传播，

9、的传播，介质本身并没有发生沿波的传播方向的迁移，介质本身并没有发生沿波的传播方向的迁移， 媒质中各质元并未媒质中各质元并未“随波逐流随波逐流”。另外，沿着波传播方向，各质元振动存在相位差。另外，沿着波传播方向，各质元振动存在相位差。 波动伴随着能量的传播。波动伴随着能量的传播。12 t = 00481620 12 24vft = T/4 ft = T/2 vt = 3T/4f t = T v弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时， 因媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播开去，因媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播开去， 这就形成了波动这就形成了波动 机械波机

10、械波。以横波为例以横波为例13 t = 00481620 12 24vft = T/4 ft = T/2 vt = 3T/4f t = T v“上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振动。的质元振动。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于 “下游下游”某处出现。某处出现。 以横波为例以横波为例14 t = 00481620 12 24vft = T/4 ft = T/2 vt = 3T/4f t = T v波动是振动波动是振动状态状态的传播，的传播，不是不是媒质媒质的传播。的传播。以横波为例以横波为例15 t = 00481620 12

11、24vft = T/4 ft = T/2 vt = 3T/4f t = T v以横波为例以横波为例16机械波的产生机械波的产生 首先要有作机械振动的物体作为首先要有作机械振动的物体作为波源波源， 其次要有能够传播机械振动的介质，其次要有能够传播机械振动的介质，通过介质各部分之间的弹性相互作用才能通过介质各部分之间的弹性相互作用才能 把振动传播出去，即要有把振动传播出去，即要有弹性介质弹性介质，所以机械波也叫弹性波。所以机械波也叫弹性波。弹性介质可以是固体、液体或气体。弹性介质可以是固体、液体或气体。横波和纵波是弹性介质内机械波的两种基本形式。横波和纵波是弹性介质内机械波的两种基本形式。 机械波

12、的产生的条件机械波的产生的条件17二二 、波的几何描述、波的几何描述波线波线: 表示波的传播方向的射线表示波的传播方向的射线（波射线）（波射线）波面波面:介质振动相位相同的点组成的面介质振动相位相同的点组成的面（同相面）（同相面）波阵面波阵面:某一时刻处在最前面的波面某一时刻处在最前面的波面 （波前）（波前）平面波平面波波波线线 波面波面球面波球面波波面波面波波线线 波线与波面始终垂直波线与波面始终垂直 18动画演示动画演示波动波动波阵面波阵面1.swf波动波动波阵面波阵面2.swf波动波动波阵面波阵面3.swf波动波动波的图象波的图象.swf波动波动波的表达式波的表达式1.swf波动波动波的

13、表达式波的表达式2.swf波动波动波的表达式波的表达式3.swf波动波动波函数意义波函数意义.swf波动波动波形的传播波形的传播1.swf波动波动波形的传播波形的传播2.swf19三、波函数与波形曲线三、波函数与波形曲线把介质中各质点位移随时间与空间坐标的变化规律把介质中各质点位移随时间与空间坐标的变化规律 用数学形式表示出来，就是用数学形式表示出来，就是波函数波函数。 )()0 ,(0tfty0yt设平衡位置在原点的质点的位移设平衡位置在原点的质点的位移 与时间与时间 的关系为的关系为只要知道其中一个质点是怎样振动的，只要知道其中一个质点是怎样振动的， 就可以知道其它质点的振动情况。就可以知

14、道其它质点的振动情况。)(tf其中，其中， 是时间的已知函数是时间的已知函数 这实际上就是处在坐标原点处的质点的振动函数这实际上就是处在坐标原点处的质点的振动函数20)()0 ,(0tftyuxouxt x),(xttyux波速为波速为 的沿的沿 正向传播的波正向传播的波 )()0 ,(0tfty)()0 ,(),(0uxtfuxtyxtyx平衡位置在平衡位置在 处的质点也将做同样的振动，处的质点也将做同样的振动，xux/但因原点的振动状态传到但因原点的振动状态传到 处要经过处要经过 的时间，的时间，xt所以平衡位置在所以平衡位置在 处的质点在处的质点在 时刻的位移等于时刻的位移等于)/(ux

15、t 平衡位置在原点的质点在平衡位置在原点的质点在 时刻的位移时刻的位移21ux波速为波速为 的沿的沿 负向传播的波负向传播的波 )()0 ,(0tfty)()0 ,(),(0uxtfuxtyxtyx由于平衡位置在由于平衡位置在 处的质点其振动状态处的质点其振动状态uxoux/传播到原点要历时传播到原点要历时 ，t所以它在所以它在 时刻的位移就与平衡位置在原点的质点时刻的位移就与平衡位置在原点的质点)/(uxt 在在 时刻的位移相同时刻的位移相同 ),( xtyxuxt )0 ,(0tty220tt yx对于某一特定时刻对于某一特定时刻 ， 只是只是 的函数，的函数，它表示各质点的位移与其在空间

