圆锥曲线的最值问题常见类型及解法

1、 例例1 1、已知点、已知点F F是双曲线是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲线右支上动点，则是双曲线右支上动点，则的最小值为的最小值为 . . 221412xyPFPA思维导图：思维导图：根据双曲线的定义，建立点根据双曲线的定义，建立点A A、P P与两焦点之间的关系与两焦点之间的关系两点之间线段最短两点之间线段最短F FA AP Py yx x例例1 1、已知点、已知点F F是双曲线是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲线右支上动点，则是双曲线右支上动点，则的最小值为的最小值为 . . 221412x

2、yPFPA解析：设双曲线右焦点为解析：设双曲线右焦点为F F/ /249PFPAPFPFPAPFaPAPFAFF FA AP Py yx x例例2： 如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个如图，由椭圆的定义：椭圆上的点到两个定点之间的距离为定值定点之间的距离为定值|MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|=10+ (|MA|-|MF|)10+ |AF|因此，当因此，当|AF|最大时，最大时， |MA|+|MF|是最大值。是最大值。具体解题过程如下：具体解题过程如下：已知椭圆已知椭圆 的右焦点的右焦点F，且有定点，且有定点A（1，1），），又点又点M是椭圆上一动点。问是

3、椭圆上一动点。问|MA|+|MF|是否有最值，是否有最值，若有，求出最值并指出点若有，求出最值并指出点M的坐标的坐标19y25x22 分析：分析：则则F的坐标为的坐标为(4,0)解：解： 设椭圆的左焦点为设椭圆的左焦点为F由椭圆的定义得：由椭圆的定义得： |MF|+|MF|=10|MF|+|MA|=10- |MF|+|MA|连连AF，延长交椭圆于，延长交椭圆于M则则| |MA|-|MF| | |AF|当且仅当当且仅当M,A,F三点共线时，等号成立。三点共线时，等号成立。 |MA|-|MF|的最大值为的最大值为 |AF|，这时，这时M与与M 重合重合 |AF|=141 2 ）（26 |MF|+|

4、MA| 的最大值为的最大值为2610 要使要使|MF|+|MA|最大，最大， 即要使即要使|MA|-|MF|最大，最大，问题：本题解题到此结束了吗？问题：本题解题到此结束了吗？最小值为最小值为 2610 24yxx xy y例例1：在圆在圆x2+y2=4上求一点上求一点P，使它到直线，使它到直线L：3x-2y-16=0的距离最短。的距离最短。222316略解：略解：圆心到直线圆心到直线L的距离的距离d1= 131316 所以圆上的点到直线的最短距离为所以圆上的点到直线的最短距离为 d=d1-r2131316 思考：思考： 例例1是否还有其他解题方法？是否还有其他解题方法？问题：直线问题：直线L

5、 L的方程改为的方程改为 3x-2y-6=03x-2y-6=0， 其结果又如何？其结果又如何？21313161313216dmin 圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离圆上的点到直线的最短距离即为两平行直线间的距离另解：另解：设平行于直线设平行于直线L且与圆相切的直线方程：且与圆相切的直线方程：3x-2y+m=013x2+6mx+m2-16=0直线与圆相切直线与圆相切=36 m2-52(m2-16)=0 m=132m2=52，代入圆代入圆x2+y2=4整理得：整理得：例例2 2、求椭圆、求椭圆 上的点到直线上的点到直线 的距的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标离的最大

6、值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标. .2212xy2 3yx思维导图：思维导图：求与求与 平行的椭圆平行的椭圆的切线的切线2 3yx切线与直线切线与直线 的距离为的距离为最值，切点就是所求的点最值，切点就是所求的点. . 2 3yxx xy yo o例例2 2、求椭圆、求椭圆 上的点到直线上的点到直线 的距的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标. .2212xy2 3yx解：设椭圆与解：设椭圆与 平行的切线方程为平行的切线方程为 2 3yxyxb22(1)12yxbxy222234220(4 )4 3 (22)03xbxbb

7、bb minmax61)3,;2362)3,.2bdbd 当时 代 入 (1)得当时 代 入 (1)得 2yx4yx例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。)230(P，1y4x22 本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标，然后根据两点间的距离公式借点的坐标，然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值，并求出点的助于二次函数求出此最大值，并求出点的坐标。坐标。分析：分析：此时，此时，3x21y ，所以所以 的最大值为的最大值为PQ7即此时即此时Q的坐标为：的坐标为：

