第三章 一阶微分方程的解的存在定理

1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理本章教学目的及要求通过解的存在唯一性定理的讲述，使学生掌握定理的条件，结论及证明定理的逐次逼近法，要求学生能判断一个方程是否满足解的存在与唯一性定理，应用逐次逼近序列求近似的解，逐步掌握解的延拓、解对初值的连续性、可微性，要求学生应用延展定理能确定一些简单方程的解的存在区间，了解贝尔曼定理及应用，了解解的存在与唯一性定理的重要地位。教学重点：解的存在与唯一性定理，延展定理。教学难点：基本理论中定理的证明。本章课时安排：讲8学时，习题课2学时我们在第二章学习了初等积分法,掌握了几类特殊的可积类型方程的解法. 但是这些解法不是“万能的”. 早在1841年,法国数学

2、家刘维尔( Liouville)证明了黎卡提(Ricati)方程除了某些特殊类型外,一般不能用初等积分法求解的.例如,形式上很简单的黎卡提方程就不能用初等积分法求解.这与代数学中,五次和五次以上的代数方程的根没有根式公式的结论有相似的理论意义. 于是人们理解到,绝大多数的微分方程是不能用初等积分法求解的.那么,一个不能用初等积分法求解的微分方程,是否有解存在呢? 如果有解存在,那么它的解是否唯一? 存在区间又有多大? 这些问题无疑在理论研究和实际应用中,都有着重要的意义.本章将回答这些基本问题.本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理、解对初值的连续依赖性定理以及奇解和奇解的求法.这些定理

3、是常微分方程理论的基础,对进一步学习十分重要.§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法为了介绍常微分方程的基本理论，我们先补充介绍一下下面的知识。3.1.1 线素场 (2.1)给出这些定义的几何解释.由这些解释,我们可以从方程(2.1)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征.首先,我们要给出“线素场”的概念.设(2.1)的右端函数f(x,y)在区域G内有定义(图2-1),即对G内任意一点(x,y),都存在确定值f(x,y).以点(x,y)为中点,作一单位线段,使其斜率恰为k=f(x,y),称为在点(x,y)的线素.于是在G内每一点都有一个线素.我们说,方程(2.1)在区域G

4、上确定了一个线素场.图2-1 图2-2例1 试讨论方程所确定的线素场.解 右端函数除Oy轴以外的左右两个半平面处处有定义,因而方程在这两个半平面上都确定了线素场.易于看出这个线素场在点(x,y)的线素与过原点(0,0)和点(x,y)的射线重合(图2-2). 图 2-3例2 考虑方程所确定的线素场.解 右端函数除了Ox轴以外的上下两个半平面上都有定义,方程在每一点(x,y)所确定的线素都与原点到该点的射线垂直(图2-3). 在例1中,右端函数在y轴上无定义(变为无限).在例2中,右端函数在x轴上无定义(变为无限).为了进行弥补,一般的,当方程 (1.9)的右端函数f(x,y)在某些点取无限值时,

5、我们同时考虑方程 (1.9)易见,在f(x,y)取无限值的点, f1(x,y)=0.于是,可以说线素场在这些点平行于Oy轴.例如,在例1中,同时考虑方程在例2中,同时考虑方程这样,这两个方程,除点(0,0)外,都在全平面上确定了线素场.下面来讨论方程(2.1)的解与它确定的线素场的关系.前面,我们已经把(2.1)的解y=(x)的图象称为(2.1)的积分曲线.现在有如下定理.定理2.1 曲线L为(2.1)的积分曲线的充要条件是：在L上任一点,L的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合；亦即L在每点均与线素场的线素相切. 证明 必要性.设L为（1.9）的积分曲线，其方程为，则函数为