16、的位置的关系它表示各质点的位移与其在空间的位置的关系波形曲线波形曲线0tt （在（在 时刻，各质点相对于自己的平衡位置的位移），时刻，各质点相对于自己的平衡位置的位移），表示这一关系的曲线叫做表示这一关系的曲线叫做波形曲线波形曲线。波函数波函数和和波形曲线波形曲线，是波的数学描述。，是波的数学描述。随着时间的推移，随着时间的推移，u这一曲线将保持原状以速度这一曲线将保持原状以速度 沿波的传播方向平移。沿波的传播方向平移。),( xty23单位时间里振动状态向前传播的距离单位时间里振动状态向前传播的距离),( xtyux),(xxttytxtxu它由介质的性质决定，与波源情况无关。它由介质的性质

17、决定，与波源情况无关。 注意不是质元的振动速度！注意不是质元的振动速度！ 24),( xtyux),(xTtyT在质元一个全振动周期内，在质元一个全振动周期内， 振动状态沿波线向前传播的距离，称为波长。振动状态沿波线向前传播的距离，称为波长。 波在传播的过程中，各个质元都在作周期性振动波在传播的过程中，各个质元都在作周期性振动uT由于波速与介质的性质有关，所以波长与介质的性质有关。由于波速与介质的性质有关，所以波长与介质的性质有关。T是质元振动周期是质元振动周期 25波的周期和频率即波源（或质元）振动的周期和频率波的周期和频率即波源（或质元）振动的周期和频率振动状态沿波线向前传播一个波长所需的

18、时间，振动状态沿波线向前传播一个波长所需的时间， 称为波的称为波的周期周期；uT单位时间，波沿波线传播的距离相当于波长的个数，单位时间，波沿波线传播的距离相当于波长的个数， 称为波的称为波的频率频率。 u由于波源振动的周期和频率与介质无关，由于波源振动的周期和频率与介质无关， 所以波的周期和频率与介质无关。所以波的周期和频率与介质无关。26uuT 波的周期反映了波动时间上的周期性，波的周期反映了波动时间上的周期性，而波长则而波长则反映了波动空间上的周期性。反映了波动空间上的周期性。 波的周期和频率与媒质无关，波的周期和频率与媒质无关，而波速和波长与媒而波速和波长与媒质质有关。有关。 波速、波长

19、和频率（周期）间的关系：波速、波长和频率（周期）间的关系： 27按波面形状按波面形状平面波平面波/球面波球面波/柱面波柱面波按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波/复波复波按持续时间按持续时间连续波连续波/脉冲波脉冲波按是否传播按是否传播行波行波/驻波驻波按波的性质按波的性质机械波机械波/电磁波电磁波/ 按波线与振动方向关系按波线与振动方向关系横波横波/纵波纵波28 水表面的波既非横波又非纵波，水表面的波既非横波又非纵波，水波中水质元作纵向、横向二维运动，水波中水质元作纵向、横向二维运动， 即作圆运动。即作圆运动。2930光是电磁波光是电磁波312 简谐波简谐波波源的振动在介质中由近及远地传播开去形

20、成波。波源的振动在介质中由近及远地传播开去形成波。实际的波动过程都是比较复杂的，实际的波动过程都是比较复杂的， 其中最简单、最基本的波动过程，其中最简单、最基本的波动过程，是波源和介质中的各个质点都作简谐振动的是波源和介质中的各个质点都作简谐振动的 简谐波简谐波(也叫正弦波或余弦波也叫正弦波或余弦波)。而其它任何复杂的波动，而其它任何复杂的波动， 无论是连续波还是脉冲波，无论是连续波还是脉冲波， 都可以看成是若干个简谐波的叠加。都可以看成是若干个简谐波的叠加。 32一、平面简谐波的波函数一、平面简谐波的波函数yxt各质元的位移各质元的位移 随其平衡位置随其平衡位置 和时间和时间 变化的变化的数

21、学表达式叫做波的数学表达式叫做波的波函数波函数。简谐波在介质中传播时，简谐波在介质中传播时， 各质元都在做简谐运动，各质元都在做简谐运动， 它们的位移随时间不断改变。它们的位移随时间不断改变。由于各质元开始振动的时刻不同，由于各质元开始振动的时刻不同， 各质元的简谐运动并不同步，各质元的简谐运动并不同步，在同一时刻各质元的位移随它们位置的不同而不同在同一时刻各质元的位移随它们位置的不同而不同 ( , )y t x330 x原点原点 的振动规律为的振动规律为)()0 ,(0tfty)()0 ,(),(0uxtfuxtyxty各质点依次在作振幅为各质点依次在作振幅为 、圆频率为、圆频率为 的谐振动

