用待定系数法求二次函数解析式(专题复习)

1、 专题复习专题复习复习目标：复习目标： 1.理解并记住二次函数解析式的三理解并记住二次函数解析式的三种形式种形式: 一般式，顶点式，两根式一般式，顶点式，两根式2.灵活应用二次函数的三种形式灵活应用二次函数的三种形式, 以以便在用待定系数法求解二次函数解便在用待定系数法求解二次函数解析式时减少未知数的个数析式时减少未知数的个数, 简化运算简化运算过程过程.待定系数法求函数的解析式待定系数法求函数的解析式一般步骤是：一般步骤是：（1）写出函数解析式的一般式，其中）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；包括未知的系数；（2）把自变量与函数的对应值代入函）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中

2、，得到关于待定系数的方数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。程或方程组。（3）解方程（组）求出待定系数的值，）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式。从而写出函数解析式。一、方法：一、方法：1. 一般式：一般式：y=ax2+bx+c (a0) 已知图象上三点坐标已知图象上三点坐标, 特别是特别是已知函数图象与已知函数图象与y轴的交点坐标轴的交点坐标 (0, c)时时, 使用一般式很方便使用一般式很方便. 例例1.已知二次函数图象经过已知二次函数图象经过A(2,-4), B(0,2), C(-1,2)三点三点, 求此求此函数的解析式函数的解析式.解解：设二次函数解析式为：设二次函

3、数解析式为y=ax2+bx+c 图象过图象过B(0,2) c=2 y=ax2+bx+2 图象过图象过A(2,-4),C(-1,2)两点两点 -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得解得 a=-1,b=-1 函数的解析式为：函数的解析式为： y=-x2-x+22. 顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)已知对称轴已知对称轴方程方程x=h、最值、最值k或顶点坐标或顶点坐标(h, k) 时优先选用顶点式。时优先选用顶点式。例例2. 已知一个二次函数的图象经过已知一个二次函数的图象经过点点(4,-3), 并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4, 试确定这个二次函数的解析式试确定这个二次函数

4、的解析式.解法解法1：（利用顶点式）（利用顶点式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为： y=a(x+h)2+k (a0) 当当x=3时，有最大值时，有最大值4 顶点坐标为顶点坐标为(3,4) h= -3, k= 4 y=a(x-3)2+4 函数图象过点（函数图象过点（4，- 3） a(4 - 3)2 +4 = - 3 a= -7 y= -7(x-3)2+4 = -7x2+42x-59 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-59解法解法2：（利用一般式）（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a0)由题意知由题意知 16a+4

5、b+c = -3 -b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4解方程组得：解方程组得： a= -7 b= 42 c= -59 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为： y= -7x2+42x-593.交点式交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当当=b2- 4ac0 ,抛物线与抛物线与x轴相交轴相交 y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) =b2- 4ac0 ，交点有两个，交点有两

6、个， 分别是分别是: (x1, 0)和和(x2, 0) =b2- 4ac =0,交点只有一个交点只有一个 即顶点即顶点-b/2a,(4ac-b2)/4a =b2- 4ac 0 ,无交点无交点 （2）当）当=b2-4ac0时，时， 方程方程ax2+bx+c0无解，无解， 二次三项式二次三项式 ax2+bx+c 不能分解不能分解, 抛物线与抛物线与x轴不相交轴不相交. （3）若抛物线与）若抛物线与x轴的两个交点轴的两个交点的横坐标分别为的横坐标分别为x1、x2，那么对称那么对称轴方程为：轴方程为： x=(x1+x2)/2例例3. 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的的图象过点图象过点A(0,-5

7、), B(5,0)两点两点, 它的对称轴为直线它的对称轴为直线x=3, 求这求这个二次函数的解析式个二次函数的解析式.解解: 二次函数的图象过点二次函数的图象过点B(5,0), 对称轴为对称轴为直线直线x=3设抛物线与设抛物线与x轴的另一个交点轴的另一个交点C的坐标为的坐标为(x1,0) 则对称轴：则对称轴： x=(x1+x2)/2 即：即： (5x1)/23 x1=1 c点的坐标为点的坐标为(1,0) 设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-1)(x-5) 图象过图象过A(0,-5) - 5=a(0-1)(0-5) 即即 - 5=5a, a= -1 y=-(x-1)(x-5)=-

8、x2+6x-5（二）练习题（二）练习题 二次函数图象经过点二次函数图象经过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)三点，三点，求二次函数的解析式求二次函数的解析式.解法解法1：（：（一般式一般式） 设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0) a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 -得：得： 2b=4 b=2 代入、得：代入、得：a+c=2 9a+c=-6 - 得：得：8a=-8 , a= -1 代入代入 得：得：c=3 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -x2+2x+3解法解法2:（顶点式顶点式） 抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,0)和和(3,0) ， 1=(-1+3)/2 点点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：由题意设二次函数解析式为：y=a(x-h)2+k y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1, 0) 0=a(-1-1)2+4 得得 a= -1 函数的解析式为：函数的解析式为：y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3解法解法3:（交点式交点式）由题意可知两根为由题意可知两根为x1=-1、x2=3设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-