6、（1.9）的一个解.于是，在其有定义的区间上有上式左端为曲线L在点的切线的斜率，右端恰为方程（1.9）的线素场在同一点 处的线素的斜率.从而，曲线L在点的切线与线素场在该点线素重合.又因上式为恒等式，这就说明沿着整个曲线L，都是这样.充分性.设方程为的曲线L，在其上任一点处，它的切线方向都与方程（1.9）的线素场的线素方向重合，则切线的斜率与线素的斜率应当相等.于是，在函数有定义的区间上，有恒等式。这个等式恰巧说明函数为方程(1.9)的解.从而曲线L为方程的积分曲线.这个定理表明这样一个事实：(2.1)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切.或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素

7、方向行进的曲线.习题1. 试绘出下列方程的积分曲线:2. 试画出方程在xOy平面上的积分曲线的大致图象.3.1.2 欧拉折线 在这一段里,我们利用线素场的概念简略地介绍一下欧拉折线法. 以下假定函数在区域:上连续且有界,于是在这个区域上确定了一个线素场.为了求初值问题 (2.2)在区间上的近似解,就是要在由所确定的线素场中,求出经过点的近似积分曲线.(图2-4)为此,把区间 n等分,其分点为： . 图2-4先求出.因为积分 曲线在点的斜率应为,于是用经过点而斜率为的直线段来近似积分曲线.其方程为 .求出直线上横坐标为的点的纵坐标： 如果h很小,则.从而点就很接近积分曲线上的点.如果连续,则就近

8、似于.于是由点出发的斜率为的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为 .求出这直线段上横坐标为的点的纵坐标： .依此类推,可以求出方程(2.1)过点的积分曲线在各分点的近似值 由于各近似直线段的方程为已知,所以对区间的任一点x,都可以求得解的近似值. 这样求得的积分曲线的近似折线称为欧拉折线.可以证明,在一定条件下,当n无限增大而时,欧拉折线趋近于方程的积分曲线.欧拉折线法是利用“离散化”的方法来求初值问题解的近似值.这方面的研究工作导致计算方法中微分方程数值解的计算理论.习题3.1.21试用欧拉折线法, 取步长,求初值问题的解在时的近似值.结论：用Euler 折线法求近似的解虽然比较粗糙一些，甚

9、至可以是不收敛的，但还是比较简单适用的，在理论上也有较大的意义。而且，可以证明：在一定条件下，当 无限增大而 时 , Euler折线Euler 方程的积分曲线。313 初值问题解的存在性 设函数定义在平面区域G中,点,考虑微分方程 (2.1)的初值问题 (2.2)关于初值问题解的存在性,我们在此不加证明的给出如下的经典的结果. 皮亚诺定理. 如果在区域G上连续,则初值问题(2.1)存在定义在点的某一邻域中的解. 也就是说,方程右端函数的连续性保证初值解的存在性. 如果除了初值解的存在性,我们还希望保证解的唯一性,我们有理论上经常用到的解的存在唯一性定理.在下一节,我们将给出并证明这个重要的定理

10、. 3.1.4 解的存在与唯一性定理1° 存在性与唯一性定理的叙述 定理 3.1（存在性与唯一性）如果方程 （2.1）的右端函数在闭矩形域上满足如下条件：1)在R上连续；2)在R上关于变量y满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点，均为不等式： 则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解 这里 两点说明：<i> 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的。然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它。即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数存在并有界，则李普希兹条件成立。<ii> 对做些解释。 从几何直观上，初值问题（2

11、）可能呈现如图所示的情况。这时，过点的积分曲线当或时，到达R的上边界或下边界，于是，当时，曲线便可能没有定义，有此可见，初值（2）的解未必在整个区间上存在。找出范围 于是从点引两条斜率分别为M,-M的直线，则积分曲线必被限制在图2带阴影的两个区域内。因此，只要我们取则过点的积分曲线。当在区间上变化时比位于R之中。2°存在性证明求初值问题（2.2）的解,等价于求积分方程在区间上连续. 初值问题的解等价于求积分方程(3)在区间上的连续解. 下面用picard逐次逼近法来证积分方程(3)的连续解的存在性,可分三步进行.<1>构造逐次近似序列.<2>证明序列在区间上一