22、的谐振动A设该简谐波以波速设该简谐波以波速 沿沿 轴正方向传播。轴正方向传播。ux)cos(00tAy相应的波函数为相应的波函数为 0cosuxtAyx如果此平面简谐波沿如果此平面简谐波沿 轴反向传播，波函数为轴反向传播，波函数为0cosuxtAy0 x0 为为 点质元点质元 振动的初相位振动的初相位 34二、平面简谐波的特征量二、平面简谐波的特征量1.相速度相速度0cosuxtAytx在在 处的质点在处的质点在 时刻的时刻的相位相位 0),(uxtxt它完全决定了质元的振动状态。它完全决定了质元的振动状态。以波速以波速 沿沿 轴正方向传播的平面简谐波波函数轴正方向传播的平面简谐波波函数 ux

23、35tx设设 时刻时刻 处质点的振动状态（相位），处质点的振动状态（相位），u简谐波的传播速度简谐波的传播速度 就是振动的相位的传播速度，就是振动的相位的传播速度，ttxx在在 时刻传播到时刻传播到 处，处，tx则相位传播的速度为则相位传播的速度为 。根据波的含义，这两个状态的相位应该相等根据波的含义，这两个状态的相位应该相等因此这一速度也称为因此这一速度也称为相速度相速度。00),(),(uxxttxxttuxtxtutx362.周期和频率周期和频率简谐波中任一质元都在做简谐运动，简谐波中任一质元都在做简谐运动， 因而简谐波具有时间上的周期性。因而简谐波具有时间上的周期性。简谐运动的周期为简

24、谐运动的周期为2T这也就是这也就是波的周期波的周期。波的频率波的频率为为 21T373.波长波长余弦函数表明，波还有空间上的周期性。余弦函数表明，波还有空间上的周期性。在同一时刻，空间上相距一个波长的在同一时刻，空间上相距一个波长的 两个质元的振动状态是相同的。两个质元的振动状态是相同的。表示简谐波的空间周期性的特征量叫做表示简谐波的空间周期性的特征量叫做波长波长 ，2由于余弦函数的周期为由于余弦函数的周期为 ，所以在空间上相距一个波长的两个质元的振动相位差所以在空间上相距一个波长的两个质元的振动相位差 002xxtTtuuuTu 2波长就等于一周期内简谐扰动传播的距离，波长就等于一周期内简谐

25、扰动传播的距离，更准确地说，波长等于一周期内任一给定的相所传播的距离。更准确地说，波长等于一周期内任一给定的相所传播的距离。384.波数波数k对简谐波，还常用波数对简谐波，还常用波数 来描述，其定义为来描述，其定义为2k即在即在 的长度内波形曲线含有的的长度内波形曲线含有的“完整波完整波”的数目。的数目。2k实际上，波数实际上，波数 是波的空间频率。是波的空间频率。39三、平面简谐波的其他表示形式三、平面简谐波的其他表示形式利用平面简谐波特征量之间的关系，利用平面简谐波特征量之间的关系， 可以将平面简谐波用多种形式表示可以将平面简谐波用多种形式表示00000cos2cos2cos2coscos

26、kxtAxtAxtAxTtAuxtAy40四、平面简谐波的复数表示四、平面简谐波的复数表示为了分析和运算的方便，为了分析和运算的方便， 常常将简谐波的波函数表示成复数形式常常将简谐波的波函数表示成复数形式 0expkxtiAy注意：注意：平面简谐波的复数表示平面简谐波的复数表示 只是为了分析和运算的方便，只是为了分析和运算的方便， 没有引入新的物理含义。没有引入新的物理含义。复数表示的实部才有实际意义，复数表示的实部才有实际意义， 即实部代表平面简谐波。即实部代表平面简谐波。41Ttyo0 xx 0cosuxtAy0 xx 在某一给定的质元处在某一给定的质元处 )(2cos)(000tyxtA

27、xxy0 xx 这表示的是这表示的是 处质元的振动方程。处质元的振动方程。 42xyou0tt 0cosuxtAy0tt 在某一给定的时刻在某一给定的时刻 0002cos)(xtAtty在同一时刻，在同一时刻，各质元的位移随它们平衡位置的坐标做余弦式变化，各质元的位移随它们平衡位置的坐标做余弦式变化，0tt 它给出它给出 时刻波形的时刻波形的“照相照相”,xy 对应的对应的 曲线就叫波形曲线。曲线就叫波形曲线。43xyottttuxu由于波传播时任一给定的相都以速度由于波传播时任一给定的相都以速度 向前移动，向前移动，u所以波的传播在空间内就表现为所以波的传播在空间内就表现为u整个波形曲线以速