8、），）、（，（213213 设点设点 Q(x,y)为椭圆为椭圆 上的任意一点，上的任意一点，1y4x22 则则 2PQ22)23y(0 x ）（又因为又因为x2 = 4- 4y2 所以所以 2PQ49y3yy4422 425y3y32 7)21y(32 （1y1）解：解：例例3 求点求点 到椭圆到椭圆 上点的最大距离，上点的最大距离，并求出此时椭圆上的点的坐标。并求出此时椭圆上的点的坐标。)230(P，1y4x22 。最最大大距距离离是是上上的的使使其其到到椭椭圆圆求求：点点71y4x),m, 0(P22 思考题：思考题： 2214xy例例1 1： 已知抛物线已知抛物线y y2 2=4x=4x

9、，以抛物线上两点，以抛物线上两点A(4,4)A(4,4)、B(1,-2)B(1,-2)的连线为底边的的连线为底边的ABPABP，其顶点，其顶点P P在抛物线的弧在抛物线的弧ABAB上运动，求：上运动，求： ABPABP的最大面的最大面积及此时点积及此时点P P的坐标。的坐标。 动点在弧动点在弧AB上运动，可以设出点上运动，可以设出点P的坐标，只要求的坐标，只要求出点出点P到线段到线段AB所在直线所在直线AB的最大距离即为点的最大距离即为点P到线段到线段AB的最大距离，也就求出了的最大距离，也就求出了ABP的最大面积。的最大面积。 要使要使ABP的面积最大，只要点的面积最大，只要点P到直线到直线

10、AB的距离的距离d最大。最大。设点设点P( )yy，42解：由已知：解：由已知： |AB|=22)24()14( 2x-y-4=0直线直线AB：*解题过程如下：解题过程如下：*分析：分析：d=54y2y2 528y2y2 5291y2 ）（由已知由已知：2y4dmax=529此时，此时，y=1, x = 41d 21AB=2152953427 点的坐标为点的坐标为( ，1 )41Smax= 我们可以连接我们可以连接AB，作平行，作平行AB的直线的直线L与抛物线相切，与抛物线相切，求出直线求出直线L的方程，即可求出直线的方程，即可求出直线L与与AB间的距离，从而间的距离，从而求出求出ABP面积的

11、最大值和点面积的最大值和点P的坐标。的坐标。分析：分析：y2-2y+2m=0设直线设直线L与抛物线与抛物线 y2=4x相切，相切，直线直线AB：2x-y-4=0直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+m=0 （*）=4-8m=0,m=21此时，此时，y=1,x= 41直线直线L的方程为：的方程为：2x-y+ =021两直线间的距离两直线间的距离 d=529另解：另解：把（把（*）代入抛物线的方程得）代入抛物线的方程得其他过程同上。其他过程同上。例例4 4、设椭圆中心在坐标原点、设椭圆中心在坐标原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的两个顶点，直线的两个顶点，直线

12、与椭圆交于与椭圆交于E E、F F两点，两点，求四边形求四边形AEBFAEBF面积的最大值面积的最大值. .(0)ykxkA AF FE EB Bx xy y思维导图：思维导图：用用k k表示四边形的面积表示四边形的面积根据基本不等式求最值根据基本不等式求最值 例例4 4、设椭圆中心在坐标原点、设椭圆中心在坐标原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它）是它的两个顶点，直线的两个顶点，直线 与椭圆交于与椭圆交于E E、F F两点，两点，求四边形求四边形AEBFAEBF面积的最大值面积的最大值. .(0)ykxk解析：依题意设得椭圆标准方程为解析：依题意设得椭圆标准方程为 直

13、线直线ABAB、EFEF的方程分别为的方程分别为 设设2214xy20,(0)xyykxk112212( ,)(,)()E x kxF x kxxx221222122,41414xyxxkkykx 根据点到直线距离公式及上式，点根据点到直线距离公式及上式，点E E、F F到到ABAB的距离分别为的距离分别为2111222222222(1214)55(14)222(1214)55(14)xkxkkhkxkxkkhk5AB 又四边形四边形AFBEAFBE的面积为的面积为121()2SAB hh2222222214(12 )2(12 )525(14)(14)(12 12 2

14、14kkSkkkkkkkkkmax121.22 2kkS当且仅当即时成立 22132xy例例5 5、点、点A A、B B分别是椭圆分别是椭圆 的长轴的左右端的长轴的左右端点，点，F F为右焦点，为右焦点，P P在椭圆上，位于在椭圆上，位于x x轴的上方，且轴的上方，且PAPFPAPF若若M M为椭圆长轴为椭圆长轴ABAB上一点，上一点，M M到直线到直线APAP的距离等于的距离等于|MB|.|MB|.求求椭圆上点到点椭圆上点到点M M的距离的最小值的距离的最小值. .x xy yA AB BF FM MP P思维导图：思维导图：把所求距离表示为椭圆把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数上点的横坐标的函数求这个函数的最小值求这个函数的最小值 2213620 xy解析：由已知可得点解析：由已知可得点A(-6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),设点设点P(x,y)P(x,y)，则，则222(6, ),(4, ),(6)(4)0(