12、致收敛.<3>证明是积分方程的解的解.3°唯一性的证明:思考题:在上一致收敛它的极限自然唯一,那么为什么对于方程的解还要证明唯一性.注:这里逐次逼近序列并不唯一,可以看出由于零次逼近函数选取不同,由此构造出的逐次逼近序列就不同.由此构造出的逐次逼近序列就不同,而零次逼近函数及可以任意取定.4°两点说明（1）上述所采用的逐次逼近法，在实际上也是一种求近似解的有效办法。其误差为（2） 如果方程(2.1)是线性方程，即 其中在区间上连续，则可证明对任意初值，线性方程满足的解在整个区间上都有意义。（3） 对于方程(2.1)的右端函数，如果仅假定它是连续的，只能保证初值解

13、的存在性，并不能保证其唯一性。课堂练习： 1 （1） 2 （1） （3） 5 10§3.2 解的延拓1°定理3.1结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的，然而 的存在区域可能会比大的多。本节就是用延展的方法来尽量扩大解的存在区间，把定理2.1的结果由局部的变成大范围的。 先介绍一个定义先介绍一个定义局部李普兹条件:如果方程 的右端函数在区域G上的每一点，均有以它为中心且完全属于D的闭矩形R存在，使得函数在R上满足李普兹条件，对于D上的不同点，矩形R及李普兹常数N可以不同，这时，称在D上满足局部李普兹条件。如果方程(2.1)的右端函数在区域D上连续且关于满足局部李普兹

14、条件，我们就可以按下述方法，把解的存在区间向左或右方延展开去。由定理3.1知，初值问题的解的存在区间为，以此为基础，先来研究存在区间向右方的延展。设初值问题的解, 的曲线在其定义区间,上的右端点为下面来研究过点的解的存在区间问题.根据假设方程过点的解存在且唯一,设该解为,其存在区间为因为积分曲线与都过点,即两个解满足同一初始条件 根据解的存在与唯一性定理,解,在区间和区间的公共部分上相同.这样一来,积分曲线的右端点就由延展到了存在区间由原来的扩展到为.对于的左,可作类似的讨论,这样,按上述方法就可以把积分曲线向左,右两个方向延展下去,解的存在区间也就扩展了.上述的延展方法略,在给定条件下,解的

15、实际存在区间,不只是存在与唯一性定理所确定的解的存在区间,这个区间还可以延展出去,但是，这种延展的结局会怎样呢？解的存在区间最终能延展到什么程度？解的延展定理给我们一个圆满的回答.下面介绍解的延展定理，但不给证明。定理：如果方程的右端函数在区域D上连续，且关于满足局部李普兹条件，则对于D上任一点，初值问题(2.2)的解，可以向左、右延展，直到任意接近区域D的边界。例1. 试讨论方程通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的 解的存在区间.解: 此时区域D是整个平面,方程右端函数满足延展定理所要求的条件,容易算出,方程的通解是 故通过点(1,1)的积分曲线为它的左可以无限延展,而当时,所以其存在

16、区间为,通过点(3,-1)的积分曲线为,它向右不能无限延展,因为当时,;所以其存在区间为.顺便指出:这个方程只有解可以向左右两个方向无限延展.这个例子说明:尽管在整个平面满足延展定理条件,解上的点能任意接近区域D的边界,但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2.考虑方程 假设及在xoy平面上连续,试证明:对于任意及.方程满足的解都在上存在.证明:根据提设,可以证明方程右端函数在整个xoy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件,易于看到,为方程在上的解,有延展定理可知,满足: , 任意 的解上的点应当无限远离原点,但是,由解的唯一性,又不能穿过直线,故有可能向两侧延展,而无限远离原