28、度整个波形曲线以速度 向前平移。向前平移。44波动第一次课结束波动第一次课结束45例例1 解：解： x由波函数可知，此列波是沿由波函数可知，此列波是沿 轴反方向传播的，轴反方向传播的， 可将该波函数写成标准形式可将该波函数写成标准形式 )(2cos02. 0)()25(2cos02. 0 xTtSIxty46（2）波谷经过原点的时刻；）波谷经过原点的时刻；)()410cos(02. 0SIxty)(10cos02. 0SIty110cost) 12(10kt,5 . 0,3 . 0,1 . 010/ ) 12(ssskt原点何时为波谷原点何时为波谷47)()410cos(02. 0SIxty波

29、峰位置为波峰位置为,0 . 1, 5 . 0, 02/mkxxxy4cos02. 0)26 . 05(2cos02. 048)()410cos(02. 0SIxty)(4cos02. 0SIxy)(4cos02. 0)21 . 05(2cos02. 0SIxxy用描点法可以画出这两个时刻的波形曲线用描点法可以画出这两个时刻的波形曲线 m5 . 0 xyou0tst1 . 0m25. 049)()410cos(02. 0SIxty)(10cos02. 0)25. 025(2cos02. 0SItty用描点法可以画出该质点的振动曲线用描点法可以画出该质点的振动曲线 yo)(st1 . 02 . 0

30、3 . 0mx25. 050例例2 my /ost /5 . 013113437310313解：解： 由振动曲线可得波函数的相关量：由振动曲线可得波函数的相关量： 51设原点处质点的振动方程为设原点处质点的振动方程为)2cos()cos(0ttAy)()32cos(0SIty原点处质点的振动表达式为原点处质点的振动表达式为my /ost /5 . 01311343731031352)()32cos(0SItymy /ost /5 . 013113437310313（2）写出波的表达式；）写出波的表达式；)()322cos()322cos(SIxtxty53)()652cos()322cos(S

31、Ixxymy /osx/23132138314)()322cos(SIxty54例例3 mx/my210/ou41 . 05 . 03 . 00t55mx/my210/ou41 . 05 . 03 . 00t（1）求波的振幅、波长和波的周期；）求波的振幅、波长和波的周期；解：解：)(02. 0204 . 0suTsmu/2056mx/my210/ou41 . 05 . 03 . 00t于是可设波函数为于是可设波函数为 004 . 002. 02cos2cosxtAxTtAy57mx/my210/ou41 . 05 . 03 . 00t05100cosxtAy0cos0Ay2/0于是波函数为于是

32、波函数为 25100cos1042xty58（3）写出质点振动速度表达式。）写出质点振动速度表达式。25100cos1042xty波函数波函数 25100sin4xttddyvxt5100sin6 .12与波函数相比较，可知振动速度也以波的形式向左传播。与波函数相比较，可知振动速度也以波的形式向左传播。 593 波动方程与波速波动方程与波速一、波动方程一、波动方程uxtfxty),(uxtfxty),(uxtfty/22uxtfuxy/22210122222tyuxy亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 是物理学中最重要的方程之一，具有普遍意义。是物理学中最重要的方程之一，具有普遍意义。 ),( xty在

33、一维空间中，随时间变化的任何物理量在一维空间中，随时间变化的任何物理量（可以是位移、温度、压强、电磁场等），（可以是位移、温度、压强、电磁场等），如果满足如果满足亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程，那么该物理量就按波的形式传播，那么该物理量就按波的形式传播，u就是这种波的传播速度。就是这种波的传播速度。60三维空间中的波动方程的形式为三维空间中的波动方程的形式为01222222222tuzyx),(zyxt代表三维空间中随时间变化的物理量代表三维空间中随时间变化的物理量 （如空气中的声压分布或密度分布）（如空气中的声压分布或密度分布） 61二、长杆中的纵波二、长杆中的纵波dyy ydff fdxxxxy

34、62xfty22dyy ydff fdxxxxya63根据胡克定律，应力与该处的线应变成正比根据胡克定律，应力与该处的线应变成正比xyYfxfty22Y比例系数比例系数 叫做该材料的杨氏模量（弹性模量）叫做该材料的杨氏模量（弹性模量） 2222tyYxy0122222tyuxy这正是一个波动方程这正是一个波动方程 长杆中的纵波传播速度长杆中的纵波传播速度 Yu 64三、弦上的横波三、弦上的横波12TTxxdxxyoa由于位移不同，由于位移不同，这一小段略微弯曲，这一小段略微弯曲，弦发生切变，弦发生切变，张力沿着弦的切向，张力沿着弦的切向，微元两端点处的微元两端点处的 张力差别可忽略张力差别可忽

35、略 根据牛顿定律根据牛顿定律)sin(sin12Tdxa65弦振动时位移很小弦振动时位移很小 22tansin11tansinxxy1tandxxxy2tan2222xyTdxxyxyTtyxdxx12TTxxdxxyoa6602222xyTty0122222tyuxy弦上横波的波动方程弦上横波的波动方程 横波的波速为横波的波速为 Tu Gu 12TTxxdxxyoa2222xyTty67波速取决于介质本身的性质，波速取决于介质本身的性质， 如杨氏模量、切变模量、密度等，如杨氏模量、切变模量、密度等，而与机械波的振幅和频率无关，而与机械波的振幅和频率无关， 所以机械波是非色散波。所以机械波是非

36、色散波。 注意：注意： 长杆中的纵波传播速度长杆中的纵波传播速度 Yu 横波的波速为横波的波速为 Tu Gu 684 波的能量波的能量 波在弹性介质中传播时，波在弹性介质中传播时，介质的质元由于振动而具有动能，介质的质元由于振动而具有动能， 因发生形变还具有弹性势能。因发生形变还具有弹性势能。 介质质元能量是如何变化的？介质质元能量是如何变化的？ 能量传播的规律如何？能量传播的规律如何？以弹性棒中的简谐横波为例来分析以弹性棒中的简谐横波为例来分析 随着扰动的传播，质元的能量也向前传播。随着扰动的传播，质元的能量也向前传播。对于机械波来说，我们把波动引起的介质的能量，对于机械波来说，我们把波动引

37、起的介质的能量， 称为波的能量。称为波的能量。69一、能量在介质中的传播一、能量在介质中的传播 yx y =Acos (t-x/u)0u yx0 x x+ x yyy xFF ySy y t时刻该质元的振动速度为时刻该质元的振动速度为 uxtAxyvsinVuxtAmvEk2222sin2121质元具有振动动能质元具有振动动能70根据切变模量的定义，质元所受弹性力为根据切变模量的定义，质元所受弹性力为 yx y =Acos (t-x/u)0u yx0 x x+ x yyy xFF ySy y ykxyGSfSFVuxtAuGVxyGxyxGSyxGSykEp22222222sin21)(21)

38、(21)(21)(2171 yx y =Acos (t-x/u)0u yx0 x x+ x yyy xFF ySy y VuxtAuGEp2222sin21/2GuVuxtAEp222sin2172VuxtAEp222sin21VuxtAEk222sin21pkEE传播介质中任一质元的振动动能和弹性势能传播介质中任一质元的振动动能和弹性势能 随时间作周期性变化的规律是相同的，随时间作周期性变化的规律是相同的， 两者不但相位相同，而且大小总是相等。两者不但相位相同，而且大小总是相等。质元通过平衡位置时，具有最大的振动速度，动能最大，质元通过平衡位置时，具有最大的振动速度，动能最大， 同时形变也最

39、大，因而其弹性势能也最大；同时形变也最大，因而其弹性势能也最大；而在最大位移时其动能为零，而在最大位移时其动能为零， 其形变也为零，因而弹性势能也为零。其形变也为零，因而弹性势能也为零。所以传播介质中质元的振动不同于谐振子的振动。所以传播介质中质元的振动不同于谐振子的振动。73VuxtAEp222sin21VuxtAEk222sin21pkEE波传播时质元的机械能为波传播时质元的机械能为VuxtAEEEpk222sin740 x yu2 )(cosuxtAy VuxtAE)(sin222Awu22A传播传播能量能量“一堆一堆一堆一堆”地传地传播。播。w在波的传播过程中，任一质元总的机械能并不守

40、恒，在波的传播过程中，任一质元总的机械能并不守恒， 而是在零与最大值之间变化，它的能量从零增加到最大，而是在零与最大值之间变化，它的能量从零增加到最大， 也就是它从前面的质元接受来自波源的能量的过程；也就是它从前面的质元接受来自波源的能量的过程；然后它的能量又从最大减小到零，然后它的能量又从最大减小到零，这是通过弹性力作功把输入的能量传递给后面的质元的过程这是通过弹性力作功把输入的能量传递给后面的质元的过程 750 x yu2 )(cosuxtAy VuxtAE)(sin222Awu22A传播传播能量能量“一堆一堆一堆一堆”地传地传播。播。w振动在介质中的传播过程也就是能量的传播过程，振动在介

41、质中的传播过程也就是能量的传播过程， 波是能量传播的一种形式。波是能量传播的一种形式。 76二、能量密度二、能量密度 波传播时，单位体积介质中的波动能量叫做波的波传播时，单位体积介质中的波动能量叫做波的能量密度能量密度 uxtAVEw222sin能量密度随时间作周期性变化能量密度随时间作周期性变化 一个周期内能量密度的平均值叫一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度平均能量密度 220211AtwdTwT机械波的平均能量密度与频率的平方、机械波的平均能量密度与频率的平方、 振幅的平方以及介质的密度成正比。振幅的平方以及介质的密度成正比。 这一公式虽然是从平面简谐波的特殊情况导出的，这一公式虽然