17、点,从而这解应在上存在.2°比较定理我们在考察方程 （2.1）之外，还同时考察方程 我们有如下定理：定理3.3(第一比较定理)：设函数定义在某个区域D上,且满足如下条件:1).在D上满足存在与唯一性定理条件;2).在D上有不等式则方程(2.1)的满足初始条件的解和方程的满足的解在它们共同存在的区间上,满足不等式:, 当时, 当时证明.略。例3试证明：对任意方程满足初始条件的解都在上存在.证明:函数在整个xoy平面上满足存在与唯一性定理条件,且有,将原方程与方程比较,故原方程满足的解在其存在区间上满足:由延展定理,积分曲线可以无限远离原点,故必在上存在.§3.3 解对初值的连

18、续性和可微性定理初值解是的函数,记作提出一个问题,当初值发生变化时,对应的解是怎样变化的?而实际上经常要求,在所研究的现象的某个有限过程中,当初值变化不大时,相应的解变化也不大,下面给出确切的定义.定义：设初值问题 的解在区间上存在，如果对任意，存在，使得对于满足 的一切，初值问题(2.2)的解都在上存在，且有 ，则称初值问题(2.2)的解在点 连续依赖与初值（解对初值连续依赖定理）设在区域D内连续，且关于y满足李普希兹条件，如果，初值问题（2.2）有解 ，且当时，则对任意，存在，使对于满足 的任意，初值问题 (2.2)的解也在区间上有定义，且有为了证明此定理下面给出一个引理 贝尔曼(Bell

19、man)引理 设为区间上非负的连续函数， 。若存在，使得 满足不等式 (2.5) 则就满足不等式 定理证明略。对上面定理的解释：1、所谓“解对初值的连续依赖性”是一个检验当初值有微小变动时，相应的初值解变化的定理。 显然，若初值只有微小变化都引起初值解产生巨大变化，则此解已失去实用价值，故研究这个问题具有实际意义。2、定理的结论部分实际上就是解对初值连续依赖性定义。可微性定理：条件：若函数在区域内满足： 连续；连续 结论：初值问题（*）的解在其定义域内有连续偏导数。 易于看出，若普遍使用较强的条件，即在区域上存在并有界或连续，来代替李氏条件，则三个大定理的条件是一样的，这一点将为应用它们处理问

20、题带来方便。1、证明：微分方程没有奇解。证：因右端函数 在全平面上连续，在除去轴的全平面上，方程的解存在且唯一。 在轴上，即在曲线上，如果是解，则唯一性必被破坏但显然不是解。故方程无奇解。2、若在整个平面上连续可微，且 求证：若方程的非常数解，当是趋于，则必为或。 证明：首先，由题设条件知，方程在整个平面上满足存在唯一性定理和延展定理条件，故在全平面上，方程的初值解都存在且唯一；并且可向无穷远延展。 注意到条件，说明方程有常数解，下面用反证法证明结论。 假设方程的非常数解满足但是有限值，因此非常数解可延展至无穷远，故可在充分靠近处作解的延展，则延展后的积分曲线必过点。于是过点就有两条积分曲线通

21、过和满足的，此与唯一性矛盾，因此不能是有限值。§3.4 奇解本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法.3.4.1 包络和奇解在本章3.2节的例2中,我们已经看到方程的通解是,还有一解y=0,除解y=0外,其余解都满足唯一性,只有解y=0所对应的积分曲线上每一点,唯一性都被破坏.这样的解在许多方程中存在.例1 求方程的所有解.解 该方程的通解是此外还有两个特解y=1和y=-1.由于该方程右端函数的根号前只取+号,故积分曲线如图2-12所示,图 2-12显然解y=1和y=-1所对应的积分曲线上每一点,解的唯一性均被破坏. 本节主要讨论一阶隐式方程 (1.8)和一阶显式方程 (2.1)的解唯

22、一性受到破坏的情形,显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内.对于方程(2.1),由定理2.2,这样的区域可用无界去检验,而对于隐式方程(1.8),一般来说,若能解出几个显式方程那么对每一个方程,应用定理2.2即可.其次对于方程(1.8),如果函数F(x,y,y)对所有变量连续且有连续偏导数,并且在,的领域内有成立,那么应用数学分析中的隐函数定理,可解得其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数,特别有.这样一来,对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了,因此,我们可以就方程(1.8)或（2.1）给出奇解的定义.定义3.3 如果方程存在某一解,在它所对应的积