42、是从平面简谐波的特殊情况导出的， 但它适用于任何弹性波。但它适用于任何弹性波。 77三、能流密度三、能流密度单位时间内通过某一面积的能量称为单位时间内通过某一面积的能量称为能流能流，通过垂直于传播方向的单位面积的能流通过垂直于传播方向的单位面积的能流 称作该处的称作该处的能流密度能流密度。StduuxtAuuwtSdStdwuS222sin78StduuxtAuuwtSdStdwuS222sin对时间取平均，则平均能流密度对时间取平均，则平均能流密度(又称波强又称波强)为为 2220211AAutuwdTwuIT79对对平面波平面波，若不计介质对能量的吸收，若不计介质对能量的吸收，则根据能量守

43、恒，则根据能量守恒， 由一束波线所限定的两个相同面积的波面上的由一束波线所限定的两个相同面积的波面上的 平均能流必然相等，说明波强各处相同，平均能流必然相等，说明波强各处相同，波在传播过程中振幅不变。波在传播过程中振幅不变。1S2Su波线波线波波面面80对各向同性的不吸收能量的均匀介质中的对各向同性的不吸收能量的均匀介质中的球面波球面波 1r2r通过这两个球面的平均能流一定相等通过这两个球面的平均能流一定相等 1221SSII212221rrII1221rrAA2211SISI81波动第二次课结束波动第二次课结束825 惠更斯原理惠更斯原理 前面讨论了波动的基本概念，前面讨论了波动的基本概念，

44、现在讨论现在讨论 与波的传播特性有关的现象、原理和规律。与波的传播特性有关的现象、原理和规律。其其传播方向、传播方向、频率频率和和振幅振幅都有可能改变。都有可能改变。 惠更斯原理给出的方法惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）（惠更斯作图法）是一种处理是一种处理波传播方向波传播方向的普遍方法。的普遍方法。 由于某些原因，由于某些原因，波在传播中，波在传播中，83波动波动惠更斯原理惠更斯原理1.swf波动波动惠更斯原理惠更斯原理2.swf波动波动惠更斯原理惠更斯原理3.swf动画演示动画演示84发射子波发射子波（次级波）的（次级波）的波源波源（点源），（点源），就是波在该时刻的就是波在该时刻的新的

45、新的波面。波面。一、惠更斯原理（一、惠更斯原理（1690） 介质中任意波面上的各点，介质中任意波面上的各点，都可看作是都可看作是其后其后的任一时刻，的任一时刻，这些这些子波面的包络面（包迹）子波面的包络面（包迹）已知已知 t 时刻的波面时刻的波面 t+ t 时刻的波面，时刻的波面，从而可进一步给出波的传播方向。从而可进一步给出波的传播方向。只要知道某一时刻的波阵面只要知道某一时刻的波阵面 就可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面。就可以用几何作图法确定下一时刻的波阵面。它在相当大程度上解决了波的传播方向问题。它在相当大程度上解决了波的传播方向问题。 85球面波球面波 t 1S1Ro1R1St球面

46、波在时刻的波面是半径为的球面球面波在时刻的波面是半径为的球面1S上各点都可以看作是发射子波的波源，上各点都可以看作是发射子波的波源，1S则以面上的各点为中心，则以面上的各点为中心，tur以为半径以为半径沿波传播方向作半球形子波，沿波传播方向作半球形子波，2S那么这些子波的包迹面那么这些子波的包迹面tt即为时刻的波面即为时刻的波面2SO显然波面是以为中心，显然波面是以为中心，tuRR12以以为半径的球面。为半径的球面。由于波的传播方向与波面垂直，由于波的传播方向与波面垂直，可以画出波线是沿着径向的可以画出波线是沿着径向的 波沿球半径方向传播。波沿球半径方向传播。 t + t2S2R86u t波传

47、播方向波传播方向平面波平面波ut 时刻波面时刻波面1St+ t时刻波面时刻波面2St1S若已知平面波在时刻的波面，若已知平面波在时刻的波面，根据惠更斯原理，根据惠更斯原理，2Stt可以得到时刻的波阵面，可以得到时刻的波阵面，仍然是平面仍然是平面 波的传播方向不变波的传播方向不变 87二、波的衍射二、波的衍射衍射：衍射：波传播过程中，当波传播过程中，当遇到障碍物时，遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。入射波入射波衍射波衍射波障碍物障碍物入射波入射波衍射波衍射波障碍物障碍物a相对于相对于波长波长而言，而言，障碍物的线度越小障碍物的线度越小衍射现

48、象越明显衍射现象越明显;相对于相对于障碍物障碍物而言，而言，波长波长越长越长衍射现象越明显。衍射现象越明显。88入射波入射波衍射波衍射波障碍物障碍物a当一平面波通过当一平面波通过 障碍物上的开口后，障碍物上的开口后，波动扩展到了按直线传播应该是阴影的区域。波动扩展到了按直线传播应该是阴影的区域。利用惠更斯原理解释这种现象时，利用惠更斯原理解释这种现象时， 认为开口处各点都可看作是发射子波的波源，认为开口处各点都可看作是发射子波的波源，作出这些子波的包迹面，就得出新的波阵面。作出这些子波的包迹面，就得出新的波阵面。很明显，此时波阵面已不再是平面，在靠近边缘处，很明显，此时波阵面已不再是平面，在靠

49、近边缘处， 波阵面进入了阴影区域，波阵面进入了阴影区域，表示波已绕过障碍物的边缘而传播了。表示波已绕过障碍物的边缘而传播了。入射波入射波衍射波衍射波障碍物障碍物89惠更斯原理不仅适用于任何弹性波，惠更斯原理不仅适用于任何弹性波， 对电磁波也适用。对电磁波也适用。但是，由于惠更斯原理没有说明子波的强度分布，但是，由于惠更斯原理没有说明子波的强度分布， 因而只能解决波的传播方向问题。因而只能解决波的传播方向问题。实际上，比如在衍射现象中，经过衍射的波，实际上，比如在衍射现象中，经过衍射的波， 各方向的强度是不一样的。各方向的强度是不一样的。惠更斯原理不能解释这强度分布。惠更斯原理不能解释这强度分布

50、。后来菲涅耳对惠更斯原理作了重要补充，后来菲涅耳对惠更斯原理作了重要补充， 形成了惠更斯菲涅耳原理。形成了惠更斯菲涅耳原理。它在波动光学中有重要的应用。它在波动光学中有重要的应用。90波动波动波的衍射波的衍射1.swf波动波动波的衍射波的衍射2.swf波动波动波的衍射波的衍射3.swf动画演示动画演示91水波通过窄缝时的衍射水波通过窄缝时的衍射92广播和电广播和电视哪个更视哪个更容易收到容易收到 ?更容易听到更容易听到男的还是女男的还是女的说话的声的说话的声音？音？障障碍碍物物（声音强度相同的情况下）（声音强度相同的情况下）93三、波的反射与折射三、波的反射与折射惠更斯作图法可以惠更斯作图法可

51、以说明波入射到两种均匀而且各向同性的介质的说明波入射到两种均匀而且各向同性的介质的 分界面上时传播方向改变的规律，分界面上时传播方向改变的规律，也就是波的反射和折射的规律。也就是波的反射和折射的规律。设有一平面波入射到两种介质的分界面上。设有一平面波入射到两种介质的分界面上。根据惠更斯作图法，根据惠更斯作图法， 入射波传到的分界面上的各点入射波传到的分界面上的各点 都可看作发射子波的波源。都可看作发射子波的波源。作出某一时刻这些子波的包迹，作出某一时刻这些子波的包迹， 就能得到新的波阵面，就能得到新的波阵面，从而确定反射波和折射波的传播方向。从而确定反射波和折射波的传播方向。94波动波动波的反

52、射与折射波的反射与折射.swf波动波动波的反射波的反射.swf波动波动波的折射波的折射1.swf波动波动波的折射波的折射2.swf动画演示动画演示951. 波的反射定律波的反射定律介质介质1介质介质2ABCDM入射波的波阵面和两种介质的分界面均垂直于图面入射波的波阵面和两种介质的分界面均垂直于图面 tAM在在 时刻，此波阵面与图面的交线时刻，此波阵面与图面的交线 到达图示位置，到达图示位置，A点与界面相遇。点与界面相遇。AM此后此后 上各点将依次到达界面。上各点将依次到达界面。963/ t设经过相等的时间差设经过相等的时间差 ，此波阵面与图面的交线此波阵面与图面的交线BCD依次与分界面在依次与

53、分界面在 ， 和和 点相遇，点相遇，ttMD而在而在 时刻，时刻， 点到达点到达 点。点。可以作出此时刻界面上各点发出的子波的波阵面。可以作出此时刻界面上各点发出的子波的波阵面。介质介质1介质介质2ABCDM97tud介质介质1介质介质2ABCDMu因为波在同一介质中传播，波速因为波在同一介质中传播，波速 不变，不变，tt所以在所以在 时刻，时刻，ABCd3/2d3/d从从 ， ， 发出的子波半径分别是发出的子波半径分别是 ， ， ，DN这些子波的包迹面这些子波的包迹面 也是与图面垂直的平面。也是与图面垂直的平面。DNDNAM 它与图面的交线为它与图面的交线为 ，而且，而且 。作垂直于此波阵面