23、分曲线上每点处,解的唯一性都被破坏,则称此解为微分方程的奇解.奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.由上述定义,可见2.2节例2中的解y=0是方程的奇解,而例1中的解y=1和y=-1是方程的奇解.3.4.2 不存在奇解的判别法假设方程(2.1)的右端函数在区域上有定义,如果在D上连续且在D上有界(或连续),那么由本章定理2.2,方程的任一解是唯一的,从而在D内一定不存在奇解.如果存在唯一性定理条件不是在整个有定义的区域D内成立,那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步再能表明在这样的区域上不存在方程的解,那么我们也可以断定该方程无奇解.例2 判断下列方程(1) (2)是否存在

24、奇解. 解 (1)方程右端函数,均在全平面上连续,故方程(1)在全平面上无奇解.(2)方程右端函数在区域yx上有定义且连续,在y>x上有定义且连续,故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有,即若方程(2)有奇解必定是,然而不是方程的解,从而方程(2)无奇解.3.4.3 包络线及奇解的求法（克莱罗微分方程）下面,我们从几何的角度给出一个由一阶方程(2.1)的通积分求它奇解的方法. 当任意常数C变化时,通积分给出了一个单参数曲线族(C),其中C为参数,我们来定义(C)的包络线.定义2.4 设给定单参数曲线族 (2.10)其中C为参数,对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L,其上任一点均有

25、(C)中某一曲线与L相切,且在L上不同点,L与(C)中不同曲线相切,那么称此曲线L为曲线族(C)的包络线或简称包络.见图2-13图 2-13定理2.5 方程(2.1)的积分曲线族(C)的包络线L是(2.1)的奇积分曲线.证明 只须证明(C)的包络线L是方程(2.1)的积分曲线即可.设p(x,y)为L上任一点,由包络线定义,必有(C)中一曲线l过p点,且与L相切,即l与L在p点有公共切线.由于l是积分曲线,它在p点的切线应与方程(2.1)所定义的线素场在该点的方向一致,所以L在p点的切线也就与方程(2.1)在该点的方向一致了.这就表明L在其上任一点的切线与方程(2.1)的线素场的方向一致,从而L

26、是(2.1)的积分曲线.证毕.有了这个定理之后,求方程(2.1)的奇解问题就化为求(2.1)的积分曲线族的包络线的问题了.下面我们给出曲线族包络线的求法.定理2.6 若L是曲线族(2.10)的包络线,则它满足如下的C-判别式 (2.11)反之,若从(2.11)解得连续可微曲线且满足非蜕化条件：,和,则是曲线族的包络线.证明 对L上任取一点p(x,y),由包络线定义,有(C)中一条曲线l在p点与L相切,设l所对应的参数为C,故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数,设为又因为p(x,y)在l上,故有恒等式 (2.12)L在p点的切线斜率为l在p点的切线斜率为因为l与L在p点相切,故有,即有关系式

27、(2.13)另一方面,在(2.12)式两端对C求导得此式与(2.13)比较,无论是在同时为零,或不同时为零的情况下均有下式 (2.14)成立.即包络线满足C-判别式(2.11).反之,在上任取一点,则有 (2.15)成立.因为不同时为零,所以对(2.10)在q点利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线,它在q点的斜率为 (2.16)另一方面,在q点的斜率为 (2.17)现在,由(2.15)的第一式对C求导得再利用(2.15)的第二式推出(2.18)因为和分别不同时为零,所以,由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲线族(2.10)中有曲线在q点与曲线相切.因此,是曲线族(2.10)的包络线.例3 求的奇解.解 在本章2.2节已解得方程通解为由C-判别式解得.由于,所以y=0为原方程的奇解.例