54、的直线，即得反射线。作垂直于此波阵面的直线，即得反射线。N 98介质介质1介质介质2ABCDMN 任一条入射线与它的反射线以及入射点的法线在同一平面内任一条入射线与它的反射线以及入射点的法线在同一平面内 即入射角等于反射角。这就是波的反射定律。即入射角等于反射角。这就是波的反射定律。两个直角三角形两个直角三角形 与与 全等，全等，AMDDNA因此因此 ，NDAMAD令令 表示入射角，表示入射角， 表示反射角，所以表示反射角，所以 ，i/i/ii ii992.波的折射定律波的折射定律3/ t设经过相等的时间差设经过相等的时间差 ，ttMD而在而在 时刻，时刻， 点到达点到达 点。点。（n1）（n

55、2）以以 ， 分别表示波在第一和第二种介质中的波速。分别表示波在第一和第二种介质中的波速。1u2utAM在在 时刻，此波阵面与图面的交线时刻，此波阵面与图面的交线 到达图示位置，到达图示位置，BCD此波阵面依次到达此波阵面依次到达 ， 和和 点点, AMBCD1u100（n1）（n2）AMBCD1ud3/2d3/d子波半径分别是子波半径分别是 ， ， ，和，和0， tt画出画出 时刻，时刻，ABCD从从 ， ， 和和 发出的在第二种介质中的子波，发出的在第二种介质中的子波，tud2但这里但这里 。2u101（n1）（n2）AMBCD1u作垂直于此波阵面的直线，即得折射线。作垂直于此波阵面的直线

56、，即得折射线。这些子波的包迹这些子波的包迹 也是与图面垂直的平面，也是与图面垂直的平面，DN它与图面的交线为它与图面的交线为 ，而且，而且DN21/uANuMDtN 2u102（n1）（n2）AMBCD1uN 2uiADtuMDsin1rADtuANsin2iMAD rADN i1i2i入射角入射角 r折射角折射角 1221sinsinnnuuri波的折射定律波的折射定律 对于给定的两种介质，对于给定的两种介质， 入射角的正弦与折射角的正弦之比等于常数入射角的正弦与折射角的正弦之比等于常数 1033.全反射全反射inniuursinsinsin21121221sinsinnnuuri将没有折射

57、线产生，入射将全部反射回原来的介质。将没有折射线产生，入射将全部反射回原来的介质。这种现象叫这种现象叫全反射全反射。 1221sinnnuuA则由于相应的折射角为，可得则由于相应的折射角为，可得090A)(12nn 以表示波从介质以表示波从介质1射向介质射向介质2时的临界角，时的临界角，产生全反射的最小入射角称为临界角。产生全反射的最小入射角称为临界角。)(1212nnuui如果，则当入射角大于某一值时，如果，则当入射角大于某一值时，r等式右侧的值将大于等式右侧的值将大于1而使折射角无解。而使折射角无解。104一、波的叠加原理一、波的叠加原理6 波的叠加波的叠加若几列波同时在介质中传播，若几列

58、波同时在介质中传播，它们各以原有的振幅、波长和频率沿原方向它们各以原有的振幅、波长和频率沿原方向 独立地传播，彼此互不影响独立地传播，彼此互不影响 （独立传播原理独立传播原理）； 波的叠加原理是波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。干涉、衍射的基本依据。在几列波相遇处，在几列波相遇处， 质元的位移等于各列波单独传播时质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和在该处引起的位移的矢量和 （波的叠加原理波的叠加原理）。105波动波动波的叠加原理波的叠加原理1.swf波动波动波的叠加原理波的叠加原理2.swf波动波动波的叠加波的叠加1.swf波动波动波的叠加波的叠加2.swf波动波动波的叠加

59、波的叠加3.swf波动波动波的叠加波的叠加4.swf动画演示动画演示106107二、波的干涉二、波的干涉当两列波当两列波(或几列波或几列波)满足频率相同、满足频率相同、 振动方向相同以及相位差恒定的条件，振动方向相同以及相位差恒定的条件，在波相遇的区域内任何一点，在波相遇的区域内任何一点， 分振动都有恒定的相位差，分振动都有恒定的相位差， 但是对于不同的点，相位差不同，但是对于不同的点，相位差不同，因此有些地方振动始终加强，因此有些地方振动始终加强， 有些地方振动始终减弱或完全抵消，有些地方振动始终减弱或完全抵消，这种现象称为这种现象称为波的干涉波的干涉，能产生干涉现象的波称为能产生干涉现象的

60、波称为相干波相干波， 相应的波源称为相应的波源称为相干波源相干波源。108波动波动波的干涉波的干涉1.swf波动波动波的干涉波的干涉2.swf动画演示动画演示109S1S1S2S2P1r2r2r)cos()cos(2202011010tAytAy1S2S设两相干波源设两相干波源 、 的振动表达式分别为的振动表达式分别为由它们发出的相干波经过由它们发出的相干波经过1r2rP距离距离 、 于于 点相遇，点相遇， P两波在两波在 点引起的分振动为点引起的分振动为 )2cos()2cos(22221111rtAyrtAy110S1S1S2S2P1r2r2r)2cos()2cos(22221111rtA